représentation sous la forme de deux carrés

[mathias3500]

Bonsoir,
Est ce que l'ensemble des nombres de représentions sous la forme de deux carrés de chaque entier est majoré?
Merci
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[eudea-panjclinne]

Un élément de réponse :
Soit N un entier naturel donné. Combien y a t-il de solutions entières à l'équation :
N=a²+b² [1]
Il est clair que abs(a)<=racine(N) de même pour b donc si on note C(N) le nombre de solutions entières de l'équation [1]
C(N)<=4N... sauf erreur !
Donc pour N fixé c'est majoré.

Maintenant C(N) est-il majoré quand N tend vers l'infini ???

[Médiat]

Bonsoir,

Par contre, quelque soit n il existe un entier ayant plus de n représentations comme somme de 2 entiers.

[Tryss2]

Le nombre de telles représentations est donné par :



où est le nombre de diviseurs de n de la forme 4k+1 et , ceux de la forme 4k+3 (Jacobi two-square theorem).

On peux montrer aussi que si



Avec les pi premiers de la forme 4k+1 et les qj premiers de la forme 4k+3, alors le nombre d'écritures en somme de deux carrés est égal à

4*(1 + a1)*(1 + a2)*...*(1+ ai)

si tout les bj sont pairs, 0 sinon.


Donc en particulier, 9*5^n a 4(n+1) écritures différentes en somme de deux carrés (donc le nombre d'écritures en somme de deux carrés n'est pas borné)

[A voir en vidéo sur Futura]

[mathias3500]

Merci!
Avez vous la démo de cette égalité?

[Médiat]

Attention cette formule compte 8 solutions pour 5 car

[Schrodies-cat]

Une approche est de considérer l'ensemble des points du cercle de rayon 1 à coordonnées rationnelles (lié à l'ensemble des triplets pythagoriciens).
Il y en a une infinité, c'est un résultat classique.
Si je prends n de ces points et réduis l'ensemble de leurs coordonnées au même dénominateur, je peux obtenir un nombre qui s'écrit d'au moins n façons comme somme de deux carrés.