calcul de matrice

[invite0398e75c]

Bonjour à tous !

Voici une matrice :

( 0----1---- 0 )
( -1-- -1-- -1 )
( -1--- 0-- -1 )

j'ai commencé à calculer le pôlynome caractéristique :

( -X-----1----0 )
( -1----1-X---1 )
( -1----0----1-X )

= -X [ (1+X)^2 +1 ] ce qui donnerait 0 comme valeur propre. mais 0 est valeur double ou triple ??

Est ce que le résultat du pôlynome est correct ?

Peut - on diagonaliser cette matrice ? avec Jordan ?

merci pour votre aide !!
-----

[Coincoin]

Salut,
Pour trouver toutes les valeurs propres, il faut te mettre dans C. Si le polynôme n'est pas scindé, ça ne marche.

Calcule la dimension du noyau associé à chaque valeur propre pour savoir si c'est diagonalisable.

[invite0398e75c]

excuse moi mais je ne sais pas ce qu'est le noyau central. Il faut donc utiliser les complexes ?

Et le résultat du polynome est correct ?


je te remercie

[Scorp]

Bonjour à tous !

Voici une matrice :

( 0----1---- 0 )
( -1-- -1-- -1 )
( -1--- 0-- -1 )

j'ai commencé à calculer le pôlynome caractéristique :

( -X-----1----0 )
( -1----1-X---1 )
( -1----0----1-X )

= -X [ (1+X)^2 +1 ] ce qui donnerait 0 comme valeur propre. mais 0 est valeur double ou triple ??

Est ce que le résultat du pôlynome est correct ?

Peut - on diagonaliser cette matrice ? avec Jordan ?

merci pour votre aide !!

Tu as calculé ton polynôme caractéristique, pourquoi ne pas t'en servir ? Tes valeurs propres sont éxactement les racines de ton polynôme caractéristique. En regardant ce polynôme, tu sais que tu obtiendra 0 comme valeur propre (normal vu que ta matrice de départ a 2 colonnes identiques) ainsi que deux valeur propres complexes conjuguées. Tu pourra a priori diagonliser ta matrice, mais uniquement dans C, pas dans R (mais il elle y est quand même "diagonale par bloc")

[A voir en vidéo sur Futura]

[chwebij]

en fait comme

on a

[PHENIXian]

Salut

ce que coincoin essaie de te dire c'est que un polynome caracteristique admet bien N racines distinctes qui vont etre tes N valeurs propres de ta matrice. PAr contre ces valeurs propres peuvent etre complexes...Donc une matrice est diagonalisabe dans C

Par contre si tu veux la diagonaliser dans R il faut calculer les dimensions de noyaux, cad pour chaque valeur propre calculer les solutions et regarder la dimension de chacun des espaces. Si leur somme est egale a la dimension de la matrice alors elle est diagonalisable...

Dans ton cas ce polynome a 0 comme vp simple et deux valeurs propres complexes conjuguees.... donc ca parait mal barre
Par contre un calcul rapide me donne comme polynome caracteristique (devt par rapport a la premiere colonne)


Maple/Matlab/Mathematica/Ti te donne quoi ?

[invite0398e75c]

Par contre un calcul rapide me donne comme polynome caracteristique (devt par rapport a la premiere colonne)

excuse moi mais je retrouve bien - X [ (1+X)^2 +1 ]

peut tu me détailler ton calcul ?

merci beaucoup

[PHENIXian]

autant pour moi c'est la fatigue, de toute facon avec mon expression tu retrouvais meme pas la valeur propre 0

[invite0398e75c]

pour la valeur propre 0 je trouve le vecteur ( 1 , 0 , -1 ); c'était facile mais j'ai des problèmes pour trouver les vecteurs venant de valeurs propres complexes.

exemple avec la valeur i :

[ -i + y = 0
[ - x + ( - 1 - i ) y - z = 0
[ - x + ( - 1 - i ) z = 0

ce qui donne

[ y = i
[ - x - y - i y - z =0
[ - x - z - i z = 0

Comment peut ton avoir des vecteurs propres avec ces expressions ???

Merci pour votre aide !

[PHENIXian]

MM par contre avec ton polynome tes valeurs propres complexes sont ...

[invite0398e75c]

MM par contre avec ton polynome tes valeurs propres complexes sont ...

je ne comprend pas ce que tu veux dire. Le polynôme est bien nul pour les valeurs i et - i ????

[PHENIXian]

ben...


donc


pour X = i ton polynome vaut

[invite0398e75c]

merci je faisais vraiment une grosse erreur. je réessaye de trouver les vecteurs avecs ces valeurs.

[invite0398e75c]

je n'arrive pas à me dépretter des écritures pour trouver les vecteurs propres complexes. je n'en ai jamais fait. comment s'en sort t-on ?

merci

[PHENIXian]

Bon.... prenons la valeur propre , tu cherches un vecteur tel que



Soit



Evidemment c'est un systeme lie qui te donne



Donc ton sous espace propre est

et tu peux remplacer dans le pb aux valeurs propres ca te donne bien ce que tu veux

[Scorp]

Bon.... prenons la valeur propre , tu cherches un vecteur tel que



Soit



Evidemment c'est un systeme lie qui te donne



Donc ton sous espace propre est

et tu peux remplacer dans le pb aux valeurs propres ca te donne bien ce que tu veux

Oui, c'est ca. En fait, il faut que tu te souvienne que le sous espace propre associé à ta valeur propre (ensemble des vecteurs propres associés à la vp ) n'est autre que ker(f-id), où f est l'application linéaire canoniquement associée à ta matrice M. En définitive, ca revient à faire ce que fait PHENIXian : c'est bien chercher les vecteur V=(a,b,c) tel que (M-In)*V=0. De plus, tu as déjà montré que ta matrice était diagonalisable dans C, donc tu sais que la dimension de tes sous espaces propres sera égales à l'ordre de multiplicté de la valeur propre associée. Dans ton cas, tu il te faut donc chercher 3 sous espace propres de dimension 1.

[invite0398e75c]

je trouve comme vecteurs propres

pour 0 : ( 1 , 0 , -1 )

pour -1 -i : ( 1 , -1-i , -i )

pour -1 +i : ( 1 , -1+i , +i )

mais on me demande de ranger par ordre croissant les valeurs propres pour avoir la matrice diagonale et la matrice de passage. Alors qu'on ne peut comparer i à des valeurs numériques. i > ou < 0 par ex ??

avec comme indication que les valeurs propres de C ont pour module racine de 2.

Question : Faut - il reppasser dans R pour avoir les matrices diagonales et de passage ?? et ce comment ??

merci, bonne fin de soirée

[invite0398e75c]

et est ce que cela change quelquechose au résultat ?

merci pour votre aide

[invite54165721]

bonsoir,

Si V est vecteur propre, kV aussi. dans l'indication on ne parlerait pas plutot du module du vecteur propre?
Pour diagonaliser il faut rester dans C
On a M = PDP^-1

[Scorp]

Ta matrice a des valeurs propres dans C, et est même diagonale dans C. Si tu passe dans R, ta matrice ne sera plus que "diagonale par bloc" (je ne sais pas si ca ce dit vraiment). En claire, tu sais que pour une valeur propre complexe , alors a-ib sera aussi valeur propre. Ton "bloc diagonale" dans C sera . Si tu passe dans R, ton bloc deviendra , donc ta matrice dans sa totalité ne pourra plus être diagonale.
En définitive, tu as la matrice diagonale dans C (0 partout et valeur propre complexe sur la diagonale). Tu peut aussi avoir ta matrice diagonale par bloc dans R en utilisant la transformation que j'ai donné ci-dessus. Ici, tu devrais obtenir quelque chose comme (sauf erreur de ma part).