Loi de Benford

[invite7863222222222]

Bonjour vous connaissez sans doute la loi de benford qui dit que la proba qu'un chiffre commence par le chiffre n (en base 10 par ex) vaut .

La démonstration m'importe peu ce que j'aimerai c'est "sentir" un peu la véracité de cette loi.

Sinon, si on prend les chiffres de 0 à par exemple, il y a autant de nombres qui commencent par 1 que par 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Donc la proba devrait valoir 1/9, non ?

Je sais pourtant que cette loi est vérifiée expérimentalement mais je suis tout de même très étonnée .
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[indian58]

voilà qui devrait t'aider:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Benford

[invite7863222222222]

Merci sur ce site une hypothèse pour la validité de la loi est qu'il faut que les logarithmes des nombres sont uniformément distribués. C'est à dire qu'il y ait autant de nombre entre qu'entre 100 et 1000 qu'entre 10000 et 100000 etc..., ce qui n'est pas le cas dans mon exemple, c'est vrai.

En fait, perso je comprends la loi comme cela : si je prends un ensemble de nombres aléatoirement entre 1 et 10000 (par exemple 100) et que je realise un grand nombre d'opérations arithmétiques aléatoires (aussi) sur ces nombres tirés aléatoirement, alors la répartition des 1er chiffres sera celles donnée par la loi de Benford.

Sauriez vous à tout hasard, s'il existe d'autres lois de ce type mais sous des hypothèses différentes ?

[indian58]

http://www-lmc.imag.fr/lmc-sms/Berna...d/benford.html

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite636fa06b]

En fait, perso je comprends la loi comme cela : si je prends un ensemble de nombres aléatoirement entre 1 et 10000 (par exemple 100) et que je realise un grand nombre d'opérations arithmétiques aléatoires (aussi) sur ces nombres tirés aléatoirement, alors la répartition des 1er chiffres sera celles donnée par la loi de Benford.
Sauriez vous à tout hasard, s'il existe d'autres lois de ce type mais sous des hypothèses différentes ?

Pas tout à fait d'accord sur ta vision intuitive. Un exemple qui me semble parlant (en espérant qu'il le soit aussi pour toi) :
La pagination d'un roman : toutes les pages porteront un numéro qui s'étalera de 1 à n, n étant le nombre de pages. Pour simplifier on suppose que n est compris entre 100 et 999 avec une proba uniforme.
Selon la valeur de n, le nombre de numéros de pages débutant par 1 sera de 111/199 (cas maxi de 199 pages) à 111/999 (cas mini de 999 pages). En calculant l'espérance tu retombes à peu près sur les chiffres de la loi de Benford. Le fait d'avoir fixé un intervalle des possibles de 100 à 999 ne change pas grand chose à l'affaire, il y a un coté fractal dans le phénomène. En revanche, l'exemple élimine le zéro...
Si tu remplace l'hypothèse de loi uniforme sur n par une autre loi, le résultat est à peu près le même.
Comme le montre les articles cités par Indian58, il s'agit là d'un constat empirique.
Il y a donc peu d'espoir de trouver d'autre lois avec d'autres hypothèses, d'ailleurs les sites donnés n'en proposent pas d'autres...

[invite7863222222222]

Oui mais si tu prends un livre de 2000 pages...

[invite636fa06b]

Bonjour,
Un livre de 200 pages : 111 pages ont un numero qui commence par 1

Un livre de 2000 pages : 1111 pages ont un numéro qui commence par 1
Les proportions ne sont pas différentes.
Là où mon raisonnement est simpliste, c'est lorsque je fixe le maxi à 999, ce qui sous évalue la proportion de 1.
En fait, comme on raisonne sur le premier chiffre, l'ordre de grandeur n'a pas d'effet significatif.

[invite7863222222222]

C'est un bon exemple effectivement. Merci.