Bonjour,
J'ai des exercices à faire sur les suites et j'ai un peu de mal. J'ai deux questions qui portent sur les limites de suites et son assez similaire l'une à l'autre, raison pour laquelle je les mes sur le même topic.
- La première qui me pose souci est de montrer que la suite cos(n) (avec n entier naturelle) ne converge pas. J'ai essayé de le prouver par l'absurde avec le critère de Cauchy.
Si elle converge alors elle à une limite L et d'après le critère de cauchy |cos(n+k) - cos(n)|<e et |cos(n) - L|<e (à partir d'un certain rang N(e) ),
on peut écrire alors |cos(n)[cos(k+1) - 1] -sin(n)sin(k)|<e
Je ne sais pas vraiment comment démontrer que c'est absurde d'écrire le |cos(n+k) - cos(n)|<e, peut être en utilisant le fait que cos est périodique et avce k=E(2pi+1).
- Ma seconde question est : une suite Un de réels non nul avec lim(n tend ver +inf) (U(n+1)/U(n)) = L, avec -1<L<1. Il faut montrer qu'elle converge.
d'apres la définition de la limite on peut écrire (L-e) < U(n+1)/U(n) < (L+e) (a partir d'un rang N(e) et avec e= ((1-|L|)/2) pour ne pas sortir de l'intervalle [-1,1])
on répète ce schéma jusqu'à N(e) puis on les multiplie termes à termes ce qui nous donnent
((L-1)^(n-N)/(2^(n-N))<Un<((3L+1)^(n-N)/2^(n-N))
Par le théorème de gendarmes je conclus que la limite de Un tend vers 0.
Si ma démarche ou mon raisonnement est faux pourriez vous m'aiguillez sur les bons résultats sans me donner une réponse pré-maché (je ne pourrais jamais progresser sinon) Merci d'avance et désoler si deux questions en même temps c'est un peu trop.
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