Produit d'espaces séparables

[CyrusSmith]

Bonjour,

Je naviguais récemment sur la page wikipédia consacrée à la notion de séparabilité en topologie https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_s%C3%A9parable et une affirmation m'a pour le moins déconcerté :

Tout produit d'espaces séparables indexé par un ensemble ayant au plus la puissance du continu ℭ est séparable (c'est le cas particulier κ = ℵ₀ du théorème de Hewitt-Marczewski-Pondiczery³). L'étape essentielle, pour le démontrer, est de vérifier que ℕ^ℝ est séparable⁴. En particulier, ℝ^ℝ est séparable.

Or il me semble par exemple que l'espace muni de la distance issue de la norme sup n'est pas séparable. D'où ma surprise face à la citation précédente. Mon impression est que cela se rapporte à la manière dont on attribue une topologie à ces espaces. J'aimerais donc comprendre quelle est la topologie qui est sous-entendue, par exemple sur , et quelle partie dénombrable pourrait être dense dans ce cas.

Pourriez-vous m'éclairer à ce sujet ?

Merci par avance.
-----

[Seirios]

Bonjour,

Quand on parle de produit d'espaces topologiques, il est généralement sous-entendu qu'on le munit de la topologie produit, à moins que le contraire soit explicitement mentionné. Pour (muni de la topologie de la convergence simple donc), tu peux regarder les combinaisons linéaires à coefficients rationnels des fonctions caractéristiques d'intervalles rationnels (i.e. les fonctions étages où les hauteurs des étages et les points de discontinuités sont rationnels).

[CyrusSmith]

La topologie de la convergence simple d'accord ! Merci, c'est à présent clair.