Transformation de fourier d'une gaussienne

[bels2334]

Bonjour,

Je dois calculer la transformé de fourier d'une gaussienne, f(t) = e^−t2/(2σ2).
Je vous ai mis en piece-jointe ce que j'ai fais mais je ne sais pas si cela est bon.

Pouvez m'aider s'il vous plait.

Merci.
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[gg0]

Bonjour.

Je ne comprends pas ce que tu calcules, ce n'est pas ce que tu dis. pars-tu d'une formule ? En tout cas, ce que tu écris n'a pas de sens pour moi : Qui est f ? Que signifie ? Le calculer revient-il à remplacer par 0 dans l'expression de f ??

Cordialement.

[jacknicklaus]

il y des confusions de notations regrettables. il ne faut pas utiliser le même nom pour la fonction (f) et sa transformée de Fourier (F). Et en effet, je ne vois pas ce que le w = 0 fait ici.
Le calcul est classique : tu poses F(p) selon la définition d'une TF.
Une méthode simple et rapide est alors de dériver par rapport à p. tu vas trouver une équation différentielle très simple que tu résous, et tu retrouves pour F(p) une autre Gaussienne, avec les coefficients qui vont bien.

Une autre méthode est de faire un changement de variable ce qui transforme le chemin d'intégration en un contour sur le plan complexe, et l'intégrande en une simple exponentielle(a.z²) et d'utiliser le résultat classique : somme sur R de exp(-a.x²) = racine(pi/a)

[bels2334]

bonjour,

J'ai suivi vos indications et refait les calculs. Je vous ai mis en pièce jointe ce que j'ai obtenu.

Cependant je suis censé obtenir comme résultat : f(t) =racine(2pi)*σ* e^f2σ2/2 et la j'obtiens un truc totalement différents.

Vous voyez d'ou peut venir le problème ?

Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

tu fais trois erreurs.
1) d'une part, ta définition de transformée de Fourier est erronée. l’exponentielle qui utilise le produit des valeurs conjuguées p et t est simplement exp(ipt). il n'y a pas de 2pi
2) d'autre part, tu fais des erreurs de calcul en ligne 4, tu as apparemment oublié que i² = -1, et le racine(2 sigma) est faux. Revois celà !
3) enfin, tu te débarrasses bien vite du problème de changement des bornes d'intégration après ton changement de variables !