sous groupe engendré dans Z/20Z

[math47]

Bonsoir,

Pourriez-vous m'expliquer la correction de la question 2 ?
Je ne comprends pas comment on obtient ces chiffres en calculant les puissances successives des éléments...



Merci d'avance,
Bonne soirée
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[gg0]

Bonjour.

Il y a, dans ce corrigé, confusion volontaire entre la classe (élément de Z/20Z) et l'entier strictement positif le plus petit en faisant partie, qui est aussi le reste, dans la division par 20 de n'importe quel élément de la classe. par exemple, {...-37,-17,3,23,43, ...} est un des éléments de Z/20Z, symbolisé par 3.
Ensuite, le sous groupe multiplicatif engendré par un élément a contient par définition, 1, a et tout élément obtenu à partir de ses éléments, par multiplication et inversion. Je laisse de côté pour l'instant l'inverse a' de a; comme multiplier par 1 n'apporte rien de neuf, les seuls éléments sont obtenus par multiplication par a, donc a*a, a*a*a, etc.. On voit apparaître les puissances de a. Si on est dans une groupe fini, ces puissances sont aussi en nombre fini. Et parmi elles, il y a aussi 1 (au bout d'un certain temps, on va en retrouver deux égales : a^n=a^p, et par simplification, a^(n-p)=1). Donc il y a une puissance minimale o (o est l'ordre de a) telle que a^o = 1. Et on voit aussi que a' = a^(o-1) puisque a*a^(o-1)=a^o =1.

Partons de 3 : 3²=9; 3^3 = 27, qu'on note 7 (même classe modulo 20 que 27); 3^4 = 3*7 = 21 =1. Fini !
J'ai fait 3*7, inutile de faire 3*27 = 3*20 +3*7 et 3*20 ne sert à rien puisqu'on s'intéresse au reste dans la division par 20.

Cordialement.

[math47]

Merci beaucoup, c'est clair maintenant !