Décomposition en éléments simples

[srvo20]

Bonsoir,

En Sciences de l'ingénieur, nous avons étudié la décomposition en éléments simples. J'ai quelques difficultés avec le calcul en pièce jointe.

Pour déterminer A₀, on multiplie de chaque côté par p, puis on pose p=0. On trouve effectivement la valeur A₀ de l'énoncé.

Mais pour déterminer D et E, comment faire ? Par quoi faut-il multiplier de chaque côté ? Puis comment poser p ?

Merci beaucoup pour votre aide.

Bonne fin de soirée.

NB : Je poste ce message dans la rubrique mathématiques car la décomposition en éléments simples s'apparente plutôt à des mathématiques qu'à des sciences de l'ingénieur à proprement parler !
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[gg0]

Bonjour.

Il existe plusieurs méthodes, dont l'une a l'avantage de donner tous les coefficients inconnus à la fois : réduire au même dénominateur, puis identifier le numérateur avec celui de l'expression initiale.Inconvénient : les calculs sont lourds.
Une autre donne aussi des calculs assez lourds : prendre différentes valeurs pour p et remplacer. Si on cherche 3 coefficients, avec 3 valeurs on y arrive généralement. Elle est trop lourde ici, parce que les valeurs sont écrites avec des lettres.
En voici une qui permet de trouver D : On multiplie les deux membres par p, et on fait tendre p vers l'infini. Au premier membre, la limite est 0; au second membre, c'est A₀+D; Donc D=-A₀

Donc ici :
* Méthode des pôles simples pour avoir A₀
* méthode des limites pour avoir D
* réduction au même dénominateur et identification (difficile de lire, j'écris E_c, mais je doute) :

On remplace A₀ et D par leurs valeurs, et on cherche de chaque côté les termes de degré 1 en p, leurs coefficients sont les mêmes :

Cordialement.

[srvo20]

Bonjour,

Merci beaucoup pour votre réponse.

Quand je mets tout au même dénominateur, j'obtiens :

K*omega₀²*E_c=A₀p²-2pcA₀+A₀c²+A₀d²+Dp+E.

Comment identifier ensuite ?

Et je n'arrive pas à utiliser la méthode où l'on fait tendre p vers l'infini, elle ne marche pas... J'obtiens en effet des formes indéterminées...

Et si on fixe par exemple p=c, on obtient A₀=(K.omega₀².E_c)(d²). Mais ce n'est pas la valeur donnée par l'énoncé...

Donc je ne sais plus comment faire...

Pourriez-vous m'expliquer svp ?

Merci.

[gg0]

Au premier membre, tu as un polynôme en p qui est constant. Au deuxième, iun polynôme en p que tu peux mettre sous la forme ap²+a'p+a".
Donc a=0, a'=0 et a" est la constante.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

En voici une qui permet de trouver D : On multiplie les deux membres par p, et on fait tendre p vers l'infini. Au premier membre, la limite est 0; au second membre, c'est A₀+D; Donc D=-A₀

@ srvo20
Comme il était question de science de l'ingénieur, cette méthode donne le théorème de la valeur initiale :

On peut trouver la relation entre A et D directement sur les originaux temporels en 0.

Si on n'aime pas les limites et qu'on préfère les complexes, on peut multiplier par (p-c)^2+d^2 et évaluer en p qui annule l'expression.
Cela donne deux équations à deux inconnues réelles D et E (une équation complexe).

C'est un peu plus long que la méthode des limites.