nature de série

[invite0398e75c]

Bonjour, j'ai decidement bcp de mal avec les series. il faut determiner la nature de

Un = (-1)^(n+1) cos ( PI n^2 ln ( (n-1) / n ))

avec comme indication que

cos (x+k PI) = (-1)^k cos x

moi j'ai trouvé en simplifiant :

un = (-1)^(n+1) cos (- PI n)

j'ai utilisé ln(1+t) = t

et je me retrouve avec quelque chose qui ne correspond pas avec l'indication. j'ai du faire une erreur.

Pourrait on me conseiller, merci ?
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[indian58]

regarde l'indication avec x=0 et k=-n !!

[invite8b04eba7]

j'ai utilisé ln(1+t) = t

Attention avec cette notation. Elle est fausse (sauf dans C[[t]]/(t²), ok). Il faut toujours garder le o ou le O, car sinon tu peux faire des erreurs du style : "puisque ln(1+t) = t, alors exp(ln(1+t)) = exp(t)".

Autre chose : ce n'est pas parce que v_n est équivalent à w_n que f(v_n) est équivalente à f(w_n).

Dans ton cas, tu dois pousser ton développement limité à un ordre supérieur pour pouvoir conclure quant à la natrue de u_n.

[invite0398e75c]

merci pour tes réponses doudache.

j'ai donc fait le dl de ln (1-x) = -x - ( x^2 / 2 ) + o (x^2)
(ordre 2).

or ln ( (n-1) / n ) = ln ( 1 - 1/n )

ce qui donne avec x = 1/n

ln ( 1 - 1/n ) = (-1/n) - (1/2n^2) + o (1/n^2)

d'ou

Un =
(-1)^(n+1) cos (PI n^2 *(-1/n) - (1/2n^2) + o (1/n^2)

= (-1)^(n+1) cos [ (-PI n) - (PI/2) + o (PI) ]

avec l'indication cos (x+k PI) = (-1)^k cos x

x= -PI/2 + o (PI) = PI/2 et k = - n

>> Un = - cos ( PI / 2) = 0

série nulle ????

on ne peut donc pas dire si elle converge ou non ??

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8b04eba7]

x= -PI/2 + o (PI) = PI/2

>> Un = - cos ( PI / 2) = 0

série nulle ????

Encore une fois tu ne gardes pas le petit o jusqu'à la fin . Tu dois obtenir cos (-pi/2 + o(pi)) = sin(o(pi)). Là, tu t'aperçois que tu n'es pas allée assez loin dans le développement.

Réessaie en développant un cran de plus.

[invite0398e75c]

Tu dois obtenir cos (-pi/2 + o(pi)) = sin(o(pi)).

au rang 2 j'obtiens bien

Un = (-1)^(n-n+1) * cos (-pi/2 + o(pi))
=0

Il faut donc allez au rang 3 ? bon ben j'essaye

[invite0398e75c]

au rang 3 j'obtiens:

Un=

(-1)^(n+1) * cos [ (-PI n) - (PI/2) - (PI/3n)+ o (PI/n) ]

avec k = - n

= - cos [ - (PI/2) - (PI/3n)+ o (PI/n) ]

en + infini cela donne encore une limite de 0

ou alors j'ai fait une faute

[invite8b04eba7]

en + infini cela donne encore une limite de 0

L'important ce n'est pas la limite, c'est l'équivalent ! C'est pour cela que tu pousses ton DL. Ici, tu as

Le terme général de ta série est donc de la forme 1/n. Que peux-tu en déduire ?

[invite0398e75c]

c'est une série de riemann (harmonique), elle diverge car alpha >= 1.

merci bcp pour ton aide précieuse car tu me permet de comprendre le fonctionnement.