Forme differentielles sur S1

[mcheddadi]

Bonjour,
Vous êtes pries et remercies d’échanger avec moi a propos du sujet suivant :

Soit S1 le cercle unité dans le plan R2 , centré a l’origine et soit ω ∈ Ω1(S1) la 1-forme différentielle fermée definie par
ω(Y ) =< Y, X > pour tout vecteur tangent Y tangent au cercle, ou X est le champ de vecteurs unitaires sur S1 respectant l’orientation induite sur S1 par l’orientation ambiante
standard de R2 . Montrez que ω n’est la dérivée extérieure d’aucune 0-forme de S1 (une telle 0-forme est simplement une fonction lisse sur le cercle). Autrement dit, il n’existe
aucune fonction lisse f sur le cercle vérifiant df = ω.

Je ne me sens pas familier avec les expressions locales des formes différentielles. Je crois comprendre que la forme différentielle en question est un ensemble de formes linéaires
sur l'espace tangent a S1 qui dépendent ( chacune d'elles du vecteur X ) . On a donc :
ω : S1 -> ( TS1) *

X -> ω (X) : TS1 -> R
Y -> < Y, X >


ω (X)(Y) = X1Y1 + X2Y2


Je cherche, donc, s'il est possible d'ecrire cette expression sous la forme : df = X1Y1 + X2Y2

ou f : S1 -> R f est lisse.
Comment je peux exprimer ma forme différentielle sous la forme : xdx + ydy ?
Ensuite je sens que f ne peut être lisse sur S1 car elle contient f( x, racine carrée de ( 1 - x2 ) ) et la deuxième composante n'est pas différentiable en x= 1 )

Cordialement.
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[PhilTheGap]

Bonjour

Je crois qu'il faut trouver f telle que df = df/dx dx + df/dy dy = xdx + y dy. On a donc df/dx =dx et df/dy=y. D'où l'on conclut que f n'existe pas.
Par ailleurs si f était exacte, son intégrale sur S1 devrait être nulle.

[AncMath]

La forme différentielle est nulle sur le cercle. Elle s’écrit bien pour par exemple .

Mais la forme de l'énoncé n'est pas mais dont l'intégrale sur le cercle n'est pas nulle et donc ne peut être exacte par Stokes.

[PhilTheGap]

Errata: je me suis complètement mélangé les pinceaux. Si on suit mon explication précédente d'ailleurs, on voit que f existe et est égale à 1/2 (x^2 + y^2).

Donc ce qu'on cherche c'est une fonction f telle que, si t est l'angle orienté (Ox, Oy), df/dx = -sin(t) et df/dy = -cost(t). On ne peut pas trouver de telle fonction et là je suppose qu'on s'en sort en utilisant x = cos(t), y=sin(t) et en cherchant à résoudre, mais c'est pas très élégant... Mieux vaut passer en coordonnées polaires.

Mais ce que j'ai écrit avant reste valable: si df est exacte se circulation devrait être nulle sur S1, or ce n'est clairement pas le cas. D'où la conclusion.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PhilTheGap]

> La forme différentielle est nulle sur le cercle...

Comme quoi il vaut mieux s'adresser au Bon Dieu qu'à ses saints...

[mcheddadi]

Merci.
Mais pourriez-vous détailler plus s'il vous plait ?

[mcheddadi]

Pourquoi de la forme : xdy-ydx s'il vous plait ?

[AncMath]

Quelles sont, d'après toi, les coordonnées dans du champ de vecteurs ?

[azizovsky]

la méthode ci-dessus passe par un recouvrement(*)...,
(**) un procédé qui fait appelle à des raisonnement analytique est le suivant :

introduisons la coordonnée , où et représente un même point du cercle quand est entier. une forme de degré 1 se présente comme comme où est une fonction 2pi-périodique, on'a toujours car la dimension du cercle est 1.

quand le forme est exacte ? , cela signifie que , où est une fonction périodique

on'a : par conséquent, la fonction est périodique si est seulement si est vérifiée la condition :

ou
.....

(*)leçon de géométrie, variété différentielle ,M Postnikov
(**) géométrie contemporaine tome III, Doubrovine, Novikov, Fomenko.

ps: ( en état de sevrage ...)

[mcheddadi]

Cost et sint
X etant un vecteur unitaire

[PhilTheGap]

Cost et sint
X etant un vecteur unitaire

Plus précisément (-sin t, cos t), c'est-à-dire (-y,x) sur le cercle S1

[mcheddadi]

Ca c'est le vecteur tangent a S1 au point (x,y) de S1 c'est à dire le vecteur que j'ai nommé Y
Mais comment passer de -yx1 + xx2 à -ydx + xdy ?

[mcheddadi]

Que signifie, dans l'énoncé, X est le champ de vecteurs unitaires sur S1 respectant l'orientation ambiante standard de R2 ?

[AncMath]

Ici est le champ de vecteur unitaire (tangent) qui donne l'orientation usuelle sur le cercle.
Il y a deux champ de vecteurs tangents unitaires sur le cercle, qui sont et pour un point quelconque du cercle. Un seul est orienté positivement, c'est .
Ta forme est donnée par le produit scalaire contre . Autrement dit pour n'importe quel vecteur tangent au cercle en .
Es tu capable d'exprimer la forme linéaire en fonction de et ? Que vaut ? Que vaut

[mcheddadi]

Les dx et dy sont des formes linéaires sur l'espace tangent qui envoient respectivement la première et la seconde coordonnée ?

[mcheddadi]

Donc les 2 vecteurs X et Y sont tangents a S1 au point (a,b). mais dans l’énoncé on ne dit pas que X est tangent a S1

[mcheddadi]

= - b dx (Y) + a dy(Y)
C'est bon ?

[mcheddadi]

Comment on peut démontrer que H1deRham(S1) est isomorphe a R en utilisant le lemme de Poincaré ?

[AncMath]

Qu'appelles tu exactement le lemme de Poincaré ici ?
Dans tous les cas, tu as une application donnée par . Cette application est bien définie, par Stokes là encore, et est surjective parce que la forme s'envoie sur 2\pi.
Reste à voir qu'elle est injective, mais c'est évident, car si alors tu peux poser . Cette fonction définie bien une fonction lisse sur car elle est lisse et périodique dont la differentielle vaut ... ?

[mcheddadi]

Le lemme de Poincare dit que localement toute forme fermée est exacte.

[mcheddadi]

Je trouve ; df = alpha ( exp(it)) i exp(it) dt
On en deduit que alpha = 0 ?

[mcheddadi]

Je pense ainsi :
Comme la forme alpha est exact sur tout ouvert de S1 , son integrale est nulle sur tout ouvert de S1. Et puisque son integrale est nulle sur S1 alors son integrale est nulle sur tout ferme ( complementaire de l'ouvert en question ) qui est compact. Puis-je en deduire que cette frome est nulle ?

[azizovsky]

comme, il a dit en haut, le raisonnement analytique, consiste à associer à chaque sur l'intégrale :



l'application obtenue :
(*):---->

/---->

est linéaire est épimorphe (sur..) (car pour la forme )

si , ou est une fonction sur (une fonction périodique sur ), i.e. si , alors:


réciproquement, si la fonction : est périodique, et par conséquent, est une fonction sur telle que .
donc, le noyau de l'application (*) est le sous espace des formes exactes, et par conséquent, cette application induit un isomorphisme de sur .

Ps: épi et mono=iso (manque de jus nominale pour mes transitors ...)

[mcheddadi]

Comment le faire en utilisant le lemme de Poincare ?

[AncMath]

Je pense ainsi :
Comme la forme alpha est exact sur tout ouvert de S1 , son integrale est nulle sur tout ouvert de S1. Et puisque son integrale est nulle sur S1 alors son integrale est nulle sur tout ferme ( complementaire de l'ouvert en question ) qui est compact. Puis-je en deduire que cette frome est nulle ?

Tu ne dois pas prouver que la forme est nulle, simplement qu'elle est exacte.

[mcheddadi]

Bonsoir,
C'est quoi un système differentiel de rang p sur une variete de dimension n ?
Quelle est la condition qui lie n et p pour que ce système représente par une n-p forme differentielle soit automatiquement intégrable ?
Merci.

[AncMath]

Faudrait que tu en dises un peu plus. En l’occurrence c'est le théoreme de Frobenius qui te dit quand un système différentiel est intégrable. Il faut et il suffit que l'idéal engendrant ton système dans l'algèbre des formes soit stable par différenciation. Mais ca n'est pas une condition sur n-p...

[mcheddadi]

Systems différentiels et théorème de Frobenius. (a) Soit E un système différentiel de rang p sur une variété lisse M de dimension n. Supposons que E soit donne par une (n − p)-forme singleton ω ∈ Ωn−p(M), ω = ω1 ∧ . . . ∧ ωn−p, ωi ∈ Ω1(M). Quelle relation doivent satisfaire n et p pour que E soit automatiquement intégrable ?
(b) Soient M = R3 et un E un système différentiel de rang 2 (c`ad p = 2) donne par la 1-forme ω(x, y, z) = P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz.
Quelles sont les conditions sur les fonctions P, Q, R pour que E soit intégrable ?
(c) Soit ω = dx + zdy + ydz. Ce système est-il intégrable ? Si oui, trouvez l’expression de la surface intégrale passant par l’origine de R3. (Indication: trouver une primitive de
ω, si elle existe.)