lien entre éléments propres d'un endomorphisme et ceux de sa matrice

[seastar]

Bonjour,
Voici l'énoncé : Soit l'endomorphisme f:R4[X]->R4[X] qui à tout polynôme P appartient R4[X], associe f(P)(X)=P(X+1). Déterminer M, la matrice de f dans la base canonique de R4[X], en déduire les valeurs propres de f.

Or je sais que la base canonique de R4[X], notons B=(X^0,X^1,X^2,X^3,X^4), je comprends la démarche qui consiste à d'abord définir la matrice de f dans la base canonique mais je ne comprends pas vraiment l'endomorphisme f.

Si l'endomorphisme avait été f(P)(X)=XP'(X)+P''(X) et qu'on cherche toujours la matrice M de la matrice de f dans la base canonique de R4[X] je comprends qu'il faut faire
f(X^0)=X.0+0=0
f(X^1)=X.1+0=X
f(X^2)=X.2X+2=2X^2+2
f(X^3) et f(X^4)... puis construire la matrice, mais je ne comprends pas comment faire f(X^0), f(X^1)... lorsque f(P)(X)=P(X+1)

Merci,
Bonne journée.
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[MissJenny]

Il me semble que f(1)=1, f(X)=X+1 f(X^2)=(X+1)^2 etc.

[seastar]

Merci beaucoup !

Cependant, j'ai un peu de mal à comprendre la logique derrière... Afin de pouvoir l'appliquer dans d'autres énoncés. Si la base n'avait pas était la canonique et avait été B=(3,2X,X^2,6X^3,9X^4) quel aurait été le calcul ?

Et dans le cas où l'endomorphisme f aurait été de la forme f(P)(X)=P'(X+1) je ne vois pas non plus que faire.

[MissJenny]

Pour P = P(X)=3 par exemple tu as f(P) = P(X+1) = 3, pour P(X)=2X, f(P) = P(X+1) = 2(X+1)

ce qui te tracasse peut-être c'est qu'on note tantôt P, tantôt P(X), tantôt par exemple 2X+1 ? c'est une habitude à prendre avec les polynômes, on utilise l'une ou l'autre notation. On peut par exemple parler du polynôme P(X)=2X+1 ou simplement du polynôme 2X+1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

L'endomorphisme ne dépend pas de la base, donc écrire f(X+1) connaissant f(X) se fait de la même façon : remplacer X partout où il est par X+1. Après, la matrice s'obtient par la méthode du cours : exprimer les images des vecteurs de la base de départ par f dans la base d'arrivée (souvent la même).

Cordialement.

[seastar]

J'ai compris, merci beaucoup pour vos explications ! Bonne soirée.