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Récurrence et Implication

  1. ImArnaud

    Date d'inscription
    septembre 2017
    Messages
    1

    Récurrence et Implication

    Bonjour, je ne parviens pas à démarrer cette exercice. Pourriez me donner des pistes de raisonnement ?

    "Considérons P(n) : x1...x2 < (ou égal) (x1+x2+...+xn)n/n2 , si x1,x2, ..., xn > (ou égal) 0

    (J'ai montré que cela était vraie quand n=2)
    J'ai également essayé par la récurrence mais le fait que ce soit du rang n vers n-1 me pose problème.

    1. En posant xn = (x + ... + xn-1)/(n - 1), prouver que P(n) impliqué P(n-1) lorsque n>1

    2. Montrer que P(n) et P(2) impliquent P(2n)

    3. Expliquer pourquoi cela entraîne P(n) est vraie pour tout n

    -----

     


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  2. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
    Messages
    16 949

    Re : Récurrence et Implication

    Bonjour,

    Je ne réponds qu'à la question 3 (et sans être très rigoureux, partie que je vous laisse).
    On va utiliser ce que l'on appelle une récurrence forte (mal nommée d'ailleurs, elle n'est pas plus forte que les autres).

    Soit n > 2
    soit n est impair et n + 1 est pair et (n + 1) /2 <= n, donc vous avez P(2) et P((n + 1)/2) donc P(n + 1)
    soit n est pair et n + 2 est pair et (n +2)/2 <= n donc vous avez P(2) et P((n+2)/2) donc P(n+2) donc P(n+1)

    Note : je ne dis rien sur P(0) ni P(1), à vous de voir
    Dernière modification par Médiat ; 09/09/2017 à 20h53.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     





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