La notion de 2-catégorie.

**Anonyme007** · 25/06/2017, 02h26

Bonsoir à tous,

Je suis entrain d'apprendre la notion de $\text{[math]}$ -catégories, et sans perdre du temps, je vous rédiges directement la définition :

Définition :
A $\text{[math]}$ -category consists of a set $\text{[math]}$ of objects, equiped with categories $\text{[math]}$ for each $\text{[math]}$ .
For each $\text{[math]}$ has a distinguished identity object $\text{[math]}$ , and for all $\text{[math]}$ we have a composition funtor :
$\text{[math]}$ satisfying :
- For all $\text{[math]}$ we have : $\text{[math]}$
- $\text{[math]}$ for all $\text{[math]}$ , and :
$\text{[math]}$ for all $\text{[math]}$
Finally, we require the middle $\text{[math]}$ interchange condition :
- If $\text{[math]}$ , and we have arrows $\text{[math]}$ of $\text{[math]}$ , and arrows $\text{[math]}$ of $\text{[math]}$
( so $\text{[math]}$ are objects, $\text{[math]}$ are $\text{[math]}$ -morphisms, and : $\text{[math]}$ are $\text{[math]}$ -morphisms ), then we have : $\text{[math]}$ .

Exemples :

- The canonical example of a $\text{[math]}$ -category is the $\text{[math]}$ -category $\text{[math]}$ of categories. Here, the objects are categories, the $\text{[math]}$ -morphisms are functors, and the $\text{[math]}$ -morphisms are natural transformations.
- Another example of a $\text{[math]}$ -category is the $\text{[math]}$ -category $\text{[math]}$ whose objects are topological spaces, whose $\text{[math]}$ -morphisms are maps between them, and whose $\text{[math]}$ -morphisms are homotopies between these mpas, modulo reparametrization.

Questions :

Cette notion de $\text{[math]}$ -categorie m'est un peu difficile à appréhender. C'est la première fois que je la découvre, alors, je n'arrive pas à la
comprendre. Je vais l'utiliser dans la suite du cours pour définir ce que sont : A fibred category, a moduli problem, et a modui stack qui fait
l'objet de tout le cours. Alors, comment faire pour discerner entre : $\text{[math]}$ qui sont des $\text{[math]}$ -morphisms, et $\text{[math]}$ qui sont des $\text{[math]}$ -morphisms. Quel lien existe-il entre ces trois classes d'objets . Selon vous, de quelle manière peut-on réussir à visualiser et saisir
facilement cette notion de $\text{[math]}$ -catégorie ?

Merci d'avance.

**Anonyme007** · 25/06/2017, 02h29

Svp, j'ai posté dans le mauvais endroit, veuillez déplacer ce fil dans la section : Mathématique supérieur.

Merci.

azizovsky · 25/06/2017, 09h57

je cois qu'il y'a un lien avec la catégorie Tophom (passage au quotient)
http://www.univ-orleans.fr/mapmo/mem.../homotopie.pdf

je débute, je fait des liens partout

et je ramasse tous pour délier mon abstraction

.

**Anonyme007** · 25/06/2017, 21h46

D'accord azizovsky. Merci pour l’intérêt que tu portes au sujet.

Y'a-t-il quelqu'un pour m'aider dans les questions que j'ai posé ?
Merci d'avance.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

azizovsky · 26/06/2017, 16h33

est ce que t'a déjà consulté: https://fr.wikipedia.org/wiki/2-cat%C3%A9gorie ?

azizovsky · 27/06/2017, 00h20

Envoyé par Anonyme007

$\text{[math]}$ .

.

j'ai un doute sur la façon d'écrire la formule ( $\text{[math]}$ ), car sur wiki, il y'a inversion : $\text{[math]}$ , même chose dans la catégorie Tophom $\text{[math]}$ si on remplace dans https://fr.wikipedia.org/wiki/2-cat%...on_letters.svg. $\text{[math]}$ par les homotopies $\text{[math]}$ , on a la composition (ma façon de voir):
le couple $\text{[math]}$ et puisque on peut trouver une application (homotopie) $\text{[math]}$ qui regroupe $\text{[math]}$ (voir démonstration de la transitivité de la relation d'équivalence), on'a $\text{[math]}$ (c'est comme on'a un foncteur 'classifiant'

).

**Anonyme007** · 27/06/2017, 10h54

Merci, mais je n'ai pas compris grand chose à la définition :

Définition :
A $\text{[math]}$ -category consists of a set $\text{[math]}$ of objects, equiped with categories $\text{[math]}$ for each $\text{[math]}$ .
For each $\text{[math]}$ has a distinguished identity object $\text{[math]}$ , and for all $\text{[math]}$ we have a composition funtor :
$\text{[math]}$ satisfying :
- For all $\text{[math]}$ we have : $\text{[math]}$
- $\text{[math]}$ for all $\text{[math]}$ , and :
$\text{[math]}$ for all $\text{[math]}$
Finally, we require the middle $\text{[math]}$ interchange condition :
- If $\text{[math]}$ , and we have arrows $\text{[math]}$ of $\text{[math]}$ , and arrows $\text{[math]}$ of $\text{[math]}$
( so $\text{[math]}$ are objects, $\text{[math]}$ are $\text{[math]}$ -morphisms, and : $\text{[math]}$ are $\text{[math]}$ -morphisms ), then we have : $\text{[math]}$ .

Je suis maintenant familier avec ces objets, mais je ne comprends rien quant au sens qu'on attribue aux données suivantes :

For each $\text{[math]}$ has a distinguished identity object $\text{[math]}$ , and for all $\text{[math]}$ we have a composition funtor :
$\text{[math]}$ satisfying :
- For all $\text{[math]}$ we have : $\text{[math]}$
- $\text{[math]}$ for all $\text{[math]}$ , and :
$\text{[math]}$ for all $\text{[math]}$
Finally, we require the middle $\text{[math]}$ interchange condition :
- If $\text{[math]}$ , and we have arrows $\text{[math]}$ of $\text{[math]}$ , and arrows $\text{[math]}$ of $\text{[math]}$
( so $\text{[math]}$ are objects, $\text{[math]}$ are $\text{[math]}$ -morphisms, and : $\text{[math]}$ are $\text{[math]}$ -morphisms ), then we have : $\text{[math]}$ .

C'est un peu ambigu tout ça.

Merci d'avance.

azizovsky · 27/06/2017, 22h51

For each $\text{[math]}$ has a distinguished identity object $\text{[math]}$ , and for all $\text{[math]}$ we have a composition funtor :
$\text{[math]}$ satisfying :
1 - For all $\text{[math]}$ we have : $\text{[math]}$
2 - $\text{[math]}$ for all $\text{[math]}$ , and :
3 - $\text{[math]}$ for all $\text{[math]}$
Finally, we require the middle $\text{[math]}$ interchange condition :
- If $\text{[math]}$ , and we have arrows $\text{[math]}$ of $\text{[math]}$ , and arrows $\text{[math]}$ of $\text{[math]}$
( so $\text{[math]}$ are objects, $\text{[math]}$ are $\text{[math]}$ -morphisms, and : $\text{[math]}$ are $\text{[math]}$ -morphisms ), then we have

4 : $\text{[math]}$ .

Merci d'avance.

la relation (1) est difficile à saisir même s'elle apparaît logique (composition de foncteurs).

- la 2 ème est la composition des 1-morphismes $\text{[math]}$
- la 3 ème est la composition des 2-morphismes $\text{[math]}$
- la 4 ème c'est une relation entre les compositions* horizontale** et verticale des 2- morphismes .
si on note par (.) la composition vertical et par ( $\text{[math]}$ ) la composition horizontal , pour mettre les deux compositions au sein d'une même relation, on'a $\text{[math]}$

une façon de voir :

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

* https://fr.wikipedia.org/wiki/2-cat%...er_letters.svg
**https://fr.wikipedia.org/wiki/2-cat%...on_letters.svg

**Anonyme007** · 28/06/2017, 02h57

Bravo à toi azizovsky, tu es vraiment excellent.

J'ai compris les trois derniers points que tu m'as expliqué, mais la première est vraiment délicate à comprendre pour moi.

azisovsky, je suis chentouf, ton ancien ami du forum avant que je change de pseudo. J'ai demandé aux chers modérateurs de me rétablir mon ancien compte chentouf, et j'attends encore qu'ils me règlent ce problème. Ils me disent que ça prend du temps cette procédure.

Merci encore une fois azizovsky pour m'avoir aidé, et je serai encore plus ravi que tu me fasses déchiffrer le premier point de la définition ( Composition des foncteurs ).

et tu fais toujours du carlage dans la vie de tous les jours azizovsky ?

azizovsky · 28/06/2017, 11h54

je le suis encore, même ici avec ce 'pavage'

:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

pour le reste, j'espère qu'il y'a quelqu'un du domaine pour te répondre (

= apprenti)

**JPL** · 28/06/2017, 22h49

Envoyé par Anonyme007

B.je suis chentouf, ton ancien ami du forum avant que je change de pseudo. J'ai demandé aux chers modérateurs de me rétablir mon ancien compte chentouf, et j'attends encore qu'ils me règlent ce problème.

On t’a déjà expliqué que c’était techniquement impossible, et ce n’est pas le lieu d’en discuter ici : en gros c’est comme si tu disais, dans un moment d’égarement j’ai brûlé par erreur un manuscrit ; pouvez-vous le ressusciter ?
Fin du hors sujet.

**Anonyme007** · 29/06/2017, 16h15

Envoyé par JPL

On t’a déjà expliqué que c’était techniquement impossible, et ce n’est pas le lieu d’en discuter ici : en gros c’est comme si tu disais, dans un moment d’égarement j’ai brûlé par erreur un manuscrit ; pouvez-vous le ressusciter ?
Fin du hors sujet.

D'accord. Bon ...

Svp, une question que j'adresse à tout le monde :
Ce qui me pousse à m'intéresser à la notion de $\text{[math]}$ -catégorie est qu'elle présente le socle du fondement de la théorie des moduli stacks. Or, je me rends compte que la notion de $\text{[math]}$ -catégorie est un simple traitement d'une notion plus générale qui est la notion de $\text{[math]}$ - catégorie. Qu'est ce que c'est que une $\text{[math]}$ -catégorie ? est ce que l'introduction de la notion de $\text{[math]}$ -catégorie suppose qu'il existe une notion de $\text{[math]}$ -catégorie que je n'ai jamais vu ou lu, ... je ne sais pas encore si ça existe ou non. Je suis curieux de lire davantage sur ces sujets, mais je ne sais pas où les trouver sur le net. J'ai meme vu parler de notions telles $\text{[math]}$ - catégorie. Bref, il y'a beaucoup de notions à vouloir aborder, mais je n'arrive à les tous appréhender ou cerner. Any help ?

Merci d'avance.

**AncMath** · 30/06/2017, 13h12

Si tu veux savoir ce qu'est un champ, ce qui est la traduction française de stack, il est utile d'avoir des exemples en tête. Personellement l'exemple que je garde en tête est l'"espace", le champ, des G-torseurs sur une variété. Et d'une certaine façon c'est le "seul" exemple.
Un champ c'est une catégorie fibrée en groupoïdes sur une catégorie de base $\text{[math]}$ . Ceci à bien sur une structure de 2-catégorie. On a des morphismes entre les morphismes. On peut bien sur penser à ca en terme d'homotopies et dans d'autres cadres, par exemple celui des $\text{[math]}$ -catégories comme modèle pour faire de la théorie homotopique des schémas c'est une bonne idée. Mais ici c'est plus simple.

Si tu penses à ta catégorie de base comme la catégorie des ouverts et inclusion d'un espace topologique, alors le champ $\text{[math]}$ est la catégorie des $\text{[math]}$ -torseur à la quelle on pense. Pour avoir un champ en bonne et due forme il faut que les données de descentes soient effectives. C'est effectivement ce à quoi on s'attend pour une catégorie de $\text{[math]}$ -torseurs, si on definit localement et qu'on recolle on définit de manière unique un $\text{[math]}$ -torseur. Il faut de plus que le foncteur de pull-back soit un faisceau, évidement cela implique d'avoir une structure de site sur la catégorie de base C.

Les axiomes de 2-catégories viennent alors naturellement en examinant les propriétés de ces exemples.

**Anonyme007** · 30/06/2017, 14h01

Merci.
et que signifie l'axiome suivant :
$\text{[math]}$ satisfying :
- For all $\text{[math]}$ we have : $\text{[math]}$
en termes de diagrammes. C'est compliqué à déchiffrer.

**AncMath** · 30/06/2017, 14h06

C'est évident, ça veut dire que les différentes manières de composer les mêmes flèches $\text{[math]}$ donnent la même chose. Ça traduit simplement l'associativité de la composition et le fait que l'identité agit comme l'identité : "simplifiable" à gauche et à droite.

**AncMath** · 30/06/2017, 14h12

D'ailleurs y a des écritures redondantes dans ton message. Le "id" dont tu parles dans cette formule n'est pas le "id" introduit dans ton premier message. C'est un peu confusant.

**Anonyme007** · 30/06/2017, 14h19

Oui, mais sans diagrammes ou autres astuces possibles, je ne réussirai pas à comprendre.

**AncMath** · 30/06/2017, 14h21

Et bien écrit le diagramme.

**Anonyme007** · 30/06/2017, 15h10

D'accord, il me semble que j'ai compris un peu :

Alors :

$\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$

Par conséquent : $\text{[math]}$ , non ?
est simplement la traduction de ce qui suit : $\text{[math]}$ .
Donc, on a déchiffré maintenant le sens de l'axiome : $\text{[math]}$ appliqué aux objets : ( i.e : $\text{[math]}$ - morphismes ) de la catégorie $\text{[math]}$ . Il reste à trouver le déchiffrage pour les morphismes ( i.e : 2-morphismes ) de la catégorie $\text{[math]}$ , non ? Comment faire ?

Merci d'avance.

**AncMath** · 30/06/2017, 18h41

Comme je t'ai dit dans mon précédent message, les premiers axiomes sont totalement evidents. Ils expriment l'associativité et le fait que l'identité soit simplifiable. La seule chose à comprendre c'est la loi d'interchangement mais elle dit la chose la plus bête possible sur les compositions de 2-morphismes le long d'un 1-morphisme ou le long d'un objet à savoir que tu as une "distribitutivité" de l'un par rapport à l'autre. Si tu as 4 2-morphismes que tu composes 2 à 2 verticalement puis horizontalement, ou 2 à 2 horizontalement puis verticalement alors tu obtiens la même chose.

azizovsky · 30/06/2017, 19h16

D'après ce que j'ai compris non (j'inverse les notations...) :

$\text{[math]}$
A $\text{[math]}$ B $\text{[math]}$ C $\text{[math]}$ D

pour les 1-morphismes:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

se décompose en :

$\text{[math]}$
A $\text{[math]}$ C $\text{[math]}$ D

$\text{[math]}$

ou

$\text{[math]}$
A $\text{[math]}$ B $\text{[math]}$ D

$\text{[math]}$

possible , j'ai écris des conneries ici ( $\text{[math]}$ ou ailleurs , mais ce que j'ai compris...

**Anonyme007** · 01/07/2017, 15h38

Attend, je vais voir si j'ai une réponse à te soumettre azizovsky.

AncMath :
J'ai eu beaucoup de flemme de réfléchir, je n'arrivais pas à bouger :

Voici le résultat auquel j'ai abouti tout à l'heure ( Je pense que c'est correct comme l'autre ) :
On a : $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
On a aussi :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ .
Par conséquent : $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ n'est autre que la traduction du fait que : $\text{[math]}$ . ( Associativité des foncteurs ), non ?
... en se basant bien sûr sur les diagrammes de azizovsky indiqués ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/2-cat%...on_letters.svg
Merci d'avance.

azizovsky · 02/07/2017, 15h27

Je suis au blad ....bon continuation.

**Anonyme007** · 08/07/2017, 17h47

Envoyé par azizovsky

D'après ce que j'ai compris non (j'inverse les notations...) :

$\text{[math]}$
A $\text{[math]}$ B $\text{[math]}$ C $\text{[math]}$ D

pour les 1-morphismes:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

se décompose en :

$\text{[math]}$
A $\text{[math]}$ C $\text{[math]}$ D

$\text{[math]}$

ou

$\text{[math]}$
A $\text{[math]}$ B $\text{[math]}$ D

$\text{[math]}$

possible , j'ai écris des conneries ici ( $\text{[math]}$ ou ailleurs , mais ce que j'ai compris...

Oui, c'est ça. C'est l'esprit du premier point portant sur l'associativité des 1- morphismes.
Tu as lu ce que j'ai écrit par rapport au second point sur l'associativité des 2-morphismes ?

Cordialement.

**Anonyme007** · 08/07/2017, 17h53

$\text{[math]}$ c'est $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ c'est $\text{[math]}$ .

**Anonyme007** · 30/09/2017, 03h54

Bonjour à tous,

Quelqu'un peut-il me confirmer si la catégorification du développement limitée d'une fonction au voisinage d'un point est une suite de cohomologie ? Si ce n'est pas le cas, quelle est la décatégorification d'une suite de cohomologie ? Dans certains ouvrages, on peut lire que la décatégorification d'une suite de cohomologie est un polynôme qui ressemble à la caractéristique d’Euler, mais, ce n'est pas ça le résultat auquel je voudrais aboutir. J'ai lu quelques part que la décatégorification d'une suite de cohomologie est une série ou polynôme de Taylor ou de Mc Laurin ou un développement limité, mais je ne sais pas où. J'ai perdu l'adresse du lien, et je suis vraiment désespéré. Je l'ai vu peut être sur mathoverflow, mais, je ne suis pas sûr. Quelqu'un peut-il m'indiquer un lien ?

Merci d'avance.

La notion de 2-catégorie.

La notion de 2-catégorie.

Re : La notion de 2-catégorie.

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