Problème développement limité (Taylor-Young)

[GlucoMister]

Bonjour à tous,
Voulant une manière passe-partout de trouver un développement limité de n'importe quelle fonction à un ordre quelconque, je me suis dit que j'allais apprendre la formule de Taylor-Young.
J'ai cependant en ce qui concerne les suites des problèmes.
Je m'efforce effectivement de trouver le développement limité quand n tend vers + l'infini de la suite :



sauf qu'avec la formule de Taylor-Young :

; avec a au voisinage de + l'infini et

Et bien ça ne marche pas, de fait a n'est pas un nombre (le voisinage n'est pas fixé), premier problème
de plus, on a là une suite et non une fonction donc après tout peut-être que la formule de Taylor-Young n'est valable que pour les fonctions ?
Je ne vois pas comment l'utiliser ici, c'est un peu flou, pourriez-vous me montrer la démarche à suivre s'il vous plaît ?
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[Tryss2]

La bonne fonction à considérer c'est



Et alors , et tu peux faire un développement limité de f en 0 pour obtenir un développement asymptotique de

[GlucoMister]

J'y avais déjà pensé mais ça ne marchait pas, voilà ce que j'obtenais :



si on fait en 0 on aura du 1/0 ce qui pose problème...

[Tryss2]

C'est a qui vaut 0, pas n...

[A voir en vidéo sur Futura]

[GlucoMister]

Avoir a=0 revient à avoir 1/n = 0 donc n qui tend vers l'infini mais du coup on n'est plus au voisinage de 0 puisque n tend vers l'infini...
Et je ne vois pas à quoi cela va amener sans faire apparaître le symbole limite.
le problème avec la nouvelle fonction f(x) est justement qu'on étudie le développement limité de celle-ci en 0 mais pas de celle qu'on veut qui inclut, elle, des fonctions inverses.

Clairement je ne comprends rien, tous les pinceaux s'emmêlent là... entre le 1/n et le x je ne sais quoi considérer et pourquoi pour "a". Je ne saurais vraiment dire où est mon problème tellement c'est embrouillé.
Je vais essayer de récapituler mon problème :
On a :


donc au voisinage de 0 c'est-à-dire quand n tend vers 0... Mais c'est une suite et ce sont des entiers naturels, quelle est la logique de parler de voisinage déjà ?
bon je continue : on utilise alors la formule de Taylor-Young... Mais ça ne peut pas marcher car f(a)=f(0) reviendrait à avoir "1/0" impossible.

Je vois ce que vous avez essayer de me dire, mais c'est une vision très floue, tellement floue et c'est pour moi une manière pas naturelle de faire.

Désolé d'être si brouillon quand je m'exprime mais c'est l'état dans lequel est mon cerveau en ce moment face à cette impasse qui, je n'en doute pas, est pour vous est de la rigolade.

Pourriez-vous me montrer le raisonnement en entier ?

[gg0]

GlucoMister,

pourquoi ne fais-tu pas ce que dit Tryss2 ?
Tu contestes, tu baratines, mais tu n'as pas développé f(x) au voisinage de 0, puis appliqué ce résultat à x=1/n. Donc tu ne peux pas savoir.
Après, tu peux parler de " vision très floue, tellement floue ", c'est normal, tu ne regardes pas directement, tu louches à côté.
Donc fais exactement ce qu'il t'a dit. Tu verras !

Cordialement.

[GlucoMister]

Oh mais je pourrais le faire et simplement vous dire que :

On a

On calcule ses dérivées successives jusqu'à 2 par exemple :



d'où on en déduit son développement limité en 0 à l'ordre 2 par exemple :








Bon bah voilà où j'en arrive, ça ne marche pas.

Mais le truc aussi c'est que je ne comprends pas pourquoi on pose
La logique d'avoir fait cela n'est pas claire dans mon esprit.

[gg0]

Parce que ça marche, Tryss2 t'a montré pourquoi au message #2.


" voilà où j'en arrive, ça ne marche pas." Si, ça marche ! Simplement tu ne termines pas le calcul ...
Tu as trouvé les DL à l'ordre 2 de f en 0, ça te donne un DL à l'ordre 2 de Un , de la forme :

Si tu veux aller plus loin, avoir plus de termes, il faudra évidemment pousser le DL de f(x) en 0. Pour une formule générale, ne rêves pas trop, ta fonction est suffisamment compliquée pour que ce soit un très très gros travail.

Cordialement.

[jacknicklaus]

Bon sang que tu es compliqué Glucomister !

A l'ordre 1, au voisinage de 0, On a
(évident)

Pose

D'où


terminé !

[GlucoMister]

D'accord mais clairement le problème c'est qu'on ne trouvait pas du tout ça.

On s'était basé sur le fait que

Ici notre serait :

Ce qui donnait alors :



Et moi je voulais comprendre cette formule qu'on nous a donné comme cela en la redémontrant avec la formule de Taylor-Young, ne comprenant pas d'où elle vient, et on arrive visiblement à une impasse.

En espérant ne pas trop vous énerver .

Cordialement

[gg0]

"on arrive visiblement à une impasse" ??
Où as-tu vu une impasse ? Tu es bien le seul à la voir (et à refuser de faire le calcul correctement).
Il n'y a pas d'impasse, seulement un calcul pas fait sérieusement (DL trop court de f).

Alors sois sérieux, développe avec la formule de Taylor à l'ordre 3, et tu verras.

Cordialement.

NB : la formule pour (1+h)^(1/2) que tu utilises est une application de la formule de Taylor.