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intégrale et équa diff

  1. sleinininono

    Date d'inscription
    novembre 2014
    Messages
    77

    intégrale et équa diff

    Bonjour !
    je me demande comment faire avec une fonction de la forme
    pour trouver u(x) telle que



    actuellement j'étais sur une intégrale (plutôt simple je l'admet) qui peut se prêter à cet exercice :



    quelqu'un aurait-il une idée ? pour l'instant je trouve un résultat faux... je vous montre mes calculs :




    vous remerciant vivement

    slein

    -----

     


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  2. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    20 709

    Post Re : intégrale et équa diff

    Bonjour.

    Trouver u tel que revient à trouver u tel que u'v-v'u=f(x). Dans ton cas, avec v(x)=1+x² et f(x)=1-x², il faut résoudre (1+x²)u'-2x u =1-x²
    On trouve facilement la solution générale de l'équation sans second membre (c'est ce que tu as fait), reste à trouver une solution particulière à ajouter. Elle est assez simple à trouver.

    Cordialement.
     

  3. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
    Fresnes
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    57
    Messages
    23 221

    Re : intégrale et équa diff

    je ne comprend pas ta "méthode" et les passages par =0 !!!
    une primitive de ta fonction est simplement
    F(x)=x/(1¨+x^2) + cte.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  4. sleinininono

    Date d'inscription
    novembre 2014
    Messages
    77

    Re : intégrale et équa diff

    alors cette méthode me semble permettre d'éviter de passer par ln et donc d'avoir la dite valeur absolu. On a une équivalence en intégrant (en remplaçant une quantité par son intégrale sans constante dérivée, deuxième équivalence), puis comme une dérivé vaut zéro, la fonction est une constante. Dites-moi si quelque chose vous semble hasardeux, je fais souvent des erreurs.



    Pour la solution particulière, en employant la méthode de la variation de la constante notée K(x) on trouve :

    K'(x) * ( 1+x^2)^2 = 0

    et donc K(x) = K


    mais je ne crois pas que cela soit juste, en effet u est sensée valoir x...

    en attente de vos réponses.

    merci
     

  5. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    20 709

    Re : intégrale et équa diff

    C'est faux, mais comme tu ne donnes pas tes calculs ...

    Il y a une solution évidente polynôme, dont le degré est aussi facile à voir.

    " u est sensée valoir x..." pas nécessairement, ta primitive est définie à une constante près, et c'est bien ce qu'on trouve en résolvant l'équation différentielle correctement.
     


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  6. sleinininono

    Date d'inscription
    novembre 2014
    Messages
    77

    Re : intégrale et équa diff

    d'accord, je vous prie d’excuser mes étourderies. je vais refaire les calculs :

    on note u = K(x) * (1+x^2)

    u' = K'(x) * (1+x^2) + K(x) * (2x).

    on injecte :

    u'(1+x²) - 2xu = 1-x²

    [K'(x) * (1+x^2) + K(x) * (2x)] * (1+x²) -2x * K(x) * (1+x^2) = 1-x^2

    en bidouillant on obtient :

    K'(x) = 1 - x^2) / ( 1+x^2)^2

    là, êtes vous d'accord?
     

  7. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
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    20 709

    Re : intégrale et équa diff

    Oui,

    et tu vois que tu es ramené à l'intégrale initiale !

    Autrement dit, si tu ne trouves pas une solution évidente de l'équation différentielle, tu tournes en rond ! (Bernard Blier, fin du passage)

    Cordialement.
     

  8. sleinininono

    Date d'inscription
    novembre 2014
    Messages
    77

    Re : intégrale et équa diff

    je suis désolé mais je ne vois pas en quoi trouver que K(x) est l'intégrale initiale peut nous aider. Pourrais je encore demander des éclaircissement complémentaires?

    sleinininono
     

  9. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    20 709

    Re : intégrale et équa diff

    Ben ... justement ! Ça ne nous aide pas !

    Tu calcules une intégrale en résolvant une équation différentielle qui se résout en calculant l'intégrale avec la résolution de l'équation différentielle qui demande de calculer l'intégrale ....
     

  10. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    Re : intégrale et équa diff

    le seul truc, c'est qu'on retombe sur les mêmes pates ( c'est déjà ça )
    mais c'est en boucle.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  11. sleinininono

    Date d'inscription
    novembre 2014
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    77

    Re : intégrale et équa diff

    donc comment peut-on trouver u ...?
     

  12. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
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    20 709

    Re : intégrale et équa diff

    Dans le cas général, il n'y a pas de raison de le trouver : Il existe des primitives qui " ne se calculent pas" (*). Dans ce cas particulier simple, je t'ai donné la méthode (messages #2 et #5).
    Pas de miracle en intégration.

    Cordialement.

    (*) A priori, c'est plutôt le cas général, celles qu'on sait calculer sont particulières.
     

  13. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    Re : intégrale et équa diff

    ceci dit, cette fct s'intègre toute seule, par exemple en posant x=tg(t)
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  14. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    Re : intégrale et équa diff

    mais je suppose qu'on ne parle pas de la même chose avec gg0.
    Cdt
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  15. sleinininono

    Date d'inscription
    novembre 2014
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    77

    Re : intégrale et équa diff

    donc pour être bien sûr de comprendre, cette intégrale là pour la résoudre, je ne peux pas utiliser le passage par équa diff., la méthode en posant x = tan fonctionne par contre.

    Et par ailleurs, si en règle générale je suis sûr une des intégrales du type définit dans le premier message, alors je peux faire la méthode des équas diff.
    Je trouve une S.H. et si la S.P n'est pas l'intégrale du début j'ai trouvé u,

    c'est bien ça?

    merci pour votre temps et votre patience.
     


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