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Tenseur et convention sur l'ordre horizontal des indices

  1. fabio123

    Date d'inscription
    novembre 2008
    Messages
    157

    Tenseur et convention sur l'ordre horizontal des indices

    Bonjour,

    je voulais savoir la raison pour laquelle, dans certains cours, l'indice du bas ("covariant") est aligné horizontalement avant ou après l'indice du haut.

    Par exemple, quand on prend la matrice associée à la transformation de Lorentz, avec la pseudo-métrique de Minkowski, on a :



    En multiplliant à droite par et à gauche par , on obtient :



    ceci peut s'écrire (d'après ce que j'ai vu sur un autre forum, mais à confirmer), en notation indicielle, avec \mu le numéro de ligne et \nu le numéro de colonne :



    Pourquoi dans le membre de gauche, l'indice contravariant \mu est devant \nu et pourquoi dans le membre de droite, c'est l'inverse ? et surtout quel est l'intérêt ?

    Est-ce que cela a un rapport avec le passage d'un tenseur (1,1) à un tenseur (2,0) ou (0,2) avec le tenseur métrique qui abaisse ou monte les indices du tenseur ?

    Est-ce que l'on peut prendre comme règle générale, comme avec le produit de matrice, que l'indice du haut correspond au numéro de la ligne et celui-du bas au numéro de colonne ??

    Je sais que dans le cas de la multiplication de matrices, l'ordre du produit importe, contrairement aux tenseurs où l'ordre des facteurs ne compte pas.

    Merci pour vos éclaircissements

    ps: peut être que cette question doit être déplacée dans le forum Astrophysique

    -----

    Dernière modification par fabio123 ; 21/12/2017 à 01h02.
     


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  2. Resartus

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    3 148

    Re : Tenseur et convention sur l'ordre horizontal des indices

    Bonjour,
    La position n'a aucune importance. L'écriture la plus courante est de les mettre l'un au dessus de l'autre.

    Mais selon le logiciel d'écriture mathématique utilisé, certains savent traiter les superpositions d'indice, d'autres non, et alors l'indice qui est nommé en premier passe devant.
    Dernière modification par Resartus ; 21/12/2017 à 11h24.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
     

  3. fabio123

    Date d'inscription
    novembre 2008
    Messages
    157

    Re : Tenseur et convention sur l'ordre horizontal des indices

    Voici le lien qui m'a amené à poser cette question :

    https://www.physicsforums.com/thread.../#post-5218425

    En l'occurrence, d'après ce que j'ai compris dans ce post, si je prends le tenseur électromagnétique (1,1) et que je le note et son inverse , alors on peut écrire :



    Si je prends simplement la notation , il y a une confusion car je ne peux pas obtenir l'égalité ci-dessus : en effet, ça reviendrait à écrire :

    , ce qui serait faux.

    Je pense aussi que le fait de ne pas respecter l'ordre horizontal des indices pose par exemple des problèmes avec la définition du tenseur de courbure et de la montée ou descente de ses indices.

    Pourriez-vous m'éclairer sur ce problème de respect de l'ordre horizontal des indices ?
     

  4. Resartus

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    3 148

    Re : Tenseur et convention sur l'ordre horizontal des indices

    Bonjour,
    Désolé, je ne comprends absolument rien à ces subtilités. Je ne connais que les tenseurs selon la notation d'Einstein, pour lesquels il n'y a pas d'ordre...
    (il est dit dans le texte que ces F ne sont PAS des tenseurs)
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
     

  5. ID123

    Date d'inscription
    novembre 2017
    Messages
    103

    Re : Tenseur et convention sur l'ordre horizontal des indices

    Ah mais si, pas d'accord, l'ordre des indices importe. Et le tenseur Electromagnétique F est bel et bien un tenseur avec toutes les propriétés qui vont bien.
    jacknicklaus
     


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  6. fabio123

    Date d'inscription
    novembre 2008
    Messages
    157

    Re : Tenseur et convention sur l'ordre horizontal des indices

    @ID123

    Pourrais-tu développer s'il te plaît ? En effet, le tenseur F que je considère dans ma question est le tenseur de Maxwell (électromagnétique)
     

  7. mach3

    Date d'inscription
    mars 2004
    Localisation
    normandie
    Âge
    35
    Messages
    9 399

    Re : Tenseur et convention sur l'ordre horizontal des indices

    Quand il s'agit d'un tenseur, l'ordre compte, par contre quand il s'agit d'une matrice, l'ordre ne compte pas. Reste à ne pas confondre les deux : tout tenseur (2,0), (1,1) ou (0,2) peut être représenté par une matrice, ce qui ne veut pas dire qu'une matrice est un tenseur.

    Il ne faut pas perdre de vue qu'avant d'être représenté par un vulgaire tableau de nombre, un tenseur est une application multilinéaire, qui transforme un n-uplet de vecteurs et de 1-formes en un scalaire. On peut le noter F(...,...) par exemple, avec des emplacements libres pour accueillir vecteurs et/ou 1-formes, et selon la symétrie, l'antisymétrie (ou l'absence de symétrie), l'ordre des emplacements à toute son importance. L'ordre des indices reflète l'ordre des emplacements.

    Commençons par un tenseur 2 fois covariant.
    Si F est symétrique, alors F(u,v)=F(v,u). Dans le langage des composantes, ça donne . Si au lieu de u et v on utilise des vecteurs de base et , ça donne

    Si F est antisymétrique, alors F(u,v)=-F(v,u). Dans le langage des composantes, ça donne . Si au lieu de u et v on utilise des vecteurs de base et , ça donne

    On peut "transformer" notre tenseur 2 fois covariant en un tenseur 1 fois covariant et 1 fois contravariant. C'est à dire qu'au lieu d'accueillir deux vecteurs dans ses emplacements, il accueillera un vecteur et une 1-forme. Une astuce pour que notre tenseur accepte cela est simplement de transformer cette 1-forme en vecteur, par contraction avec le tenseur métrique 2 fois contravariant (il faut donc qu'on soit dans une structure munie d'une métrique, sans quoi la manip est impossible). Ceci est équivalent à une autre manipulation, qui consiste à contracter ce même tenseur métrique sur l'un des deux emplacement du tenseur F, on obtient un nouveau tenseur avec un emplacement pour une 1-forme et un emplacement pour un vecteur. Un usage est de le noter de la même façon, F(...,...), mais il faut bien se souvenir que ce n'est pas le même tenseur (la nature d'un des emplacements est différente).
    Dans le langage des composantes, selon si on contracte sur le premier ou le deuxième emplacement, on va relever le premier ou le deuxième indice :

    ou et, également, par un petit jeu sur les indices muets :
    ou

    ce qui nous donne, en cas de symétrie du F 2 fois covariant de départ :


    et en cas d'antisymétrie :


    Pour terminer, petit laïus sur les matrices : dans le cadre de cette discussion, les matrices qui peuvent intervenir sont les matrices de changement de base, comme par exemple les transformations de Lorentz. Elle n'ont toujours que deux indices, un en haut et un en bas, et l'ordre n'importe pas.

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!
     


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