Equation avec tan et arctan

[Savoirrr]

Bonjour
je cherche une solution autre que 0 sur R à l'équation tan(x)=arctan(x) je suis preneur de toute piste et même de solution
Merci
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[gg0]

Bonjour.

La fonction arctan est définie sur R croissante de -pi/2 à pi/2; la fonction tan est définie sur chacun des intervalles ]-pi/2 + k pi,pi/2 + k pi[ (où k est un entier relatif) et varie de -oo à +oo; donc sur chaque intervalle les deux fonction sont égales au moins une fois. Comme leur différence est strictement croissante sur chaque intervalle, il n'y a qu'une seule valeur possible.
Donc l'équation tan(x)=arctan(x) a une infinité de solutions. Par parité, il suffit d'étudier les solutions positives (si x est solution, -x est solution). Elles sont dans la partie droite de l'intervalle donc dans les intervalles ]k pi,pi/2 + k pi[. Mais il n'existe pas de calcul algébrico-trigonométrique permettant d'en donner une expression.
On peut trouver des valeurs approchées, par exemple la plus petite solution strictement positive vaut environ 4.067588866.

Cordialement.