Existence d'une suite

[Gumus07]

Bonjour tout le monde,
j'aurai besoin de votre aide s'il vous plait, peut on montrer l'existence d'une suite , telle que

converge vers quand .
Merci pour votre aide
Cordialement.
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[minushabens]

quid de la suite
x1=pi
x2=14pi
x3=141pi
x4=1414pi
etc

[Resartus]

Bonjour,
on peut chercher dans les sous suites de la suite xn=pi(1+2n)
S'il s'agit juste de démontrer que cela existe, on peut constater que l'ensemble des xn.racine(2) mod (2pi) est dense sur le segment 0-2pi (démonstration par l'absurde par exemple : si ce n'était pas le cas, racine(2) serait rationnel)

et donc on peut choisir un ensemble de ni tels que les xni.Racine(2) mod 2pi s'approchent aussi près qu'on veut de pi.


Pour exhiber une telle suite, j'ai l'intuition qu'on peut utiliser un développement en fraction continue de 2pi/(racine(2)-1) mais là je n'arrive pas à voir comment monter le raisonnement.
Si personne n'a répondu entretemps, je réessayerai demain matin, avec neurones reposés ...

[Resartus]

Rebonjour,
Ah oui, chapeau minus Habens ; C'est bien plus simple :
par contre il faut exclure les nombres pairs qui donneraient un cos de 1 et pas -1...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gumus07]

Bonsoir minushabens,
Merci pour votre reponse, mais je n'ai pas pu comprendre comment avec cette suite on peut obtenir -2?
Merci encore.

[Gumus07]

Bonjour,
on peut chercher dans les sous suites de la suite xn=pi(1+2n)
S'il s'agit juste de démontrer que cela existe, on peut constater que l'ensemble des xn.racine(2) mod (2pi) est dense sur le segment 0-2pi (démonstration par l'absurde par exemple : si ce n'était pas le cas, racine(2) serait rationnel)

et donc on peut choisir un ensemble de ni tels que les xni.Racine(2) mod 2pi s'approchent aussi près qu'on veut de pi.


Pour exhiber une telle suite, j'ai l'intuition qu'on peut utiliser un développement en fraction continue de 2pi/(racine(2)-1) mais là je n'arrive pas à voir comment monter le raisonnement.
Si personne n'a répondu entretemps, je réessayerai demain matin, avec neurones reposés ...

Bonsoir,
Merci pour votre réponse, j'ai bien compris votre idée.
Mais je n'ai pas compris comment on montre que l'ensemble des xn.racine(2) mod (2pi) est dense sur le segment 0-2pi ?
Si c'est possible de me montrer comment la construire, ça me sera très utile ! Merci encore une fois
Cordialement

[ansset]

quid de la suite
x1=pi
x2=14pi
x3=141pi
x4=1414pi
etc

cela me semble insuffisant ,
ta suite vaut E(rac(2)*10^n)pi si je vois juste.
on ne garde bien sur que les chiffres impairs pour que cos(xn)=-1
mais rac(2)E(rac(2)*10^n)pi tend vers (2*10^n)pi qui est un multiple pair de pi

[ansset]

même le développement partiel de 10^n/rac(2) ne marche pas car la seconde suite présente tj un facteur pair eq à 10^n

[minushabens]

@ansset: tu as raison. C'est une intuition foireuse que j'ai eue hier et pas vérifiée. Il faut un peu plus de travail pour exhiber une suite convenable...

[Gumus07]

Bonjour,
Merci pour vos réponses. Mais comment peut on faire alors?
Cordialement

[Resartus]

Bonjour,
De retour avec des neurones frais...

Toujours en partant de la suite xn=pi(1+2n) dont le cos vaut -1.
On étudie les termes de la forme racine(2).xn mod 2pi, mais pour simplifier le raisonnement, je vais plutôt étudier la suite vn=(racine(2)-1).xn mod 2pi (replacée entre -pi et pi, pour éviter un effet de bord en zero).
Si on trouve des vn qui tendent vers zero, alors on aura des racine(2).xn mod 2pi qui tendent vers pi, et dont le cos tendra vers -1...

On prend le développement en fraction continue de 1/(racine(2)-1). Le kième terme sera de la forme ak/bk, et on sait qu'il sera plus proche de
de 2/(racine(2)-1) que 1/bk²*. On en déduit que la différence entre vbk et zero est inférieure en valeur absolue à 2pi/bk et tend vers zero...


*C'est une propriété connue des développements en fraction continue des nombres irrationnels. Voir ici par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_continue

[Gumus07]

Bonjour,
De retour avec des neurones frais...

Toujours en partant de la suite xn=pi(1+2n) dont le cos vaut -1.
On étudie les termes de la forme racine(2).xn mod 2pi, mais pour simplifier le raisonnement, je vais plutôt étudier la suite vn=(racine(2)-1).xn mod 2pi (replacée entre -pi et pi, pour éviter un effet de bord en zero).
Si on trouve des vn qui tendent vers zero, alors on aura des racine(2).xn mod 2pi qui tendent vers pi, et dont le cos tendra vers -1...

On prend le développement en fraction continue de 1/(racine(2)-1). Le kième terme sera de la forme ak/bk, et on sait qu'il sera plus proche de
de 2/(racine(2)-1) que 1/bk²*. On en déduit que la différence entre vbk et zero est inférieure en valeur absolue à 2pi/bk et tend vers zero...


*C'est une propriété connue des développements en fraction continue des nombres irrationnels. Voir ici par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_continue

Bonsoir,
J'ai passé beaucoup de temps à essayer de comprendre votre solution, mais je n'y arrive pas !
comment est ce que est replacée entre et ?
si tend vers pourquoi mod tendent vers ?
La suite de le démonstration est aussi flou pour moi!
Merci pour tout le temps que vous avez consacré pour me répondre

[ansset]

j'avoue que ce n'est pas clair pour moi non plus.

[God's Breath]

Bonjour,

Les réduites du développement en fraction continue de sont les fractions irréductibles où les suites et
satisfont la même relation de récurrence linéaire à deux termes :



avec les valeurs initiales :



ce qui permet de prouver facilement par récurrence que est impair pour tout , tandis que a la parité contraire de .

On en déduit que la suite définie par : convient.

D'une part, pour tout entier , est impair, donc : ; d'autre part :



et comme est impair et que tend vers :



Si l'on veut vérifier directement les propriétés annoncées, on explicite et en utilisant la relation de récurrence ; on obtient:



ce qui permet de donner en fonction de , et de vérifier que tend vers .

[ansset]

merci, c'est plus clair pour ce qui me concerne.
où plutôt décrit avec plus de détail.
pas évident quand même.

[Gumus07]

Bonjour,

Les réduites du développement en fraction continue de sont les fractions irréductibles où les suites et
satisfont la même relation de récurrence linéaire à deux termes :



avec les valeurs initiales :



ce qui permet de prouver facilement par récurrence que est impair pour tout , tandis que a la parité contraire de .

On en déduit que la suite définie par : convient.

D'une part, pour tout entier , est impair, donc : ; d'autre part :



et comme est impair et que tend vers :



Si l'on veut vérifier directement les propriétés annoncées, on explicite et en utilisant la relation de récurrence ; on obtient:



ce qui permet de donner en fonction de , et de vérifier que tend vers .

Bonjour,
Je vous remercie infiniment pour réponse qui est d'ailleurs très clair, j'avoue que je n'avais jamais travaillé avec ces fractions continues, donc c'est l'occasion pour moi de les connaitre.
Merci encore une fois et bonne journée.

[God's Breath]

L'idée de base est d'obtenir simultanément : et .

Ce qui revient peu ou prou à dire que l'on a deux suites d'entiers, et , telles que : et (pour l'instant, je parle bien évidemment d'approximation des valeurs et pas de suites équivalentes).

Ces deux suites permettent donc une approximation rationnelle de : .

Le développement en fraction continue est alors une idée naturelle pour obtenir de telles approximations. Il reste alors à régler les détails, en particulier le fait que l'on veut approximer par des fractions à numérateur et dénominateur tous deux impairs.

[Gumus07]

Bonsoir,
Merci beaucoup, vous m'avez beaucoup éclaircit la réponse.
Cordialement