Théorie des suites spectrales.

**Anonyme007** · 04/10/2017, 00h42

Bonjour à tous,

J'aimerais vous demander quel est le principe de fonctionnement d'une théorie des suites spectrales ( Leray, Atiyah-Hizerbruch ... etc ) ?. Attention. A ne pas confondre avec la notion de théorie spectrale en analyse fonctionnelle. Rien à voir.

Merci d'avance.

**AncMath** · 04/10/2017, 12h03

Le principe c'est de calculer la cohomologie d'un objet filtré par approximation successive en commençant par la cohomologie des gradués associés à la filtration. Dans les bons cas on obtient les gradués de la cohomologie pour la filtration induite sur la cohomologie.
Un exemple bébête est la filtration squeletale sur un CW-complexe, la suite spectrale dégénère et on obtient que la cohomologie cellulaire et la cohomologie singulière coïncident.

On peut donner une présentation plus générale basée sur la notion de couple exact, mais l'exemple paradigmatique est un complexe double qui induit donc une filtration sur le complexe total associé ou alors un complexe filtré.

**Anonyme007** · 04/10/2017, 13h20

Merci pour toutes ces précisions AncMath,

néanmoins comme je ne suis qu'un débutant en la matière, pouvez vous ajouter plus de détails à votre vocabulaire et un peu de formalisme mathématique, c'est à dire des explications utilisant des x et y et des diagrammes et bi-complexes susceptibles de rendre la discussion plus transparente et attrayante et facile à saisir ? Merci.
Il y'a par contre plein de cours sur le net qui introduisent cette notion ingérable pour la première fois, néanmoins, pour quelqu'un novice comme moi, je me perd vite devant la quantité énorme d'informations que je n'arrive pas à filtrer afin de ne garder que l'essentiel, c'est pourquoi je suis venu vous demander votre aide.

**AncMath** · 04/10/2017, 13h31

Je n'ai pas le temps et ça n'est pas le lieu pour faire un cours sur les suites spectrales ici.
Une suite spectrale c'est simplement une manière d'organiser de l'information algébrique, en soi y a rien de bien complexe à comprendre même s'il est normal d’être dérouté la première fois que l'on en voit une.
Que ne comprends tu pas dans ton cours ? Le pdf "A user's guide to spectral sequences" est très clair et taillé pour les débutants.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Anonyme007** · 19/10/2017, 13h43

svp, pouvez vous me forurnir un exemple de votre choix ( un peu plus compliqué quant meme ... pas trivial ... ) illustrant le calcul et l'utilisation des suites spectrales avant d'entamer sérieusement l'apprentissage de ce sujet ? Histoire de prendre un avant goût avant de m'y pencher à fond.
Merci.

**AncMath** · 19/10/2017, 13h46

La comparaison entre homologie cellulaire et homologie ordinaire se fait très bien en utilisant une suite spectrale.

**Anonyme007** · 19/10/2017, 13h54

Oui, mais comment ? Je n'ai aucune connaissance en théorie des suites spectrales. Comment veux tu que je comprends ?. Il faut que quelqu'un m'explique. Comme tu as fait ici : http://forums.futura-sciences.com/ma...rincipaux.html avec altruisme.

**AncMath** · 19/10/2017, 14h20

Prend $\text{[math]}$ un CW-complexe, tu as sur l'homologie singulière une filtration donnée par l'inclusion du $\text{[math]}$ -squelette dans $\text{[math]}$ . En fait cette filtration existe déjà sur le complexe de chaine de $\text{[math]}$ . On a un objet $\text{[math]}$ gradué et filtré. Il est clair que la différentielle du complexe est compatible avec la filtration. On a donc une différentielle qui agit sur les gradués de la filtration.

Note $\text{[math]}$ , on a une différentielle $\text{[math]}$ . L'homologie pour cette différentielle vaut par définition même $\text{[math]}$ .

Mais on a une autre differentielle, qui va cette fois de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ qui est donnée par la differentielle de l'homologie cellulaire pour les indices appropriés et 0 sinon et qui est induite par la différentielle toujours.

L'homologie de cette differentielle là vaut là encore par définition $\text{[math]}$ et 0 sinon.

La théorie générale des suites spectrales assure qu'un telle suite spectrale de "premier quadrant" converge vers l'homologie totale du complexe filtré $\text{[math]}$ .

Mais en $\text{[math]}$ la suite spectrale dégénère clairement i.e toutes les différentielles deviennent nulles. Donc $\text{[math]}$ . Ainsi pour p=0, on obtient $\text{[math]}$ mais ca c'est exactement $\text{[math]}$ par le lemme de l'approximation cellulaire par exemple.

**Anonyme007** · 19/10/2017, 23h21

Merci. Je ne peux pas te dire que j'ai compris le principe à travers ton exemple, parce que au fond, j'ai l'impression qu'il faut passer par une infinité de calcul. Toute page : $\text{[math]}$ a besoin de calculer ses objets $\text{[math]}$ formant un bi-complexe, puis, calculer les morphisme $\text{[math]}$ de chaque page. C'est intimidant.

stp, ici : http://therisingsea.org/notes/SpectralSequences.pdf , page : $\text{[math]}$ , on dit :
For $\text{[math]}$ , one defines by recursion on $\text{[math]}$ subobjects $\text{[math]}$ and $\text{[math]}$ of $\text{[math]}$ as the inverse image, by the canonical morphism $\text{[math]}$ of the subobject of the quotient identified by $\text{[math]}$ with the subobjects $\text{[math]}$ and $\text{[math]}$ respectively. Clearly, $\text{[math]}$ and for $\text{[math]}$ we deduce a pullback :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
with horizontal epimorphisms and vertical monomorphisms.

Je ne comprends pas comment on construit ce pullback. Tu peux me l'expliquer à ta manière et plus détaillée ?

Merci infiniment.

**AncMath** · 20/10/2017, 15h06

Chaque page n'est pas un bi-complexe, non, chaque page est une famille de complexes.

Dire que ton diagramme est un pull-back, c'est simplement dire que le terme en haut à gauche est la préimage du terme en haut à droite par la flèche du bas, ce qui est la définition des objets.

**Anonyme007** · 20/10/2017, 15h09

Oui, je sais ce qu'est un pullback qui est une définition qui se trouve un peu partout en mathématiques, mais ici c'est différent. Tu as vu sa construction un peu pas claire du tout dans le paragraphe en anglais que j'ai recopié ?
Il esi dit plus exactement :
For $\text{[math]}$ , one defines by recursion on $\text{[math]}$ subobjects $\text{[math]}$ and $\text{[math]}$ of $\text{[math]}$ as the inverse image, by the canonical morphism $\text{[math]}$ of the subobject of the quotient identified by $\text{[math]}$ with the subobjects $\text{[math]}$ and $\text{[math]}$ respectively.
C'est comme ça qu'on construit un pullback ? C'est pas claire cette construction.
Merci.

**AncMath** · 20/10/2017, 15h11

Ben non c'est pas différent, c'est même exactement ça. Et c'est ce qui est décrit dans le paragraphe.

**Anonyme007** · 20/10/2017, 15h17

explique moi un peu plus clairement le lien qui existe entre la construction du pullback et le paragraphe suivant :
For $\text{[math]}$ , one defines by recursion on $\text{[math]}$ subobjects $\text{[math]}$ and $\text{[math]}$ of $\text{[math]}$ as the inverse image, by the canonical morphism $\text{[math]}$ of the subobject of the quotient identified by $\text{[math]}$ with the subobjects $\text{[math]}$ and $\text{[math]}$ respectively.
Merci.

**AncMath** · 20/10/2017, 15h30

Dire que le diagramme est un pull-back dans ce cas c'est dire que le terme en haut à gauche est l'image inverse du terme en haut à droite par la fleche du bas, bis repetita. Or la définition du terme en haut à gauche est l'image inverse du terme en haut à droite...

**Anonyme007** · 20/10/2017, 15h37

Tu as déjà expliqué ça. Pourquoi tu le répètes ?

Bref, je ne saisis pas bien ce que fait $\text{[math]}$ ainsi que : $\text{[math]}$ dans cette histoire de pullback. Quel est leur rôle ?

Merci infiniment.

**AncMath** · 20/10/2017, 15h42

Pour l'instant il n'y a rien à comprendre, ce sont simplement des notations et définitions.
Les B et les Z sont simplement les noyaux et images des différentielles de la page r que l'on tire en arrière à la première page.

**Anonyme007** · 20/10/2017, 16h10

D'accord. Merci.

**AncMath** · 24/10/2017, 15h11

Je reviens sur cet exemple car au fond il est moins bébête qu'il n'y parait.

En fait ce qui fait marcher les choses ici c'est essentiellement que l'injection $\text{[math]}$ est une cofibration et donc calculer l'homologie ordinaire relative de la CW-paire $\text{[math]}$ revient à calculer l'homologie de $\text{[math]}$ qui est un bouquet de sphère et donc son homologie est concentré en degré top et 0.

Si on remplace l'homologie ordinaire par n'importe quelle théorie homologique, on a toujours la même filtration et donc une suite spectrale associée. Celle ci sera bien plus compliquée, mais elle convergera tout autant puisque ce sera une suite spectrale de premier quadrant. C'est la suite spectrale d'Atyiah-Hirzebruch, calculer sa seconde page demande un peu de soin mais on s'apercoit sans peine que c'est l'homologie ordinaire à coefficient dans la groupe d'homologie du point. Ce qui donne une information non négligeable dessus.

Néanmoins il ne faut pas oublier que la page infinie ne donne que les gradués de la filtration induite sur l'homologie. Et dans le cas précédent ça n'était pas un souci because le lemme d'approximation cellulaire. Ici ça devient un problème épineux en général.

Si on regarde le cas d'une fibration ou d'une fibration faible de CW-complexes et que l'on regarde la préimage du q-squelette du bas sur l'espace total, on a une situation exactement analogue, et on obtient la suite spectrale de Serre.

**Anonyme007** · 29/10/2017, 10h08

Bonjour AncMath,

Je lis dans un document :
A spectral sequence is first quadrant if all abelian groups $\text{[math]}$ are trivial whenever either $\text{[math]}$ or $\text{[math]}$ .
For a first quadrant spectral sequence $\text{[math]}$ all groups $\text{[math]}$ for $\text{[math]}$ and $\text{[math]}$ or $\text{[math]}$ are zero. In other words, all pages lie in the first quadrant. Moreover for fixed values of p,q, the map h induces an isomorphism $\text{[math]}$ for all $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ is a sequence of bigrading preserving isomorphisms. Here, the left hand side is the cohomology which inherits a bigrading from $\text{[math]}$ .

Tu peux m'expliquer pourquoi il y'a ça ?

Merci d'avance.

**Anonyme007** · 29/10/2017, 10h44

All pages lie in the first quadrant, je comprends. Pour la suite : Moreover for fixed values of p,q, the map h induces an isomorphism $\text{[math]}$ for all $\text{[math]}$ , je ne comprends pas.

**AncMath** · 29/10/2017, 10h46

Écris la page et les flèches ça devrait te sauter aux yeux.

**Anonyme007** · 29/10/2017, 11h29

Pour $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ vérifie $\text{[math]}$ , d'où : $\text{[math]}$
Pour $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ vérifie $\text{[math]}$ , d'où : $\text{[math]}$
Par conséquent, $\text{[math]}$ .
D'où : $\text{[math]}$
Non ?

**Anonyme007** · 29/10/2017, 17h24

Bonjour,

Lorsqu'on dit que : $\text{[math]}$ , est ce que cela signifie que, quelque soit le cas :
$\text{[math]}$ a une filtration : $\text{[math]}$
et que : $\text{[math]}$ ?
Pourquoi $\text{[math]}$ n'a aucun rôle ici ?

Merci d'avance.

**AncMath** · 29/10/2017, 18h35

Pourquoi voudrais tu que la seconde page ait un rôle spécifique ? La convergence d'une suite spectrale c'est un phénomène asymptotique, tu peux supprimer autant de pages que tu veux au début ça change rien à la convergence de celle-ci.

**Anonyme007** · 29/10/2017, 18h50

Parce que je ne saisis pas encore le fil conducteur de cette théorie. Dans beaucoup de situations, je vois écrire aussi : $\text{[math]}$ .
Par exemple, ici : http://pub.math.leidenuniv.nl/~lycza...es/specseq.pdf , page : $\text{[math]}$ , je vois noter : $\text{[math]}$ .
Par contre ici : http://www.math.uni-bonn.de/people/f...20(public).pdf , page : $\text{[math]}$ , on note : $\text{[math]}$
Dans pleins de situations aussi, je vois écrire : $\text{[math]}$

**AncMath** · 29/10/2017, 19h38

Cela veut dire la même chose.

**Anonyme007** · 30/10/2017, 10h06

Bonjour,

Je n'ai rien compris à l'exercice suivant :
Suppose that a spectral sequence converging to $\text{[math]}$ has $\text{[math]}$ unless $\text{[math]}$ . Show that : there are exact sequences : $\text{[math]}$ .
Generalize to two non-zero columns at $\text{[math]}$ .

Pouvez vous m'aider svp ?

Merci.

**AncMath** · 30/10/2017, 10h16

Tu n'as pas compris l’énoncé ou tu ne sais pas démarrer ?

**Anonyme007** · 30/10/2017, 10h17

Je n'ai pas compris l'énoncé.
Pour moi a spectral sequence converge to $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ pas to $\text{[math]}$ .

**AncMath** · 30/10/2017, 10h24

Mais enfin tout ça c'est bien évidement la même chose. Une suite spectrale converge vers un groupe filtré, ou plus précisement les gradués d'un groupe filtré. Ici tu as un groupe H gradué et sur chaque morceau il existe une filtration tel que ta suite spectrale converge vers les gradués de cette filtration.

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