analyse convexe: calcul sous différentiel

[an2017]

Bonjour

Mon problème est le suivant:

Je dois calculer un sous gradient de la fonction définie par

p(x)=max{e^t(Cy−Cx):Cy≥Cx,y∈ X}

où C est une matrice de dimension (k×n) et e=(1,1,…,1)^t∈R^k et X est un ensemble compact polyédral

Cette fonction a son origine en optimisation multicritère.

Ma première question est pourquoi cette fonction est non différentiable? (est ce que c'est dû au fait que X est polyhédral? )

Pour le calcul d'un sous gradient, j'ai trouvé un papier qu'il faut écrire le dual du problème définissant p pour calculer un sous gradient de p.

Comme je ne me suis pas encore familiarisé avec les règles de calcul en analyse convexe, je n'ai pas compris pourquoi on passe au dual pour calculer un sous gradient d'une fonction (en général). Peut-on calculer un sous gradient de p directement et comment?

Merci d'avance pour vos réponses.
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[Resartus]

Bonjour,
Le gradient d'une fonction (un champ) scalaire est toujours dans le dual (on peut dire aussi que c'est un vecteur covariant). C'est seulement dans le cas particulier d'un repère orthonormé qu'on peut l'identifier au vecteur contravariant qui a les mêmes coordonnées.
Dans le cas le plus général, pour faire passer l' indice d'un tenseur de covariant à contravariant, il faut multiplier par le tenseur (la matrice) métrique inverse.

Si Wikipedia Français https://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur vous semble trop compliqué, peut-être une explication plus simple en Anglais : https://en.wikipedia.org/wiki/Covari...nce_of_vectors

Pour ce qui est de la non différentiabilité, c'est lié au fait qu'on prend le max de plusieurs fonctions : il y a changement de pente quand le max passe d'un fonction à une autre (pensez à |x| qui est le max des fonctions x et et -x et qui n'est pas dérivable en 0...)

[an2017]

Merci Resartus,

Pour la partie non différentiabilité, j'ai très bien compris votre réponse. Par contre, pour la dualité je n'est rien compris car je n'ai aucune idée sur les notions: tenseurs, contravariant, ... enfin le coté physique de la notion du gradient. Je vais essayer de lire les liens que vous m'avez envoyé, mais je ne suis pas optimiste

Merci encore

[Resartus]

Bonjour,
Le site en anglais est nettement plus abordable.
Sinon, une manière de savoir si un vecteur est contravariant (appartient à l'espace) ou "covariant" (appartient au dual) est de constater qu'un vecteur dans notre espace 3D se mesure en mètres. Une fonction étant sans dimensions, le gradient de cette fonction aura des mètres au dénominateur et sera covariant

[A voir en vidéo sur Futura]

[an2017]

Désolé Resartus mais comme je vous ai déjà dit je n'ai aucune connaissance des notions que vous donnez ici