Question sur les groupes de Lie

**PhilTheGap** · 31/10/2017, 09h21

Bonjour à tous

Je n'arrive pas à saisir une phrase pourtant extrêmement simple du livre de Gilmore, LIE GROUPS, PHYSICS, AND GEOMETRY, §4.4 page 59.

"If $\text{[math]}$ and $\text{[math]}$ are elements in the Lie algebra, then $\text{[math]}$ is an element in the Lie group near the identity for $\text{[math]}$ sufficiently small"

I est l'élément neutre du groupe. Je ne vois pas pourquoi un élément de l'espace tangent au groupe en l'élément neutre appartiendrait au groupe, aussi petit soit-il. Après comme tout découle de cela, ca m'ennuie de ne pas saisir...

**AncMath** · 31/10/2017, 09h36

Ça n'a pas de sens stricto-sensu pour un groupe de Lie en général. Néanmoins pour un groupe de Lie linéaire, c'est vrai et cela vient du fait que l'exponentielle est donnée par l'exponentielle matricielle, par fonctorialité.

**AncMath** · 31/10/2017, 09h45

Note que tu peux sans problème adapter l'esquisse de preuve donnée par l'auteur au cas général. Simplement le crochet de Lie ne sera alors plus un commutateur matriciel, simplement le crochet de Lie.

**Deedee81** · 31/10/2017, 09h45

Salut,

Une algèbre de Lie est un espace vectoriel (voir ici par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_de_Lie au début) donc toute combinaison linéaire d'éléments de l'algèbre de Lie est aussi un élément de l'algèbre de Lie.
EDIT Ah ! Croisement avec AncMath. En voyant ces messages : aurais-je dit une bêtise ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**AncMath** · 31/10/2017, 09h58

Tu n'as pas dit de bêtises, mais peut être as tu mal lu la question ? PhilTheGap ne se demande pas si son élément est dans l'algèbre de Lie mais dans le groupe de Lie. De toute façon l'élément en question est définie de manière de "batarde" puisqu'on ajoute un élément de l'algèbre de Lie avec un élément de groupe ce qui n'a pas de sens, sauf a se placer dans un cadre de groupe linéaire ou alors à adopter des conventions d’écriture du genre $\text{[math]}$ désigne en fait $\text{[math]}$ ou ce qui revient au même l'action du flot du champ $\text{[math]}$ sur 1. Ici on a bien l'air d'être dans le cas 1 vu la suite, et vu le fait que dans le cas 2, epsilon n'a aucun besoin d'être petit.

**Anonyme007** · 31/10/2017, 10h02

Bonjour,

Sauf erreur de ma part :
On comprend intuitivement ça en voyant un groupe de Lie $\text{[math]}$ comme un espace affine et son algèbre de Lie en l'élément neutre $\text{[math]}$ son espace vectoriel associé. ( On l'appelle aussi son vectorialisé ou le transporteur par translation vectoriel des éléments de l'espace affine dans un espace affine qui est son image par la translation ).
Bref, $\text{[math]}$ est l'image ou le translaté de $\text{[math]}$ par la translation de vecteur : $\text{[math]}$ défini par : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ proche de zero.

Cordialement.

**PhilTheGap** · 31/10/2017, 10h13

Envoyé par AncMath

Tu n'as pas dit de bêtises, mais peut être as tu mal lu la question ? PhilTheGap ne se demande pas si son élément est dans l'algèbre de Lie mais dans le groupe de Lie. De toute façon l'élément en question est définie de manière de "batarde" puisqu'on ajoute un élément de l'algèbre de Lie avec un élément de groupe ce qui n'a pas de sens, sauf a se placer dans un cadre de groupe linéaire ou alors à adopter des conventions d’écriture du genre $\text{[math]}$ désigne en fait $\text{[math]}$ ou ce qui revient au même l'action du flot du champ $\text{[math]}$ sur 1. Ici on a bien l'air d'être dans le cas 1 vu la suite, et vu le fait que dans le cas 2, epsilon n'a aucun besoin d'être petit.

Merci de ta réponse. Je penche pour le cas "convention d'écriture". Est-ce ce que tu appelles le cas 1 ?

**Anonyme007** · 31/10/2017, 10h19

est ce que tu comprends ce que je dis ou non ?
Pardon, il y'a une légère petite erreur : $\text{[math]}$ , et donc : $\text{[math]}$ .

**PhilTheGap** · 31/10/2017, 10h21

Bonjour Anonyme

Je ne vois pas trop comment voir un groupe de Lie comme un espace affine. Et puis tu parles de comprendre intuitivement, mais ce n'est pas d'intuition dont j'ai besoin mais de clarté.

Merci néanmoins de chercher à m'aider.

**AncMath** · 31/10/2017, 10h25

Envoyé par PhilTheGap

Merci de ta réponse. Je penche pour le cas "convention d'écriture". Est-ce ce que tu appelles le cas 1 ?

Non

, je penche pour le cas "on se place dans le cadre linéaire sans le dire". J'ai feuilleté le reste du bouquin rapidement, et il est clair que l'exposition est "peu formelle", notamment les définitions données par exemple. Aussi je pense qu'il faut que tu t'attendes à ce genre d'incartades dans ce support.

Par exemple, je pense que l'objectif de l'auteur dans ce paragraphe est plutôt de donner une idée "avec les mains" de pourquoi un groupe de Lie à une structure d'algèbre de Lie sur son espace tangent en 1, que de donner des preuves rigoureuses.

**Anonyme007** · 31/10/2017, 10h29

Tu ne trouveras de réponses à ta question dans aucun bouquin mathématique, parce que ta question relève de l'intuitive qu'il faut trouver personnellement. Trouver ne signifie pas chercher toute la journée comme un forcené ou un fou, ça saute aux yeux en un laps de temps. Pour un débutant, ça peut ne pas sauter aux yeux en un laps de temps, parce qu'il n'est pas familier avec ce langage, mais il viendra un jour ou tu te souviendra de moi dans tes pensés et tu te dira oui ce mec a raison. Mais, ça ne viendra pas rapidement, il faut laisser le temps s'écouler. Prends ton temps de comprendre le cours d'abord, et c'est un joli sujet en plus.

**PhilTheGap** · 31/10/2017, 10h29

Envoyé par AncMath

Non

, je penche pour le cas "on se place dans le cadre linéaire sans le dire". J'ai feuilleté le reste du bouquin rapidement, et il est clair que l'exposition est "peu formelle", notamment les définitions données par exemple. Aussi je pense qu'il faut que tu t'attendes à ce genre d'incartades dans ce support.

Dans ce cas, peux-tu avoir la patience d'expliciter "Néanmoins pour un groupe de Lie linéaire, c'est vrai et cela vient du fait que l'exponentielle est donnée par l'exponentielle matricielle, par fonctorialité" ?

**PhilTheGap** · 31/10/2017, 10h33

Envoyé par Anonyme007

Tu ne trouveras de réponses à ta question dans aucun bouquin mathématique, parce que ta question relève de l'intuitive qu'il faut trouver personnellement. Trouver ne signifie pas chercher toute la journée comme un forcené ou un fou, ça saute aux yeux en un laps de temps. Pour un débutant, ça peut ne pas sauter aux yeux en un laps de temps, parce qu'il n'est pas familier avec ce langage, mais il viendra un jour ou tu te souviendra de moi dans tes pensés et tu te dira oui ce mec a raison. Mais, ça ne viendra pas rapidement, il faut laisser le temps s'écouler. Prends ton temps de comprendre le cours d'abord, et c'est un joli sujet en plus.

Houla je ne voulais pas te froisser, si je l'ai fait j'en suis désolé. Je ne suis pas vraiment débutant, puisque j'ai 55 ans et que je me suis intéressé aux maths toute ma vie.

Et puis il me semble que quelqu'un est en train de me fournir la réponse.

**AncMath** · 31/10/2017, 10h51

Bien sûr.

La fonctorialité ici, ca veut dire que si tu as un groupe de Lie $\text{[math]}$ et un sous groupe de Lie $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ alors l'exponentielle du gros groupe donne par restriction à l'algèbre de Lie du petit groupe l'exponentielle du petit groupe. En fait ca veut dire un peu plus que ça, mais ici c'est de ça dont tu as besoin.

Par sous groupe de Lie j'entend sous groupe FERME d'un groupe de Lie, le fermé est très important sinon ça ne marche pas.

Un groupe de Lie linéaire c'est, par définition, un sous groupe fermé de $\text{[math]}$ . Or l'algèbre de Lie de $\text{[math]}$ on la connait, c'est $\text{[math]}$ où le crochet est donné par le commutateur matriciel et l'exponentielle par la formule classique $\text{[math]}$ .

Autrement dit pour n'importe quel groupe de Lie linéaire $\text{[math]}$ son algèbre de Lie est une sous algèbre de Lie de $\text{[math]}$ , ses éléments sont donc des matrices et tu calcules son exponentielle "comme d'habitude" et ca te donne son exponentielle dans $\text{[math]}$ .

D'autre part un théorème t'assure que l’exponentielle réalise un difféomorphisme d'un petit voisinage de 0 dans $\text{[math]}$ sur un petit voisinage de 1 (ou l'identité si tu préfères) dans $\text{[math]}$ .

Comme pour $\text{[math]}$ quelconque $\text{[math]}$ est dans $\text{[math]}$ avec bien sur $\text{[math]}$ dans l'algèbre de Lie de $\text{[math]}$ et comme pour $\text{[math]}$ assez petit $\text{[math]}$ . Tu en déduis que $\text{[math]}$ est "proche à $\text{[math]}$ près" d'un élément de ton groupe de Lie.

Note que stricto sensu le resultat est faux bien sur si on ne prend pas les termes d'erreurs en compte. L'algèbre de Lie de $\text{[math]}$ est donnée par l'algèbre des matrices antisymétriques et il est clair que $\text{[math]}$ n'est pas dans $\text{[math]}$ même pour t tres petit.

**Deedee81** · 31/10/2017, 10h52

Envoyé par AncMath

Tu n'as pas dit de bêtises, mais peut être as tu mal lu la question ?

En effet, j'avais mal compris la question. Désolé,

Et en effet, j'avais déjà potassé (à travers l'étude des groupes de Lie matriciels) ce lien avec l'exponentielle matricielle.

Merci pour la rectification.

**AncMath** · 31/10/2017, 11h02

Envoyé par AncMath

Note que stricto sensu le resultat est faux bien sur si on ne prend pas les termes d'erreurs en compte. L'algèbre de Lie de $\text{[math]}$ est donnée par l'algèbre des matrices antisymétriques et il est clair que $\text{[math]}$ n'est pas dans $\text{[math]}$ même pour t tres petit.

Juste pour compléter ici
$\text{[math]}$
qui à O(t) près vaut bien $\text{[math]}$

**PhilTheGap** · 31/10/2017, 11h14

Merci pour cette réponse détaillée mais ce que tu me décris c'est justement l'objet de livre de Gilmore ! Donc si je dois comprendre la conclusion pour éclairer les prémisses, ca va pas le faire...

Le bouquin est un peu informel au début (il a écrit apparemment une somme sur les groupes de Lie par ailleurs) car il écrit pour les physiciens. Les premiers chapitres sont donc intuitifs. Après il devient plus rigoureux. Bon moi je m'intéresse aux groupes de Lie pour la MQ, donc je n'ai pas besoin de (trop de) rigueur, mais juste de sentir d'où viennent les maths utiles en MQ.

Je ne comprends pas non plus pourquoi, si tu finis par approximer l'exponentielle à l'ordre 1 à la fin de ta démonstration, tu ne me dis pas directement que la phrase de Gilmore est une approximation à l'ordre 1, qui confond l'espace tangent et le groupe dans un petit voisinage.

Bon néanmoins merci bcp de m'aider. J'ai l'impression que si je veux arriver à comprendre l'exponentiation et le cas surjectif, ce ne sera pas une partie de plaisir. La plupart du temps sur les MOOC que j'ai regardé ce résultat est admis, de même pour le difféomorphisme entre un petit voisinage de l'identité et l'exponentielle.

**AncMath** · 31/10/2017, 11h29

Envoyé par PhilTheGap

Je ne comprends pas non plus pourquoi, si tu finis par approximer l'exponentielle à l'ordre 1 à la fin de ta démonstration, tu ne me dis pas directement que la phrase de Gilmore est une approximation à l'ordre 1, qui confond l'espace tangent et le groupe dans un petit voisinage.

Je n'avais pas cerné que le point d'accroche était là. Je répète que même dans le cadre d'une approximation à l'ordre 1, ce qu'il écrit n'a pas de sens "immédiat" (sauf à faire des conventions d'ecriture) pour les groupe de Lie généraux. Et je pensais que c'était ça qui te gênait. Désolé si j'ai mal compris.

Bon néanmoins merci bcp de m'aider. J'ai l'impression que si je veux arriver à comprendre l'exponentiation et le cas surjectif, ce ne sera pas une partie de plaisir. La plupart du temps sur les MOOC que j'ai regardé ce résultat est admis, de même pour le difféomorphisme entre un petit voisinage de l'identité et l'exponentielle.

Si tu te cantonnes au groupes linéaires, ce qui je pense est bien suffisant pour beaucoup d'applications, les démonstration sont plus compliquées, mais il y a besoin de moins d'apparatus théorique.
Dans le cas linéaire il n'y a qu'"une seule exponentielle", l'usuelle. Et ce qui est délicat est de prouver qu'elle envoie l'algèbre de Lie dans le groupe de Lie. Cela demande un peu de travail, et en fait on passe sans le dire par la démo du cas général, qui est plus simple car elle définit directement l'exponentielle "comme il faut", c'est à dire comme l'action d'un flot, et pas par une somme de série. Si tu veux je peux écrire une démonstration (enfin, j'ai une idée de comment procéder... il peut toujours y avoir des surprises

) dans le cas linéaire.

Une fois que ceci est sû, le diffeo local résulte simplement du theoreme de l'inversion locale.

**PhilTheGap** · 31/10/2017, 12h48

Envoyé par AncMath

Je n'avais pas cerné que le point d'accroche était là. Je répète que même dans le cadre d'une approximation à l'ordre 1, ce qu'il écrit n'a pas de sens "immédiat" (sauf à faire des conventions d'ecriture) pour les groupe de Lie généraux. Et je pensais que c'était ça qui te gênait. Désolé si j'ai mal compris.

Non le + ne me gênait pas car j'avais intégré qu'on était dans $\text{[math]}$ , mais j'aurais dû aussi le préciser. Quand tu parles de point d'accroche, je comprends point d'achoppement...

Si tu veux je peux écrire une démonstration (enfin, j'ai une idée de comment procéder... il peut toujours y avoir des surprises

) dans le cas linéaire.

Merci mais c'est inutile, je vais surement trouver ça quelque part. Il suffit que je m'accroche !

**eudea-panjclinne** · 31/10/2017, 13h41

Envoyé par "Anonyme007

mais il viendra un jour ou tu te souviendra de moi dans tes pensés et tu te dira oui ce mec a raison

Pour une nouvelle réforme de l'orthographe ?

**Anonyme007** · 31/10/2017, 14h08

Envoyé par eudea-panjclinne

Pour une nouvelle réforme de l'orthographe ?

Merci pour le mépris gratuit.

**eudea-panjclinne** · 31/10/2017, 15h05

C'était pour rire, on est tous pareil vis à vis de l'orthographe, parfois les e, les s et les accents valsent

azizovsky · 31/10/2017, 15h16

Bonjour, tu peut prendre une 'courbe' g(t) du groupe de Lie et sa dérivée g'(t)dans l'algèbre de lie, avec g(0)=1 et g'(o)=v , comme le groupe a une courbure..., tu peut voir le groupe GL(n,k) comme une hypersurface qui contient localement un petit morceau de la courbe g(t), c'à dire un voisinage de g(0)=1, comme si on considère localement que la terre est plate .

azizovsky · 31/10/2017, 15h22

ps: déjà GL(n,R), O(n,R), U(n) se sont des variété différentiables .

**PhilTheGap** · 31/10/2017, 15h44

Envoyé par azizovsky

Bonjour, tu peut prendre une 'courbe' g(t) du groupe de Lie et sa dérivée g'(t)dans l'algèbre de lie, avec g(0)=1 et g'(o)=v , comme le groupe a une courbure..., tu peut voir le groupe GL(n,k) comme une hypersurface qui contient localement un petit morceau de la courbe g(t), c'à dire un voisinage de g(0)=1, comme si on considère localement que la terre est plate .

Je sais que l'exponentielle correspond à la courbe intégrale d'un champ de vecteur invariant à gauche, ton v. Mais ça c'est justement ce qu'on prouve après dans le bouquin. Encore une fois, l'auteur ne présuppose pas ces connaissances dans l'introduction... Bon je pense qu'il s'agit d'un "abus de langage" destiné à nous faire comprendre intuitivement les concepts, et d'où sort l'exponentielle...

On peut considérer le sujet comme clos...

Merci à tous d'avoir participé !!

NB: le modérateur a supprimé le lien URL (document piraté), donc vous n'y avez plus accès. Mais je peux vous le fournir si vous le souhaitez

azizovsky · 31/10/2017, 17h32

Envoyé par PhilTheGap

et d'où sort l'exponentielle...

Un exemple d'accroche... : on a par définition une rotation autour de l'axe Oz : $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

où: $\text{[math]}$

on 'a l'équation différentielle :

$\text{[math]}$

pour plus de détails, il faut avoir plusieurs sources ....

la solution est : $\text{[math]}$

la même méthode pour les autres rotations..., on trouve :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ est un groupe à un paramétre ...

voir en MQ l'opérateur translation et rotation....

pour plus de détails, il faut avoir plusieurs sources....

**PhilTheGap** · 01/11/2017, 11h09

Envoyé par azizovsky

pour plus de détails, il faut avoir plusieurs sources....

Celle ci Introduction aux groupes de Lie pour la physique, page 27, me parait bien, en tous cas je la comprends:

(1) L’application exponentielle des matrices envoie TeG dans G, et induit un C∞-difféomorphisme d’un voisinage ouvert de 0 dans TeG à valeurs dans un voisinage ouvert de e dans G

Démonstration. (1) En utilisant les paramétrages locaux, on voit que toute courbe intégrale d’un champ de vecteurs tangents à une sous-variété est tracée sur cette sous-variété. Pour tous les X ∈ TeG et g ∈ G, comme l’application de MN (K) dans MN (K) définie par x → gx est linéaire et préserve G, le vecteur gX est tangent en g à G. Donc la solution (locale) de l’équation différentielle c˙(t) = c(t)X
de condition initiale c(0) = e est une courbe tracée sur G. Or cette équation différentielle est linéaire du premier ordre, et sa solution est c(t) = exp(tX). Ceci montre que exp(TeG) est contenu dans G. Nous avons
déjà vu que exp est un C∞-difféomorphisme d’un voisinage ouvert de 0 dans MN (K) à valeurs dans un voisinage ouvert de la matrice identité IN dans MN (K), ce qui montre la dernière affirmation de (1) par intersection avec G.

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