Une nouvelle fournée

[Le_Sphinx]

En voici quelques nouveauxje n'ai pas la solution de tous)
1) (((7^2004)^2014)-((3^2004)^2014))/(2014-2004) est il un entier naturel?

2)u est définie sur N par u_n=7n+2
déterminer lez nombre de carrés parfaits entre u_0 et u_2004

3)a et b sont deux entiers naturels non nuls
un rectangle de cotés a et b est divisé en ab carrés unités
combien de carrés unités traverse la diagonale du rectangle
(jaime particulièrement celui-ci )

4)n est un entier naturel
(n^3+5)/(n^2+7) peut-il être un entier naturel?

voila bonne chance!

[Gaétan]

1) Non, il n'y a pas facteur 5 au numérateur, mais bien au dénominateur. Donc, ce sear un entier divisé par 5.

[Le_Sphinx]

1) Non, il n'y a pas facteur 5 au numérateur

qu'en sais-tu?
l'as tu calculé???
ce n'est pas parceque ((7^2004)^2014) et ((3^2004)^2014 ne contiennent pas de facteurs 5 que leur différence n'en contient pas
pour preuve: 7^2=49
3^2=9
7^2-3^2=40 et 40 est bien divisible par 5
dommage,c'était bien tenté
réessaye!

[cotg0]

désolé si je suis un peu brouillon ou si j'ai fait une faute de calcul mais au moins, j'ai les réponses
1. étudions les valeurs des puissances de 7 et de 3 modulo 10.
on en déduit que le nombre de départ vaut (10k+1)- (10k+1)/10 ce qui est bien entier naturel
2. soit 7n+2=x² d'où x²-2=7n
soit x=7k+a, si a vaut 3 ou 4, x²-2 est multiple de 7, sinon non
pour tout k naturel de 0 à 16, il existe deux valeurs de x² :
k²+6k+9 et k²+8k+16
3. cela vaut a+b-1 auquel il faut enlever 1 pour chaque croisement avec un sommet du quadrillage donc, si le PGCD de a et b vaut p, le nombre cherché est a+b-p
4. n^3+5=n(n²+7)-7n+5 d'où -7n+5 divisible par n²+7
soit -7n+5=k(n²+7) d'où kn²+7n+(7k-5)=0
le delta vaut -28k²+20k+49 ce qui est positif k=-1, 0 et 1
n est entier si k=-1 et n=4 ou n=3
voilà, dit moi ce que tu penses de ces réponses ; j'espère qu'elles sont bonnes

[Gaétan]

Désolé !!!
J'avais lu (7*2004)^2014 - (3*2004)^2014, qui n'est pas multiple de 5.
En corrigeant, on a alors,
(7^n - 3^n)/10, il faut donc que le dernier chiffre du numérateur soit 0.
Ca marche pour,
n = 2
n = 6
n = 10
...
n = 2 + 4N ou N est un entier positif.
Or n = 2004^2014 et je bloque.
euh... j'en ai marre je continuerai demain.

[Gaétan]

J'ai réfléchis devant la télé.
(7^n - 3^n) est également multiple de 10 pour,
n = 0
n = 4
etc
En gros, ça marche dès que n est pair. J'ose affirmer que 2004^2014 est pair.
Donc, oui, l'expression est entière.

[cotg0]

pour commencer, c'est 2004.2014 et pas 2004^2014 (propriétés des puissances).
Sinon, cela fonctionne pour tout 7^(2a)-3^(2b). notons que cela fonctionne aussi pour 7^(4a+1)-3^(4b+3)et pour 7^(4a+3)-3^(4b+1)

[Gaétan]

pour commencer, c'est 2004.2014 et pas 2004^2014 (propriétés des puissances).

Arf, encore désolé. J'ai voulu aller trop vite.
Mais ça ne change rien, les deux sont paires.
(je l'avais vu )

[Le_Sphinx]

1)such a strange thing...
moi je pense qu'elle n'est pas entière:
elle est entière ssi
((7^2004)^2014)-(3^2004)^2014) (congru à) 0 (mod 10)
(7-3)(somme de a=0 à 2004*2014-1 de 7^a - (3^(2004*2014-1))) (congru à) 0 (mod 10)
or 7 et 3 strictement positifs donc somme machin pas congrue à 0 mod 10
donc notre nombre est entier ssi 7-3 (congru à) 0 (mod 10)
ce qui n'est pas le cas
donc c'est pas un entier

2)ce qui donne finalement...

3)là par contre je suis entièrement d'accord avec toi

4)pour celle-là aussi mais je me demande si ce sont les seules solutions (on peut aussi remarquer qu'avec n=3 et n=4,
(n^3+5)/(n^2+7)=n-1 et se demander si ca marche à tous les coups)

en tous cas bravo!

[cotg0]

le reste de 7^k quand k parcourt les naturels est: 1,7,9,3,1,7,9,3,1,... les propriétés des restes des puissances nous permettent de dire que 1,7,9,3 se répète tout le temps. le même raisonnement avec 3^k nous permet de dire que 7^(4k)-3^(4k) est congru à 1-1 (modulo 10).
pour le 2, on arrive à dire que cela donne tous les carrés parfaits de 3² à 20²
Enfin pour le 4, 3 et 4 sont les seuls réels ayant cette propriété car (n^3+5)/(n²+7)=n-1 se simplifie en (n-3)(n-4)=0
J'espère que ces précisions te suffiront, sinon, j'essayerai de faire plus clair.

[deneb37]

bonjour
pour la 4e question, il suffit de prendre n=0 ou 1 ou 2 pour se rendre compte que le quotient n'appartient pas à N

[deneb37]

bonjour
Pour la 1ère question, c'est de la forme (7^n - 3^n)/10 avec n=2004 * 2014 donc de la forme (x^n - y^n)/10
le numérateur est égal à (x^2 - y^2)(Z) avec Z=somme pour i de 0 à n/2 - 1 de x^(n-2-2i)*y^2i en effet
(x^2 - y^2)[x^(n-2) + x^(n-4).y^2 +...+ x^2.y^(n-4) + y^(n-2)] =
x^n + x^(n-2).y^2 + x^(n-4).y^4 +...+ x^4.y^(n-4) + x^2.y^(n-2)
- x^(n-2).y^2 - x^(n-4).y^4 -...- x^4.y^(n-4) - x^2.y^(n-2) - y^n
il y a n/2 termes dont n/2-1 s'annulent 2 à 2. Il reste donc x^n - y^n quel que soit x, y, n dans N
Donc on a (7^2 - 3^2).Z/10 = 40.Z/10 = 4.Z
7 et 3 appariennent à N, 7^p et 3^q appartiennent à N (p et q aussi), leur produit aussi, la somme de leur produit aussi donc Z appartient à N CQFD

[Gaétan]

Pour le 4 t'es à coté de la question.
On ne demande pas si ça appartient à N pour tout n, mais s'il existe un n tel que ça appartient à N. sinon, c'est trop facile.

[deneb37]

Bonjour
D'accord, je suis à coté de mes pompes (la digestion sans doute)
Ca marche pour n=3 et 4