Convergence de la serie du prdouit de Dirichlet

[jackgre]

Bonjour voici mon problème:
on definit E l'ensemble des application de N* dans R
et on definit le produit de convolution * dans E par

on suppose que
et
sont absolument convergentes;
il faut alors montrer que
est absolument convergente et que


je ne vois pas du tout comment faire, meme pas montrer l'absolue convergence
Une idée ?
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[God's Breath]

Sais-tu prouver que le produit de convolution usuel, c'est-à-dire :

de deux séries absolument convergentes est convergente ?

[jackgre]

Avec le produit comme vous le définissez (k+l=n) oui.
Cela revient à faire le produit de Cauchy de deux série absolument convergente, le produit est donc lui aussi absolument convergent.
Mais je n'arrive pas à m'en sortir avec ce kl=n

[God's Breath]

La méthode est la même.

Tu commences par le cas où les suites et sont positives et tu compares :

en constatant qu'une des sommes contient plus de termes que l'autre, ce qui permet de majorer les sommes partielles de la série produit, et de prouver sa convergence.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jackgre]

Ah tres bien je vois,
pour prouver l''egalité des sommes, sachant que les familles sont sommables on peut reindexer comme on veut et donc l'egalité est prouvé ainsi?

[God's Breath]

Oui,

Si tu disposes de la notion de famille sommable, c'est immédiat : l'hypothèse prouve que la famille double est sommable via une série double, ce qui assure la convergence absolue et la même valeur de la somme lorsqu'on regroupe les termes différemment, par exemple suivant les valeurs du produit , comme on le fait en regroupant suivant les valeurs de la somme pour le produit de convolution ordinaire (produit de Cauchy).

[jackgre]

oui c'est ce que je voulais dire,
merci pour tout !