nature de série numérique

[sothe2000]

bonjour a tous, voici une série ou il faut determiner la nature suivant les valeurs de a.

voici la série :

Un = ( n! a^n ) / n^n

je pense que dans ce cas il faut utiliser d'alembert

avec Un+1 / Un seulement je m'en sors pas avec les valeurs de a .

merci pour votre aide

[doudache]

Salut !

Essaie de déterminer un équivalent en utilisant la formule de Stirling. Pour certaines valeurs de a tu auras peut-être quelques problèmes, n'hésite pas à nous en faire part.

[indian58]

Essaye avec la règle de Cauchy.

[sothe2000]

la formule de stirling est

n!= racine ( 2 PI n ) * (n / e )^n

cela donne

Un= [ racine ( 2 PI n ) * a^n ] / e^n

et quand a = e cela donne

Un = racine ( 2 PI n )

je n'arrive pas à trouver la limite en + inf

j'ai essayé le dl de e^x mais a priori cela ne marche pas non plus

[indian58]

la formule de stirling est

n!= racine ( 2 PI n ) * (n / e )^n

Attention! C'est faux ce que tu écris:

[sothe2000]

oui mais comment utiliser cauchy à partir de ca ?

[doudache]

Tu as obtenu l'équivalent suivant pour u_n

Essaie de distinguer les cas suivants :
- si |a| >= e, que peux-tu dire de la limite de u_n, et donc de la nature de la série ?
- si |a| < e, essaie de montrer que la série converge.

[indian58]

Avec cauchy, il faut regarder Un^(1/n) à l'infini. Or
.


A toi de trouver la limite de cette suite.

[sothe2000]

Un= [ racine ( 2 PI n ) * a^n ] / e^n

et quand a = e cela donne

Un = racine ( 2 PI n )

est ce que cela est correcte au moins ?

merci

[sothe2000]

est ce que je peux m'aider de la fonction pour determiner la limite ?

[sothe2000]

[si a >=e lim un en + infini = +infini * +infini = +infini
[ca diverge
[
[ (a/e)^n va vers + infini car a/e >1


si a<e alors on a une fonction décroissante donc la somme de Un converge vers 0 d'ou forme indetermine 0 * infini

comment peut on contourner ce problème, avec les dls ?

et est ce que le début est correcte ?

merci

[Scorp]

[si a >=e lim un en + infini = +infini * +infini = +infini
[ca diverge
[
[ (a/e)^n va vers + infini car a/e >1


si a<e alors on a une fonction décroissante donc la somme de Un converge vers 0 d'ou forme indetermine 0 * infini

comment peut on contourner ce problème, avec les dls ?

et est ce que le début est correcte ?

merci

Pour a>e je suis d'accord ca diverge. Mais pourquoi ne pas utiliser d'Alembert pour la convergence, ca marche très bien il me semble. Il ne faut pas oublier que tu as ici une série entière. Et attention avec tes = (dans le post #9), ce sont en fait des équivalents (pour les séries, ca te permet de conclure que si Un>0)

[sothe2000]

je ne vois pas comment utiliser d'alembert dans ce cas car on se retrouve avec des limites du style infini / infini et * infini ???

[Scorp]

je ne vois pas comment utiliser d'alembert dans ce cas car on se retrouve avec des limites du style infini / infini et * infini ???

Ha non je ne crois pas. En tout cas, j'arrive à conclure pour a<e. Tu peux me donner ton calcul de limite stp.

[sothe2000]

d'alenbert c'est lim en +infini de (Un+1 / Un) et ca converge si lim < 1.

ici Un = [ ( racine ( 2 PI n )) * a^n ] / e^n

d'ou Un+1 = [ ( racine ( 2 PI n+1 )) * a^n+1 ] / e^n+1

d'ou Un+1 / Un =

[ ( racine ( 2 PI n+1 )) * a^n+1 ] * e^n
----------------------------------------
[ ( racine ( 2 PI n )) * a^n ] * e^n+1


a^n+1 / e^n+1 tend vers 0


a^n / e^n tend vers infini

forme indeterminé