calcul numérique(recherche de racine)

[Yugioh]

Bonjour à tous,

J'ai le problème suivant :

On désire résoudre l'équation :

Instruction : sans effectuer de longs calculs et à partir de vos connaissances des fonctions de base , déterminez

a) le nombre de solutions avec x<0
b)la position approximative des racines pour x >10
c) le nombre de solutions [0,4]
[0,6]
[0,12]


Méthodologie de résolution :

a) la fonction n'a pas par définition pas de racines par contre elle tend vers en 0

le fait qu'on fait , on décale le graphique de vers le bats pour chaque point , dés lors on aura bien une racine mais pas en x <0 ... je sais pas si mon raisonnement jusqu'ici est correct?
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[gg0]

Bonjour.

Tu es à côté de la plaque !! ton équation est e^-x=sin(x), dont les solutions ne dépendent pas de savoir si e^-x peut s'annuler.
Sur ton brouillon, trace les courbes de f(x)=e^-x et de g(x)=sin(x). Tu pourras facilement répondre.
N'oublie pas de justifier tes réponses avec les propriétés connues du sinus et de l'exponentielle.

Cordialement.

Rappel : Un dessin, même approximatif, permet souvent de savoir quoi dire.

[Yugioh]

Courbe f(x)=e^-x e^-x.png

Courbe g(x) = sin(x) sin(x).png

a) le nombre de solution , la fonction sin(x) est périodique pour chaque période elle à trois racines donc le nombre de solution pour x < 0 c'est nombre de période qu'on veut*3.

la fonction e^-x n'a aucune racine

mais le graphique e^-x -sin(x) e^-x -sin(x).png il n'a aucune racin en x < 0 , du coup je suis un peux perdu....

[Dynamix]

mais le graphique e^-x -sin(x) il n'a aucune racin en x < 0

On te demande combien e^-x-sin(x) a de racine pour x < 0
"il n'a aucune racin" , ça fait combien de racine ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Yugioh]

0 racine merci .

[Yugioh]

b) Pour x > 10 , on a la première racine en 12,5 , la suivante en 16 chaque période dure (+ ou -) 6 secondes , sur chaque période on aura une racine en (_valeur_du_début_période + 2,5) et en

(_valeur_du_début_période + 2,5) + 3,5 et ce jusqu'à l'infini.

c) dans l'intervalle [0,4] on a une racine en 2,5 .

dans l'intervalle [0,6] on a une racine en 2,5 et en 6.

dans l'intervalle [0,12] on a une racine en 2,5; en 6; en 8,5; en 12.


Qu'en pensez-vous?

Merci bien,
Yugi

[Dynamix]

Qu'en pensez-vous?

Pour le a et le b , tu te contentes de lire sur le graphe .
C' est insuffisant .

N'oublie pas de justifier tes réponses avec les propriétés connues du sinus et de l'exponentielle.

Pour le c , tu ne réponds pas à la question qui est , je le rappelle :
c) le nombre de solutions ...
On ne te demande pas les solutions .

[Yugioh]

pour le a ) je vois pas quoi rajouter à part tracer la fonction et constater qu'elle n'est pas définit en en x < 0. Je sais évidemment que la fonction exponentielle décroissante n'est également pas définit en x < 0 mais la fonction sinus l'est .

Pour le b) Je sais que la fonction est périodique et que la fonctions sinus à toujours une racine en 0 ,en k*pi et k*(2*pi) ou k est un entier positif réel ce sont les différentes positions de mes racines

concernant le nombre en C )

en [0,4] sachant que la période est de (-+ 6 ) j'aurais que 0 et pi comme racine

en [0,6] j'en aurais que 2 également

en [0,12] j'en aurai 4.

je me rapproche des bonne solutions?

[Dynamix]

pour le a ) je vois pas quoi rajouter à part tracer la fonction et constater qu'elle n'est pas définit en en x < 0. Je sais évidemment que la fonction exponentielle décroissante n'est également pas définit en x < 0 mais la fonction sinus l'est .

Totalement faux .
La fonction est définie de moins l' infini à plus l' infini .

[Yugioh]

ok merci pour l'aide

[gg0]

Pour des justifications appuyées sur des théorèmes classiques, il peut être utile de calculer pour avec k entier positif.
Pour la question a), les variations connues des deux fonctions suffisent.

Bien entendu, tout ça suppose une connaissance correcte des cours de maths du lycée.

Cordialement.

[Yugioh]

merci @gg0 pouvez vous me renvoyer aux points(chapitres) des notions qui me permettraient sur les théorème en question , concernant la question b et c'est correct ?

[ansset]

tu dit qcq bêtises.
ta fonction globale ne peut pas être périodique puisque exp(-x) ne l'est pas.
en revanche pour x "grand"; exp(-x) tend vers 0, donc ta fonction devient donc progressivement périodique , mais d'une période ( augmentant ) et tendant vers pi et non de 6 ( d'où sort ce chiffre ? ).
Enfin, dès le début , il y a une autre solution inf à 4 que tu ne mentionnes pas.

[Yugioh]

Je sais pas comment de manière formelle à partir des deux fonctions expliquer quelle sera le domaine de définition de la fonction finale , de quelle théorèmes parlez-vous?

[ansset]

je suppose que ta question s'adresse à gg0 ( qui d'ailleurs n'a pas parlé de théorème ).
je pense qu'il te répondra lui-même.

pour la question b ( x>10) il me semble t'avoir indirectement répondu.

[ansset]

ps : que vient faire le domaine de définition ici , ta fonction est définie sur R.!

[Yugioh]

Donc pour résumer

a) en traçant le graphique global je vois qu'il n'y a aucune racine .

b) x > 10 on a deux valeurs qui se rapproche très fortement de 0 , la période va tendre vers pi on peut donc dire de manière approximatif qu'on aura une racine en k*pi par période k étant un entier positif supérieur ou égal à 4 .

[ansset]

pour le a) , il n'est nul besoin de graphique puisque exp(-x) > 1 si x < 0 , donc aucune solution pour exp(-x)=sin(x)
( car la fonction sin(x)<=1 )
pour b) oui la période tend vers pi, mais d'où sort ton k>=4 , ce qui n'est d'ailleurs pas demandé ).

reste tes erreurs sur les premiers intervalles ou justement la "période" est inférieure à pi.

[ansset]

erratum et désolé.

reste tes erreurs sur les premiers intervalles ou justement la "période" est inférieure à pi.

c'est faux au tout début, variable elle est.

[gg0]

Yugioh,

Tu sembles être dans le supérieur (c'est le forum correspondant). Mais il semble que tu ne connaisses pas vraiment les techniques de base sur les fonctions (étude, périodicité, dérivation, courbes, continuité, ...) et la trigonométrie élémentaire.
Tous les théorèmes nécessaires sont vus dans les programmes de première S et STID, sauf l'étude des exponentielles qui se fait en terminale. Toutes ces questions sont parfois reprises en début de licence.

Rappel : Un tracé sur la calculette ne prouve rien. la calculette se contente de prendre des points successifs et de les relier par des segments. Elle ne sait rien de ce qui se passe entre 2 points.

[Yugioh]

pour la a bien compris .

par contre pour le b je suis pas sur de bien comprendre
on sait que la période va tendre vers pi donc cette dernière est variable mais au tout début elle est inférieur justement à pi et on sait que la fonction sinus ne s'annule en sin(k*pi) donc pas de racine tant qu'elle la période ne vaut pas pi au delà on aura en sin(k*pi) une racine ou k est un entier positif .

[ansset]

c'est même faux dans l'absolu , elle oscille autour de pi et converge ( ce qui est logique )
oubli ce que j'ai dit sur l'infériorité.

[Yugioh]

ok merci pour vos différents feedbacks

[Yugioh]

J'avais pris k >= 4 car x = k*pi et on veut x >10 .

[Yugioh]

Yugioh,

Tu sembles être dans le supérieur (c'est le forum correspondant). Mais il semble que tu ne connaisses pas vraiment les techniques de base sur les fonctions (étude, périodicité, dérivation, courbes, continuité, ...) et la trigonométrie élémentaire.
Tous les théorèmes nécessaires sont vus dans les programmes de première S et STID, sauf l'étude des exponentielles qui se fait en terminale. Toutes ces questions sont parfois reprises en début de licence.

Rappel : Un tracé sur la calculette ne prouve rien. la calculette se contente de prendre des points successifs et de les relier par des segments. Elle ne sait rien de ce qui se passe entre 2 points.

Merci pour ce commentaire franc et honnête , j'ai peut-être pas gagner convenablement ma place actuellement en licence ingénieur mais je vais travailler pour direction https://fr.khanacademy.org/math/calculus-home

[gg0]

Oublie aussi cette idée de "période", sauf si tu parles de sinus. Et ne confonds pas "baratiner sur ce qu'on voit sur la calculette" et "faire des mathématiques".

Bon apprentissage de règles de mathématiques du lycée !

[Yugioh]

merci @gg0 , pour revenir au probléme pour le point b

lorsque x = 10 ==> e^-x = 0.000454 ==> On peut donc approximer la fonction f(x) = e^-x-sin(x) par sin(x) pour x > 10 .

et on sait que f(x) = sin(x) s'annule lorsque x = k*pi donc la position approximative des racines sera en x = k*pi pour k un entier positif

[ansset]

je me dois de me reprendre après mes propos erronés.
que je vais essayer de corriger avec une explication textuelle.

0< exp(-x) <=1 pour x positif.
1) sin(x)=exp(-x) implique que 2kpi <= x <= (2k+1)pi ( x devant être dans le "haut" du cadrant trigo )
l'équation 1) a forcement une première solution inférieure à pi/2 ( de fait elle proche de 0,6 ).
la seconde correspond à un prochain x dont le sin est tj positif, il existe donc une autre solution inf à pi ( en fait elle est proche de 3,09 )
l'écart est donc ici inf à pi.

pour la troisième , il faut à minima faire un peu plus que le demi tour du cadran ( là ou le sin est neg ) , d'ailleurs elle vaut env 2pi+0,002. ( si je ne me trompe pas )
tout comme pour la première fois celle qui suit est tj dans le demi cadran supérieur , et donc encore un écart ici inf à pi.
il s'en suit une succession de 2 valeurs d'écarts inf à pi et d'une valeur sup à pi .

le tout tendant vers une période de pi.

[gg0]

Message #27

Toujours du baratin, de l'approximatif, pas de maths.
Je laisse tomber.

[ansset]

Il me semblait pourtant lui avoir donné une indication sur le nb de solutions , sans faire de calcul.