Exponentielle de complexe

**mehdi_128** · 18/02/2019, 21h05

Bonsoir,

Soit $\text{[math]}$ un nombre complexe non nul.

1/ Il existe un nombre complexe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$

2/ Si $\text{[math]}$ est un nombre complexe qui vérifie $\text{[math]}$ alors pour tout nombre complexe $\text{[math]}$ on a : $\text{[math]}$ si et seulement si il existe un $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$

Pour la 1 comment montrer que la solution existe ? Il faut faire le raisonnement d'analyse synthèse ? Considérer que la solution existe puis établir son expression et enfin vérifier qu'elle est bien solution ?

Pour la 2, je ne comprends pas pourquoi il y a une infinité de solutions alors qu'on a un "il existe" donc il y a peut être qu'un k pour lequel ça marche.

Et je bloque sur l'implication :

Soit $\text{[math]}$ est un nombre complexe qui vérifie $\text{[math]}$ . Soit $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$

On a donc $\text{[math]}$ et la je bloque.

**PA5CAL** · 18/02/2019, 21h13

Bonsoir

Peut-être faudrait-il commencer par expliciter les parties réelles et imaginaires du nombre complexe z et de e^z. Ça aiderait grandement à répondre aux questions...

**gg0** · 19/02/2019, 08h34

Rappel : "Il existe" dit seulement que le nombre de cas possibles est au moins 1. Ne jamais rajouter de signification au sens immédiat des mots : Dire "il y en a un" ne dit pas "il n'y en a qu'un".

La question 1 est quasiment une question de cours (forme exponentielle d'un nombre complexe + petit calcul facile, le module étant un nombre positif).

Cordialement.

**mehdi_128** · 19/02/2019, 18h56

Bonjour, merci pour votre aide voici mon raisonnement.

$\text{[math]}$ donc il peut s'écrire sous forme trigonométrique : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Soit $\text{[math]}$ vérifiant $\text{[math]}$ c'est-à-dire : $\text{[math]}$

On a alors : $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

Par ailleurs : $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

Par suite $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$

Réciproquement, si $\text{[math]}$ alors : $\text{[math]}$

On a prouvé que $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est solution de $\text{[math]}$

En particulier pour $\text{[math]}$ on a une solution qu'on peut appeler $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**gg0** · 19/02/2019, 19h05

Voilà, tu as montré le 1 et le 2 à la fois.

**mehdi_128** · 19/02/2019, 19h07

Pour la question 2 :

Montrons l'implication directe =>

Soit $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

Et je dois montrer que $\text{[math]}$

J'ai $\text{[math]}$ donc : $\text{[math]}$

Par passage au module on a : $\text{[math]}$ donc par passage au logarithme : $\text{[math]}$

En divisant par les modules qui sont égaux et non nuls : $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

Enfin : $\text{[math]}$

Montrons l'implication réciproque <=

Supposons : $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Or : $\text{[math]}$

On en déduit : $\text{[math]}$

D'où : $\text{[math]}$

Soit $\text{[math]}$

Mais comme : $\text{[math]}$ alors forcément : $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$

D'où : $\text{[math]}$

**mehdi_128** · 19/02/2019, 19h09

Envoyé par gg0

Voilà, tu as montré le 1 et le 2 à la fois.

Je n'ai pas compris en quoi j'ai montré le 2 dans mon raisonnement

Pour moi la question 2 est une équivalence à démontrer.

**gg0** · 19/02/2019, 19h27

C'est simplement que tu n'avais pas mis en évidence le z0 dans ce que tu as écrit, tu as calculé sans t'occuper de ce qui est demandé à la question 1 (on te demandait une valeur, tu en as sorti une infinité et tu as prouvé qu'il y en a une infinité, dépendant d'un paramètre entier relatif k). Et c'est bien une équivalence que tu montres, tu parles d'implication réciproque !!!

Ton message #6 est inutile, tout est déjà dans le #4, il suffit de définir le z demandé. Par contre, tu n'as pas sérieusement répondu à la question 1. tu n'as montré que l'existence d'un k, inutile.

**mehdi_128** · 19/02/2019, 19h54

Je n'ai pas compris votre remarque, j'ai montré l'existence d'une infinités de solutions à l'équation $\text{[math]}$ qui sont les $\text{[math]}$

La question 1 il suffisait de trouver au moins un nombre complexe $\text{[math]}$ vérifiant $\text{[math]}$

J'en ai trouvé une infinité et je peux en exhiber une qui est : $\text{[math]}$ en prenant $\text{[math]}$ qui est bien un nombre complexe car $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont des nombres réels.

Elle est bien solution car comme j'ai posé $\text{[math]}$ on a : $\text{[math]}$

Pour la question 2 je ne comprends pas le rapport avec la question 1 :

Soit $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ . On a : $\text{[math]}$

Je comprends pas le rapport avec la question 1 car par exemple si je veux montrer l'implication => je dois fixer $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ et partir de $\text{[math]}$

**gg0** · 19/02/2019, 20h30

Mais tu as tout fait dans le message #4, à part répondre à la question.
Une fois exhibé un z qui convient :
$z_0 =\ln (\rho) + i \theta$
tu as déjà montré que toutes les solutions sont de la forme
$\text{[math]}$
Tu peux alors finir la question 2, et c'est ce que tu fais ensuite (à partir de "Réciproquement, si $\text{[math]}$ ").(*)

C'est bien joli d'écrire, mais c'est à toi de te rendre compte de ce que tu fais par rapport à l'énoncé, de répondre directement aux questions posées sans en faire plus pour rien; pire, tu le reprends ensuite dans le message #6 en délayant ce que tu as déjà fait !!

Cordialement.

(*) en fait, comme tu utilises une équivalence pour trouver les solutions, c'est même inutile si tu le présentes bien, et les deux questions sont traitées en 5 ou 6 lignes

**mehdi_128** · 19/02/2019, 20h59

J'ai montré que :

$\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ (1)

Mais la question 2 c'est pas la même chose... A gauche de l'équivalence on a une condition en plus le $\text{[math]}$ ! Donc je comprends toujours pas pourquoi les relations 1 et 2 sont équivalentes.

( $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ) $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ (2)

**gg0** · 19/02/2019, 21h15

Sois sérieux !

Vu comment tu l'as trouvé, tu as bien $e^{z_0} = a$ .

Je te conseille d'aller dormir, puis de reprendre ce que tu as fait avec les idées nettes.

**mehdi_128** · 19/02/2019, 22h06

Ca fait déjà 3 jours que je suis dessus, j'aimerais bien avancer pour le CAPES mais quand je bloque sur une chose j'ai plus envie de continuer à travailler.

Je veux montrer que :

Soit $\text{[math]}$ un nombre complexe tel que $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

<= est évident !! Soit $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ d'où l'implication.

Par contre pour => je vois pas

Et j'ai toujours pas compris comment utilisé le point 1 !

L'énoncé fixe un $\text{[math]}$ quelconque solution de $\text{[math]}$ donc je peux pas prendre le $\text{[math]}$ que j'avais trouvé

Merlin95 · 19/02/2019, 22h20

A mon avis (à vérifier), dans ton raisonnement précédent tu aurais pu utiliser des équivalences à chaque étape de sorte que l'implication est en fait plutôt une équivalence.

**ansset** · 19/02/2019, 22h46

@mehdi:
dans ton post #4 :

Par ailleurs : $e^{\i \theta}=e^{i \Im(z)}$ donc $\theta \equiv \Im(z) [ 2 \pi]$

n'est ce pas l'implication recherchée ?

azizovsky · 20/02/2019, 08h37

D'abord, est ce que ta démonstration contient la démonstration des formules d'Euler ? (Re(a)=0 comme cas particulier).

https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_d%27Euler

**gg0** · 20/02/2019, 08h57

Mehdi128,

il serait temps que tu te rendes compte que le $\text{[math]}$ dont tu parles au début du message #4 est déjà un nombre quelconque pris parmi une infinité d'arguments possibles, différant les uns des autres d'un multiple entier de $\text{[math]}$ . Autrement dit, tu pinailles pour rien depuis un bon moment.
Ta volonté de rigueur s'appuie ici sur un manque total de rigueur dans la compréhension de ce que tu as fait.

Comme ça fait un bon moment que je parle dans le vide (tu n'as jamais vraiment regardé de près ce que tu démontrais au message #4, tu restes sur ton incompréhension), je laisse tomber.

**mehdi_128** · 20/02/2019, 11h44

@Ggo
Je comprends pas où vous voulez m'emmener avec vos remarques j'aurais tout de suite compris si vous m'aviez expliqué la solution dès le départ.

**mehdi_128** · 20/02/2019, 11h49

Envoyé par Merlin95

A mon avis (à vérifier), dans ton raisonnement précédent tu aurais pu utiliser des équivalences à chaque étape de sorte que l'implication est en fait plutôt une équivalence.

Bien vu Merlin

Soit $\text{[math]}$ un complexe vérifiant $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

**mehdi_128** · 20/02/2019, 11h57

Envoyé par ansset

@mehdi:
dans ton post #4 :

n'est ce pas l'implication recherchée ?

Bonjour Ansset vous avez raison j'ai fait ce même raisonnement dans la proposition 1 !

$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

En passant au module on obtient : $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$ on en déduit alors :

$\text{[math]}$

Enfin $\text{[math]}$

**mehdi_128** · 20/02/2019, 15h07

Envoyé par azizovsky

D'abord, est ce que ta démonstration contient la démonstration des formules d'Euler ? (Re(a)=0 comme cas particulier).

https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_d%27Euler

Les formules d'Euler ont déjà été démontré 2 pages avant dans le live trivial.

**ansset** · 20/02/2019, 15h22

supprimé : commentaire inutile après relecture.

azizovsky · 20/02/2019, 15h26

Les formules d'Euler ont déjà été démontré 2 pages avant dans le live trivial

. je voulais dire Re(z)=0, exp(iy)=cos(y)+isin(y)=a (formule d'Euler).

**mehdi_128** · 20/02/2019, 17h18

Envoyé par mehdi_128

Bien vu Merlin

Soit $\text{[math]}$ un complexe vérifiant $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Cette équivalence est fausse

**mehdi_128** · 20/02/2019, 17h22

Envoyé par azizovsky

. je voulais dire Re(z)=0, exp(iy)=cos(y)+isin(y)=a (formule d'Euler).

Je comprends pas de quoi vous parlez.

**mehdi_128** · 20/02/2019, 17h45

@Merlin

L'implication $\text{[math]}$ est fausse donc on ne peut pas raisonner par équivalence.

**mehdi_128** · 20/02/2019, 18h30

J'ai enfin compris la remarque de Ggo c'est exactement le même raisonnement que j'ai fait pour le 1 en prenant :

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Car $\text{[math]}$ s'écrit sous forme trigonométrique : $\text{[math]}$

Merlin95 · 20/02/2019, 21h53

Envoyé par mehdi_128

@Merlin

L'implication $\text{[math]}$ est fausse donc on ne peut pas raisonner par équivalence.

ha bon ? En essayant :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Effectivement ca implique que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
Et donc pas forcément que $\text{[math]}$

Merlin95 · 20/02/2019, 22h15

Ca c'est que des équivalences :

Envoyé par mehdi_128

Bonjour, merci pour votre aide voici mon raisonnement.

[tex]Soit $\text{[math]}$ vérifiant $\text{[math]}$ c'est-à-dire : $\text{[math]}$

On a alors : $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

Par ailleurs : $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

Par suite $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$

donc tu as montré que $\text{[math]}$ équivaut à il existe k tel $\text{[math]}$

**mehdi_128** · 21/02/2019, 10h41

Envoyé par Merlin95

Ca c'est que des équivalences :

donc tu as montré que $\text{[math]}$ équivaut à il existe k tel $\text{[math]}$

Oui c'est ça et pour la question 2 c'est exactement le même raisonnement en prenant $\text{[math]}$

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