Maurice // Tenseur

[corentinca]

Bonjour,

Je sais que la question revient très souvent mais je souhaiterai une explication tout de même.

Quelle est la differente entre une matrice et un tenseur?
Pourquoi dis-t-on qu'une Matrice est un tenseur d'ordre 2 si ce sont deux objets différents?

Je sais en gros qu'un tenseur est une forme bilinéaire qui prends deux vecteurs pour donner un scalaire.
Mais je souhaiterai vraiment qu'on m'aide clairement à differencier ces deux outils.

Merci de vos réponses.

PS: Pardon pour le titre je voulais écrire "matrice" et je n'arrive pas à le modifier.
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[jacknicklaus]

il a eu un fort bel article de mach3 sur le sujet, mais je ne retrouve pas. s'il passe par ici ...

[corentinca]

j'ai lu cette discussion qui date un peu mais très enrichissante:
http://forums.futura-sciences.com/ph...r-matrice.html


Mach3 m'avait déja expliqué les coordonées contravariantes et covariantes ainsi que donné une bonne définition du tenseur il y a quelques mois.
Mais je ne comprends toujours pas cette différence entre matrice et tenseur.
En espérant qu'il jette un coup d'oeil à la discussion.

[albanxiii]

Bonjour,

Voyez-vous la différence entre application linéaire et matrice ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[corentinca]

Il me semble que oui.
Si j'ai un espace vectoriel E de dimension finie munis d'une base ai (a1,a2,...,an) alors l'application linéaire détermine l'image de ces vecteurs.
Et ces images sont des combinaisons linéaires des vecteurs de la ai.
f(ai)= somme pour i = 1 a n( ai,j ci) pour tout j= 1 a n
Les coordonées ai,j de ces vecteurs dans la nouvelle base ci(c1,...,cn) forment la matrice de l'application linéaire. La matrice stocke les coordonées de ces vecteurs dans la nouvelle base.

[mach3]

il a eu un fort bel article de mach3 sur le sujet, mais je ne retrouve pas. s'il passe par ici ...

je crois que c'est ça :

http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post6068151

Au passage, merci pour le compliment , ça veut dire que mes efforts pour comprendre tout ça paient, car je suis capable d'en faire des explications considérés comme bonnes.

m@ch3

[mach3]

Il peut être intéressant de se poser la même question concernant la différence entre un réel et un vecteur d'un espace vectoriel à 1 dimension. L'ensemble des réels, muni d'une addition interne avec élément neutre et de la multiplication par un scalaire forme bel est bien un espace vectoriel de dimension 1.
Ce n'est pas pour autant qu'un vecteur de n'importe quel espace vectoriel de dimension 1 est un nombre réel. On peut construire un morphisme bijectif entre les réels et les vecteurs d'un espace vectoriel de dimension 1 donné, mais pas de façon unique.

De même pour les matrices colonnes à n éléments en rapport avec les vecteurs d'espaces de dimension n, et les matrices carrés nxn et les tenseur de rang 2.

Il se fait qu'en bricolant des morphismes et en usant de l'opération de transposition, on peut reproduire certaines relations entre tenseurs par des relations entre matrices. Personnellement je trouve ça assez sale et ça m'a induit en erreur pendant longtemps sur les tenseurs. Par exemple l'application du tenseur métrique sur deux vecteurs :



le vecteur u devient une matrice colonne, que l'on transpose en matrice ligne, afin de la multiplier à la matrice carré qu'est devenue la métrique et on multiplie le résultat avec la matrice colonne qu'est devenu le vecteur v.
Avec ce genre de truc, on peut vite arriver à croire qu'un vecteur, une fois représenté par une matrice ligne (matrice colonne transposée pour des raisons de compatibilité) est devenu une 1-forme. Ou qu'un tenseur [2,0], représenté par une matrice carrée est devenu un tenseur [1,1]. Quand on travaille dans un espace euclidien avec une base orthonormale, cela est certes sans aucune importance.
Donc ça fait une bonne béquille au début, mais si la base n'est plus orthonormale, si l'espace n'est pas euclidien (pas de métrique, ou métrique non euclidienne), on ne comprend plus rien à ce qu'on fait. Et même en euclidien orthonormal, on peut être bien emmerdé quand on veut traiter de tenseurs de rang 3 ou plus.

Les tenseurs doivent être pensés comme des objets géométriques ayant une "existence" indépendante de leur éventuelle représentation, représentation qui peut justement se faire via un morphisme.

m@ch3

[AncMath]

Une matrice, c'est le nom que les matheux ont choisi de donner à un tableau de nombres, ou plus generalement à un tableau de "choses". Tu peux t'en servir pour représenter une forme bilinéaire, un graphe, un m-plan dans , une application linéaire, un point d'une Grassmannienne, que sais-je encore.

[invite54165721]

A ce fameux Maurice....

[mach3]

Un autre aspect me vient à l'esprit, concernant les bases.

L'ensemble des matrices nxn forme un espace vectoriel (existence d'une matrice nulle, addition interne des matrices, multiplication par un scalaire qui redonne une matrice) de dimension n². On peut dans cet espace, choisir arbitrairement une base de n² matrices linéairement indépendantes et exprimer toute matrice nxn dans cette base, ce qui nous donnera n² composantes, un n²-uplet, ainsi une matrice nxn vue comme un vecteur, pourra être représentée par une matrice colonne de n² éléments...
Un truc que je ne sais pas, mais que j'intuite (il faudra que je vérifie à l'occasion, c'est une conjecture pour l'instant), c'est que si je prend une base quelconque et des matrices nxn A et B et leur produit C=AB, et que je collecte leurs composantes par rapport à cette base "de force" dans des matrices nxn que j’appellerais A' et B' et C', alors sauf cas particulier (genre base bien choisie et composantes placées de la bonne manière dans les matrices) A'B' C'. Bon c'est du pif et c'est à vérifier. Si c'est correct, ça doit être connu...

Le produit tensoriel VxV d'un espace vectoriel V de dimension n par lui-même génère l'ensemble des tenseurs (0,2) de dimension n². Il s'agit d'un espace vectoriel, au sens où il y a bien un tenseur (0,2) nul, qu'on peut additionner les tenseurs (0,2) ou les multiplier par un scalaire pour obtenir d'autres tenseur (0,2), par contre il y a une contrainte sur le choix d'une base de cet espace vectoriel VxV : il faut que cette base soit construite à partir d'une base de V. On fait les produits tensoriels entre les vecteurs d'une base de V pour obtenir une base de VxV. Les tenseurs (0,2) de base sont donc référencés par un double indice et les composantes par rapport à cette base aussi, ce qui fait qu'on peut représenter les composantes comme une matrice nxn.
Aussi, pour passer d'une base à l'autre, on appliquera la matrice (inverse) de passage deux fois (parce que c'est un (0,2), deux fois contravariant) à la matrice représentant le tenseur. Cela va garantir l'indépendance des relations entre tenseurs quand ils seront représentés sous formes matricielles. Par exemple, si je considère l'action d'un tenseur (0,2) sur un tenseur (1,1) qui va me donner un nouveau tenseur (0,2), dans une certaine base ils seront représentés par des matrices A, B et C et on aura AB=C, dans une autre base ils seront représentés par des matrices A', B' et C' et on aura A'B'=C'.

m@ch3

[minushabens]

Un truc que je ne sais pas, mais que j'intuite (il faudra que je vérifie à l'occasion, c'est une conjecture pour l'instant), c'est que si je prend une base quelconque et des matrices nxn A et B et leur produit C=AB, et que je collecte leurs composantes par rapport à cette base "de force" dans des matrices nxn que j’appellerais A' et B' et C', alors sauf cas particulier (genre base bien choisie et composantes placées de la bonne manière dans les matrices) A'B' C'. Bon c'est du pif et c'est à vérifier. Si c'est correct, ça doit être connu...

tu peux le voir déjà en dimension 1. Dans l'espace vectoriel des matrices 1x1 sur R, tu considères A=B=C=1 et tu choisis comme base le nombre 1/2. Dans cette base A a pour (unique) coordonnée 2, B et C aussi, mais on n'a pas 2x2=2.