Relation binaire fonctionnelle

[invite20527e22]

Les ensembles qui suivent définissent–ils une relation binaire fonctionnelle ?
Si oui, donnez un ensemble de départ qui en fasse une application, vous direz
ensuite si elle est injective, et s’il existe un choix de l’ensemble d’arrivée qui
la rende surjective.

1. {(0,1),(0,0)}
2. a,b sont deux symboles. {(0,a),(1,a),(2,b)}
3. {(x,y) ∈ ℕ² / x+y≤4}
4. A = {(x,y) ∈ ℕ² : x≥4 et y≥3}
5. B = ℕ²\A


Mes réponses :

1. Non car 0 à deux images
2. Oui c'est une relation binaire fonctionnelle

en revanche pour les questions 3 à 5 je ne vois pas comment faire ...
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[invite82078308]

Pour 2. , vous n'avez pas répondu à toutes les questions posées.

Pour 3. et 4. , cherchez des exemples de couples qui satisfont le conditions requise.
Pour 5. explicitez ce que signifie ne pas appartenir à A et procédez de même.

[invite20527e22]

Si oui, donnez un ensemble de départ qui en fasse une application, vous direz
ensuite si elle est injective, et s’il existe un choix de l’ensemble d’arrivée qui
la rende surjective.


Désolé de répondre que maintenant, donc pour la 2)

Pour que ça soit une application il faudrait enlever un élément de l'ensemble de départ (0 ou 1) auquel cas on aurait une application bijective n'est-ce pas ?

[invite20527e22]

Je rappelle la définition d'une relation fonctionnelle selon Wikipédia :

Lorsque, pour tout élément x de E, x n'est en relation qu'avec 0 ou 1 élément y de F, on dit que la relation est fonctionnelle.

3.

Je vais définir cet ensemble en extension car j'ai du mal à le visualiser...

{(x,y) ∈ ℕ² / x+y≤4} = {(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4) ,(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0) ,(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(4,0) }

C'est n'est donc pas une relation binaire fonctionnelle car les éléments 0, 1, 2 et 3 admettent au moins une image.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite20527e22]

4. Selon moi ce n'est pas une relation binaire fonctionnelle pour les mêmes raisons que 3) sauf que la c'est carrément tous les éléments de l'ensemble de départ qui ont plus de 1 image

[invite20527e22]

5.

B = ℕ²\A = {(x,y)∈ ℕ² / x<4 et y<3} (j'espère pas dire de bêtise)
si c'est le cas l'ensemble B définit en extension donnerait : {(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,2) ,(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1) ,(3,2)}

Là encore tous les éléments de l'ensemble de départ on plus de 1 image donc ce n'est pas une relation fonctionnelle

[invite20527e22]

mes réponses sont-elles juste ?

[gg0]

Si oui, donnez un ensemble de départ qui en fasse une application, vous direz
ensuite si elle est injective, et s’il existe un choix de l’ensemble d’arrivée qui
la rende surjective.


Désolé de répondre que maintenant, donc pour la 2)

Pour que ça soit une application il faudrait enlever un élément de l'ensemble de départ (0 ou 1) auquel cas on aurait une application bijective n'est-ce pas ?

Tu sors du sujet. On te demande un ensemble de départ que fasse de cet ensemble de couples une application. Si tu apprends ce qu'est une application, ce sera facile de répondre. Sans modifier l'énoncé. Et je te fais remarquer que l'ensemble de départ n'est pas défini par l'ensemble de couples. La seule chose qu'on sait c'est qu'il contient 0,1 et 2.

Cordialement.

[gg0]

Je rappelle la définition d'une relation fonctionnelle selon Wikipédia :
"Lorsque, pour tout élément x de E, x n'est en relation qu'avec 0 ou 1 élément y de F, on dit que la relation est fonctionnelle."

3.
Je vais définir cet ensemble en extension car j'ai du mal à le visualiser...

{(x,y) ∈ ℕ² / x+y≤4} = {(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4) ,(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0) ,(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(4,0) }

C'est n'est donc pas une relation binaire fonctionnelle car les éléments 0, 1, 2 et 3 admettent au moins une image.

Aucun rapport avec la définition que tu cites.
pourquoi aller chercher sur Wikipédia, tu n'as pas un cours sur ces sujets ?

[gg0]

Pour le reste, l'idée est bonne, mais un exemple de 2 couples avec le même premier élément, mais des deuxièmes différents suffit.

Cordialement.

[invite20527e22]

Pourquoi ça n'a aucun rapport ? C'est juste que dans cette définition E est l'ensemble de départ et F l'ensemble d'arrivé

[invite20527e22]

2. a,b sont deux symboles. {(0,a),(1,a),(2,b)}

Une application est la donné de 3 choses :

- Un ensemble de départ (le domaine de définition)
- Un ensemble d'arrivé
- Une recette : qui associe à tout élément de l'ensemble de départ un unique élément de l'ensemble d'arrivé


Pour moi ça ressemble a une application surjective...

[gg0]

Dans ton énoncé, ni l'ensemble de départ, ni l'ensemble d'arrivée ne sont donnés !

Comme une relation fonctionnelle est un sous ensemble d'un produit ExF, cet énoncé est fautif ! En fait, on te demande de le rectifier, en choisissant E (ensemble de départ de la relation) et F (ensemble d'arrivée).
Une application est une relation fonctionnelle dans ExF telle que tout élément de E apparaît comme première composante de la relation. il n'y a pas de "recette" pour une application, ce que tu copies est de la mauvaise vulgarisation, de la définition pour petits élèves de fin de collège.

Encore une fois, as-tu un cours ? Aller chercher des définitions disparates ici ou là ne fera que te perdre.

[invite20527e22]

Voici la définition que j'ai dans mon cours concernant les relations binaires fonctionnelles :

"Soit f une relation binaire d'un ensemble X vers un ensemble Y. Alors :

f est fonctionnelle si pour tout x∈X, il existe au plus un élément y∈Y en relation avec x"



J'ai bien compris la différence entre une relation binaire fonctionnelle et une application, je sais par ailleurs qu'une application est une fonctionnelle mais que l'inverse n'est pas toujours vrai (comme vous l'avez dit il n'y a pas de recette pour une application). Grossièrement on pourrait dire qu'une fonctionnelle est en quelque sorte une injection pour l'ensemble de départ c.a.d que tous les éléments de l'ensemble de départ ont au plus une image.

Pour en revenir à la question 2) a,b sont deux symboles. {(0,a),(1,a),(2,b)}

on a E = {0,1,2} et F ={a,b}

d'ou ExF = {(0,a),(1,a),(2,b)}

Je l'ai représenté avec un diagramme sagittal on a les éléments 0 et 1 de l'ensemble E qui vont vers l'élément a de l'ensemble F et l'élément 2 de l'ensemble E qui va vers l'élément b de l'ensemble F.

Je le répète pour moi ça ressemble à une application surjective ou le domaine de définition est E...

[gg0]

Quel est ton énoncé exact. Car dans celui du message #1, que tu reprends, E et F ne sont pas précisés, on peut avoir E={-5,-4,-2,0,0.5,1,2,pi,5} et F est l'alphabet.

De plus, tu sembles ne pas comprendre la notation ExF qui désigne l'ensemble de tous les couples composés d'un élément de E et d'un élément de F. Donc dans ton cas, ExF a 6 éléments, pas 3 : ExF={(0,a),(0,b),(1,a),(1b),(2 ,a),(2,b)}. Et {(0,a),(1,a),(2,b)} est une partie (un sous ensemble)de ExF.

Je commence à me demander si ce n'est pas, de ta part, un problème de compréhension et d'écriture du Français, si tu ne fais pas la différence entre "je choisis de prendre E = {0,1,2}" et "on a E = {0,1,2}"
"on a veut dire que ça ne dépend pas de toi.