critères valeurs propres

[Anatole Fetride]

Bonjour Bonjour !

Je viens rechercher l'aide précieuse de mathématiciens expérimentés qui sauraient me donner milles et unes astuces pour trouver rapidement les valeurs propres d'une matrice.
Pour m'expliquer clairement, j'ai un examen d'algèbre dans 2 mois dans lequel j'aimerais cartonner car il est à l'origine de mon redoublement l'an passé.
J'ai le souvenir d'y avoir été confronté à des exercices où la forme de la matrice suggérait de ne pas appliquer brutalement la formule det(A-Ia)=0.
On était sensés travailler ses matrices, ou exploiter certaines symétries pour retrouver ses valeurs propres.
Voilà j'aimerais demander votre aide pour avoir le maximum de critères différents afin de trouver rapidement et efficacement ses valeurs propres. Si vous avez aussi sous la main des exercices qui font découvrir ou travailler la recherche de ses valeurs propres pour des cas intéressants (et non pas les cas qui demandent simplement un développement du det sans subtilités), je serais ravis que vous les partagiez ici.

Merci d'avance pour vos réponses,

Bonne soirée!

Anatole
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[albanxiii]

Bonjour,

Vaste question... on acquiert l’œil pour ce genre de chose en pratiquant.

Quelques remarques en vrac :
- quand le rang d'une matrice n'est pas égal à sa dimension, elle a au moins une valeur propre nulle (à vous de dire pourquoi)
- si une matrice de dimension n a un rang r, alors zéro est valeur propre de multiplicité n-r (à vous aussi de dire pourquoi)
- toujours se souvenir que le déterminant et la trace sont des invariants, c'est à dire qu'ils valent la même chose quelque soit la base dans laquelle la matrice est écrite (sous forme diagonale ou non, donc)
- si on applique la remarque précédente aux matrices 2x2, le produit des valeurs propres est égal au déterminant et leur somme à la trace (exemple : déterminant = 2, trace = 3 => valeurs propres = 1 et 2, évident )

Il y a encore plein de techniques plus ou moins immédiates... avec ma petite expérience de physicien ce que je vous ai dit me suffit, mais les vrais mathématiciens du forum vous en diront plus.

Si vous pouviez poster le sujet de votre examen de l'an dernier, cela pourrait aussi être utile.

[TesiI]

Salut, voici quelques autres techniques qui m'ont été utile au travers de mes différents exercices :

- Vérifier si la somme des lignes est égale à une valeur constante, auquel cas 1 est valeur propre.
- Lorsque tu as trouvé quelques valeurs propres d'une matrice A mais pas toute, tu peux utiliser le fait que la somme des carrés des valeurs propres est égale à la trace de la matrice au carré (lorsque la matrice est au moins trigonalisable)
On peut bien sûr dire la même chose pour n'importe quelle puissance de la matrice mais les calculs commencent à devenir long.
- Essayer de trouver des polynômes annulateurs évidents en ajoutant des multiples de In ( matrice identité ) : Si par exemple tu as une matrice B avec des 1 partout sauf sur la diagonale qui est remplit de 0, et bien (B+In)**2 = n(B+In) ( car B+In est une matrice avec des 1 partout )
- Vérifier si la matrice est nilpotente ( par exemple si elle est triangulaire à diagonale nulle ce qui saute aux yeux ) ou si c'est une matrice de permutation donne aussi des informations sur les valeurs propres, je pense que tu vois pourquoi.

Voila c'est à peu près tout ce qui me vient en tête pour l'instant, mais effectivement n'hésite pas à poser ton sujet de l'année dernière.

Cordialement
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