continuite , suites

[invitea19e35c1]

bonjour ,
j'ai des problemes dans des exercices d'algebre
le premier :
Soit B(a,r) (avec a appartient a E er r>0 ) une boule ouvert d'un espace de Banach (E .ll.ll) Consiserons f:B(a,r)-->E une appliaction continue telle que l'application x--?fi(x)=x-f(x) soit une apllication k-lipschitizienne avec 0<k<1
montrer aue pour x,y appartient a B(a,r) , on a (1-k)llx-yll<=llf(x)-f(y)ll
j'ai pu repondre aux autres qst de l'exercice , dans cette qst mon probleme c;est que je ne peux pas utiliser l'inegalite triangulaire des normes

et puis mon 2 eme probleme
Soit (E,ll.ll) un espace vectoriel norme sur K et soit (un) une suite convergente des vecteurs E et de limites u
1/ on pose vn=(1/n)(u1+u2+...+un)
montrer que (vn) converge vers u . examiner la reciproque
2/on pose wn=(1/n^2)(u1+2u2+3u3+...+nun) montrer que le suite (wn) converge vers u/2
j'ai pu respondre a la 1 ere qst , mais je me bloque dans la deuxieme , dois-je utiliser la 1 ere qst pour repondre a la 2 eme ?
merci pour m'avoir aider
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Premier problème

je ne peux pas utiliser l'inegalite triangulaire des normes

Pourquoi ne pas pouvoir utiliser l'inégalité triangulaire ?

Par définition de : .

Donc : .

Deuxième problème

Pour prouver que la suite (w_n) converge vers u/2, le plus simple est, me semble-t-il, d'utiliser la même méthode que pour prouver que la suite (v_n) converge vers u.

Une petite indication :

[invitea19e35c1]

merci bcp j'arrive a les demontrer