les réels sont-ils continu ?

[Gabriel B]

Bonjour à tous,

Je me pose une question qui peut sembler triviale tant cela semble acquis; Est ce que l'ensemble des réels est continu ?
Où plutot, car la notion de continuité ne s'applique pas à un ensemble il me semble, est ce qu'il existe un "pas" de nombre, (de la même manière que certaines théorie physique mettent en avant la notion de pas de temps ou d'espace).
Où bien encore une autre manière de le formuler, est ce que avec tel que ?

Il me semble qu'on peut démontrer qu'entre tout rationnel il existe un irrationnel et vice versa, mais je n'ai pas l'impression que ça aide.

Merci d'avance,

Gabriel B.
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[pm42]

est ce que avec tel que ?

(a+b)/2 marche très bien.

Mais pas besoin des réels pour cela : il suffit de prendre les rationnels et tu as déjà la propriété.

[minushabens]

Est ce que l'ensemble des réels est continu ?
Où plutot, car la notion de continuité ne s'applique pas à un ensemble (...)

la notion qui va bien est celle de complétude. L'ensemble des réels (muni de sa topologie usuelle) est dit complet. L'ensemble des rationnels ne l'est pas. Bien qu'entre deux rationnels on puisse toujours insérer un autre rationnel (et même plus d'un), il existe des suites de rationnels dont les intervalles sont de plus en plus petits (je simplifie) mais qui ne convergent pas, alors que ce n'est pas le cas pour les réels.

[Médiat]

il existe des suites de rationnels dont les intervalles sont de plus en plus petits (je simplifie) mais qui ne convergent pas, alors que ce n'est pas le cas pour les réels.

Attention, c'est vrai aussi pour les réels, prenez la suite des sommes partielles de la série harmonique. C'est la notion de Suite de Cauchy qui fait le job

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gabriel B]

Merci pour vos réponses, je vais aller regarder du côté de la complétude.

Pm42, ce que je me demandais c'était qu'est ce qui garantissait l'existence d'un tel nombre.

[mach3]

Pm42, ce que je me demandais c'était qu'est ce qui garantissait l'existence d'un tel nombre.

les propriétés de l'addition et de la multiplication (lois de compositions internes...)

m@ch3

[Schrodies-cat]

Il faut voir avec la méthode de construction des réels utilisée.
Dans le cas ou a et b sont définis par des suites de Cauchy de nombres rationnels, il n'est pas difficile de trouver une suite de Cauchy de nombres rationnels convergeant vers (a+b)/2.
Il faut ensuite interpréter les inégalités strictes en termes de suites de Cauchy.

[Médiat]

Bonjour,

c'était qu'est ce qui garantissait l'existence d'un tel nombre.

Si la question est de garantir l'existence d'un réel entre 2 réels, mach3 et Schrodies-cat ont répondu, si la question est de savoir qu'est-ce qui garantit l'existence d'un objet apte a représenter la limite d'une suite de Cauchy rationnelle non convergente (dans Q), c'est la construction même des réels (par cette méthode (il en existe au moins 34)) par le passage à un ensemble quotient (des suites rationnelles de Cauchy, par l'idéal de celles convergeant vers 0)

[Schrodies-cat]

Il peut être un peu laborieux de démontrer certains résultats élémentaires en mathématiques.
Ensuite, on considère ces résultats pour acquis et on ne s'en préoccupe plus.