Dérivation d'un produit de plusieurs fonctions ?

[Gpadide]

Bonjour,
a la base ca vient de la page : http://fr.wikipedia.org/wiki/Interpolation_lagrangienne.
L'auteur décrete que par la formule de leibniz, il trouve une formule générale de la dérivée du produit des x-x_j.
Ca veut dire que la dérivée de abc, c'est a'bc+ab'c+abc', et ce pour un nombre quelconque de fonctions ? Si c'est vrai j'aimerais savoir le nom de cette formule car pour moi leibniz c la dérivée n-ieme de fg...
Dans le meme esprit, j'en profite aussi pour demander une formule pour calculer la puissance n-ieme de la somme de k termes, qui doit etre une formule du meme genre...
MErci

[Lagoon]

on peut utiliser la formule de dérivation pour 2 fonctions car apres tout : (abc)= (a(bc))'

(abc)'=a'bc+a(b'c+bc')=a'bc+ab 'c+abc'

On peut donc le faire avec un nombre quelconque de fonctions a partir de la formule pour 2 fonctions !

[kron]

Pour la dérivation d'un produit, oui c'est tout à fait ce que tu as dit : (fgh)'=f'gh+fg'h+fgh'
Tu peux généraliser à n facteurs par une démo par réccurence assez facile.
Par contre je sais pas s'il existe un nom à cette formule.
Pour la puissance n-ième de k facteurs, c'est aussi la généralisation du binôme de Newton :
(a+b+c+d)ⁿ=((a+b+c)+d))ⁿ, et idem par récurrence sur k tu devrais arriver à une expression assez ignoble.

[Gwyddon]

Salut,

En vrac : il n'y a pas de nom particulier à la formule de dérivation pour un produit de fonctions à plus de deux termes, et de plus leibniz c'est effectivement la dérivée n-ième d'un produit de fonctions, et qui peut être étendu à un produit de p fonctions où p est supérieur ou égal à 2.

Pour ton dernier point, tu utilises Leibniz généralisé (ce que j'évoque ci-dessus) et c'est gagné.

EDIT : bon voilà, grillé rouge par les autres

[Gpadide]

Quand vous me dites de démontrer par récurrence, ca sous entend de connaitre la formule. Mais yen a t il vraiment une de connue ?
Ce qui m'interesse surtout c l'exemple du site, car ca veut dire qu'en dérivant le polynome, on trouve que N'(x_k)=N(x_k) ?Ca me semble chelou...

[kron]

Alors pour une démo par récurrence, pas besoin de connaitre deformule spécifique : tu peux dériver un produit de n fonctions en utilisant ce que tu sais sur un produit de de 2 fonctions, quand n=3 et n=4, par exemple, et de là tu intuite une loi, ce qui ici n'est pas difficile. Et après tu fais ta récurrence.
Sinon pour le coup de N'(x_k)=N(x_k), j'ai pas tout compris. N(x_k) = 0, puisque x_k est racine de N, mais il n'est pas celui de N', sauf s'il est racine d'ordre 2 de N, mais ce serait une autre affaire...

[fderwelt]

Ce qui m'interesse surtout c l'exemple du site, car ca veut dire qu'en dérivant le polynome, on trouve que N'(x_k)=N(x_k) ?Ca me semble chelou...

Bonjour,

Relis bien le site en question: N s'annule pour tous les x_i, ce qui n'est pas le cas de N'. Si N(x_k)=0, on n'a N'(x_k)=0 que si x_k est racine au moins double de N.

Dans l'expression de N'(x_k), le produit porte sur les i≠k, alors que dans l'expression de N(X) tous les indices sont pris en compte.

-- françois

[dolma]

Bonjour,

Dans le meme esprit, j'en profite aussi pour demander une formule pour calculer la puissance n-ieme de la somme de k termes, qui doit etre une formule du meme genre...

Cette formule, c'est la formule du multinome de Newton :



qu'on peut aussi ecrire :



Voila,

[Gpadide]

waw merci de ressortir ce post un an apres !

[dolma]

Ah oui, effectivement, j'avais pas vu de quand datait ce post.

[Gpadide]

Par contre je connais pas ta notation avec les vecteurs dans les coefficients binomiaux...

[dolma]

En fait justement, c'est pas des coefficients binomiaux, c'est des coefficients multinomiaux (les coefficients binomiaux en sont un cas particulier) :

k est un multi-indice de taille p (un vecteur) :





Dans le cas du binome de Newton :





que l'on note