DL et preuve de continuité

[sleinininono]

Bonsoir,
j'ai un problème avec un quotient de DL (problème en somme assez classique).

Pour prouver que f, une fonction suffisamment lisse, est continue en 0, je peux par exemple utiliser les D.L. . A ce moment, on fait un D.L. de f au voisinage de 0. Mon objectif est de montrer que ce D.L. tend vers la valeur voulue en 0.

Si f est de la forme g / h où g et h sont aussi des fonctions suffisamment lisses, on me propose de faire le DL de g et de h à un ordre n pour trouver une valeur.


Ma question est celle-ci :

Je ne comprends pas pourquoi on peut effectuer les DL séparément puis voir ce que cela fait.
J'avais déjà posé la question ici et on m'avait dit qu'il fallait faire le DL de g et de h, puis se ramener à un dénominateur de la forme : 1/(1 + x) pour continuer le DL et enfin obtenir un polynôme.

Ici pour des fonctions fixées, on trouve le quotient t^3 + o(t^3) / t^3 + o(t^3); comment peut-on dire que cela vaut 1 directement?


Et si dans une autre situation, je trouvais un résultat de la forme 1/(x +o(x) ) , cela signifie quoi exactement? Que f diverge vers 0? Et si on avait la forme 1/(1 + x + ... ) ? Il aurait fallu continuer le DL?


je vous remercie d'avance pour vos réponses.
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[gg0]

Bonsoir.

"Je ne comprends pas pourquoi on peut effectuer les DL séparément puis voir ce que cela fait. " Pourquoi ne le pourrait-on pas ??? Pourquoi serait-il interdit de calculer un DL (calculable) ?
En maths, toutes les applications correctes des règles sont valides (ce sont d'ailleurs les seules choses valides).

"t^3 + o(t^3) / t^3 + o(t^3)" ?? Tu as écrit
Je suppose qu'il fallait lire (t^3 + o(t^3)) / (t^3 + o(t^3))

Comme ,


Ou plus directement


"Et si dans une autre situation, je trouvais un résultat de la forme 1/(x +o(x) )" Ta fonction étant équivalente à 1/x n'a aucune chance d'être continue en 0, non ?

Cordialement.

[sleinininono]

Le fait qu'elle ne soit pas continue en 0 signifie qu'on ne peut pas appliquer le théorème de Taylor Lagrange c'est ça?
Donc le résultat 1/x est faux et il faut paser par quelque chose d'autre ? je ne suis pas sûr d'avoir choisi la bonne conclusion que vous implicitez.

Et donc si on trouvait 1/(1 + x + ... ), pour prouver la continuité en 0, on doit continuer le DL?

Et si par malheur on trouvait un autre résultat comme (3 + t + t^2 o(t^2) ) / ( 15 + t + o(t^2) ), qu'aurait-il fallu faire?

merci

[ansset]

Le fait qu'elle ne soit pas continue en 0 signifie qu'on ne peut pas appliquer le théorème de Taylor Lagrange c'est ça?

ici , tu évoques surtout des fractions de fonctions.
rien n'interdit ( si ces fonctions le permettent ) d'appliquer séparément ce théorème à chacune d'entre elle et de faire ensuite le bilan du quotient.

Donc le résultat 1/x est faux et il faut paser par quelque chose d'autre ? je ne suis pas sûr d'avoir choisi la bonne conclusion que vous implicitez.

pourquoi "faux".
si c'est l'équivalent final de ta fonction, elle n'est juste pas continue en 0.

Et si par malheur on trouvait un autre résultat comme (3 + t + t^2 o(t^2) ) / ( 15 + t + o(t^2) ), qu'aurait-il fallu faire?

par malheur ?
ici , le cas est trivial puisque le numérateur tend vers 3 et le dénominateur tend vers 15, donc la fonction tend vers 1/5 !

[A voir en vidéo sur Futura]

[sleinininono]

d'accord j'ai compris merci à vous deux.