Construction de R

[Abdellah7]

Message #29
Cette méthode est valable pour tout les réel ? C'est à dire : soit x un réel la suite de Cauchy qui a pour limite x est celle que tu a écrit dans #29 en remplaçant pi par x , c'est ça ???(je m'exprime comme ça parce que je sais comment écrire les formules de math dans ce forum)
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[pm42]

Non, c'est une des Cauchy dans Q qui a pour limite x.
Il y en a plein d'autres y compris qui ne sont pas dans Q.

[Médiat]

Oui, cela marche pour tous les réels

[albanxiii]

Bonjour,

(je m'exprime comme ça parce que je sais comment écrire les formules de math dans ce forum)

Vous pouvez trouver les bases ici https://forums.futura-sciences.com/a...e-demploi.html
(je conseille d'utiliser la fonction de prévisualisation des messages pour vérifier que vous avec bien écrit ce que vous voulez avant de poster)

[Abdellah7]

Message #32 moi je parle seulement des suite de Cauchy parce que je veux répondre à ma question #8

Est ce que pour chaque nombre irrationnel x, il existe une suite de Cauchy qui a pour limite x ?

[Abdellah7]

Vous pouvez trouver les bases ici https://forums.futura-sciences.com/a...e-demploi.html
(je conseille d'utiliser la fonction de prévisualisation des messages pour vérifier que vous avec bien écrit ce que vous voulez avant de poster)

Merci beaucoup

[Abdellah7]

Est ce que pour chaque nombre irrationnel x, il existe une suite de Cauchy qui a pour limite x ?

La report est oui D'après ce que a dit Médiat dans #33 c'est ça ??

[Médiat]

Je précise que ma réponse #29 est une des suites rationnelles de Cauchy, voir #15, donc il existe des suites de Cauchy (une infinité)

[pm42]

La report est oui D'après ce que a dit Médiat dans #33 c'est ça ??

Tu as eu plusieurs réponses. Faire l'effort de les lire serait le minimum.
Et quand on pose ce genre de questions, comprendre que la suite donnée par Mediat qui est juste les n 1ères décimales de x et donc converge vers x trivialement n'est quand même pas compliqué.

Réfléchir au lieu de poster des messages par 3 pour reposer des questions tant qu'on n'a pas eu une réponse pour oui ou par non ne permet pas de faire des maths.

[ThM55]

Pour un corps ordonné, on peut aussi définir sa complétude sans faire appel aux suites de Cauchy. Je trouve d'ailleurs que c'est plus parlant et permet de démontrer facilement une série de théorèmes. On dira qu'un corps ordonné est complet si pour tout sous-ensemble E l'ensemble de ses bornes supérieures possède un plus petit élément. On voit immédiatement que n'est pas complet (par exemple avec ).

En fait si le but est de faire une introduction à l'analyse, on peut définir comme un corps ordonné complet. Il est alors possible de démontrer quelques faits simples et utiles: qu'il est archimédien et que est dense dans .

J'ai toujours trouvé cette approche tellement plus simple que les constructions des réels à partir des rationnels.

Pour des ensembles plus généraux toutefois, par exemple les espaces normés, la définition avec les suites de Cauchy est indispensable.

[GBZM]

On dira qu'un corps ordonné est complet si pour tout sous-ensemble E l'ensemble de ses bornes supérieures possède un plus petit élément.

Plus exactement, toute partie non vide majorée admet une borne supérieure.
Sinon, tout dépend si on privilégie une approche axiomatique (ce qui est tout à fait faisable) ou si l'on veut construire , c;-à-d. démontrer qu'il existe bien un modèle pour ces axiomes.