Bonjour à tous
Je souhaiterais savoir s'il est possible de calculer la probabilité pour que :
- 3 entiers pris au hasard forment un triplet pythagoricien (c'est-à-dire que les 3 nombres forment un triangle rectangle pythagoricien) ?
- 2 entiers pris au hasard puissent être complétés par un troisième nombre entier pour former un triplet pythagoricien ?
Merci pour vos réponses
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Salut,
Attention, il est impossible d'avoir une distribution de probabilité uniforme sur les entiers (la probabilité qu'on tire un entier étant donné alors 0 pour tout entier).
Il faut donc choisir une distribution pour préciser la signification de 'au hasard". Par exemple une distribution de Poisson. Ou plus facile une distribution uniforme de 0 à N, N grand donné.
(avec la deuxième distribution suffit de dénombrer le nombre de triplets. Comme il y a des formules qui les donnent, ce n'est pas la mer à boire.
C'est peut-être un peu plus délicat avec le deuxième).
Puis éventuellement voir comment évolue ces probabilités lorsqu'on fait tendre N vers l'infini (pour le coup, je n'ai aucune intuition sur ce qu'on trouve).
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Mais pourtant on peut calculer la probabilité que 2 entiers pris au hasard soient premiers entre eux sans poser de restrictions sur leur distribution...
Dernière modification par andretou ; 19/01/2018 à 14h53.
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Oh ? Tu as une référence là-dessus ?Envoyé par andretou
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
C'est une notion de "probabilité" étendue par rapport à la signification habituelle : le fait qu'un nombre soit premier n'a rien d'aléatoire. Quant au fait de prendre un entier, c'est une opération toujours malsaine, puisqu'on ne prend jamais que des "petits entiers" : Quel que soit l'entier que l'on prenne, il existe des entiers mille fois plus grands, un milliard de fois plus grands, et une infinité de plus que 1000 milliard de fois plus grands.
En fait, cette page Wikipédia est mal rédigée. Ce qui y est donné n'est pas une probabilité au sens habituel, mais la limite de la fréquence des premiers dans [[1, N]] quand N tend vers l'infini. L'utilisation du mot "probabilité" est plus un argument de vente de la page qu'autre chose.
Cordialement.
bah non, on peut très bien parler de la probabilité qu'un entier tiré au hasard dans une certaine loi soit premier.
Le problème avec le fait de considérer la loi uniforme sur {0,...,n} puis de prendre la limite quand n tend vers l'infini, c'est qu'on peut très bien arriver à un résultat nul qui n'a alors pas beaucoup d'intérêt. Pour les triples pythagoriciens je n'ai pas d'idée. A vue de pif ça me paraît un problème difficile.
Je tente une petite analyse à partir de la liste fournie par Wikipedia des triplets pythagoriciens primitifs dont tous les termes sont inférieurs à 100 (attention, les triplets pythagoriciens "secondaires" tels que (6,8,10) n'apparaissent pas dans cette liste) :
(3, 4, 5) (20, 21, 29) (11, 60, 61) (13, 84, 85)
(5, 12, 13) (12, 35, 37) (16, 63, 65) (36, 77, 85)
(8, 15, 17) (9, 40, 41) (33, 56, 65) (39, 80, 89)
(7, 24, 25) (28, 45, 53) (48, 55, 73) (65, 72, 97)
Soit T le nombre de triplets (a,b,c) possibles pour a,b et c < n (avec a, b et c <> 0) ;
on a : T = C3n-1 = (n-1)! / [3! x (n-1-3)!] = 1/6 x (n-1)(n-2)(n-3)
Ainsi,
- pour n= 10 il existe (9x8x7)/6 = 84 triplets possibles
- pour n= 50 il existe (49x48x47)/6 = 18424 triplets possibles
- pour n=100 il existe (99x98x97)/6 = 156849 triplets possibles
Par ailleurs, on compte :
- 1 triplet pythagoricien primitif + 0 triplet secondaire = 1 triplet pythagoricien pour a,b et c <10
- 7 triplets pythagoriciens primitifs + 11 triplets secondaires = 18 triplets pythagoriciens pour a,b et c < 50
- 16 triplets pythagoriciens primitifs + 34 triplets secondaires = 50 triplets pythagoriciens pour a,b et c < 100
Ainsi la proportion des triplets pythagoriciens (c'est-à-dire la proba de tirer au hasard un triplet pythagoricien parmi l'ensemble des triplets possibles) est :
- 1/84 = 1,19% pour n<10
- 18/18424 = 0,098% pour n<50
- 50/156849 = 0,032% pour n<100
Il semble donc que la probabilité de tirer au hasard un triplet pythagoricien parmi l'ensemble des triplets possibles tend vers 0.
Qu'en pensez-vous ?
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
pour tout couple (x,y) dans {1,...,n}x{1,...,n} il y a au plus un entier z>0 tel que z^2=x^2+y^2, donc l'ensemble des triples (x,y,z) pythagoriciens a moins de n^2 éléments et donc la proportion de couples pythagoriciens en entiers compris entre 1 et n est moindre que n^2/n^3=1/n et tend donc bien vers zéro quand n tend vers l'infini.
Prenez trois entiers a, b, c, entre 1 et n Quelle est la probabilité qu'un triangle de cotés a, b, c (si il en existe un) soit rectangle ?
Vu sous cet angle, il me parait intuitif que cette probabilité tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
Mon idée est de considérer trois nombres réels a, b,c dans ]0 , 1] ...
Pour la deuxième question, elle peut se reformuler ainsi:
Etant donnés deux entiers a et b entre 1 et n, quelle est la probabilité que a2+b2 soit un carré ?
Il est vrai que les nombres qui sont des carrés se raréfient quand on prend des nombres de plus en plus grand, mais qu'en est-il du cas particulier des nombres qui sont somme de deux carrés ?
Il y a un certain nombre de résultats algébriques sur les triplets pythagoriciens, il faudrait peut-être aller chercher de ce côté.
Il n'est pire sot que qui ne veut pas comprendre .
