Inertie ?

[invite8fa95054]

Bonjour,
J'ai vraiment du mal avec le calcul d'inertie.
Qu'est ce que un tenseur d'inertie ?
Un moment d'inertie ?
Un produit d'inertie ?
Les axes principaux d'inertie ?

Prenons un exemple :

On considere un parallelipipede rectangle de cotes a, b et c, ayant une densite de
masse homogene .

1. Determiner les axes principaux d’inertie de ce solide, sans effectuer de calculs.
2. Calculer toutes les composantes du tenseur d’inertie de ce solide, dans les axes
   principaux d’inertie.
3. Determiner les moments principaux d’inertie de ce solide.

Pour la a) , l'origine est au centre du para. et les 3 plans d'inertie sont Oxy , Oxz , Ozy. Pourquoi ?

Pour la b) , le calcul commence :


D'ou vient cette expression ? Les bornes ?

Idem pour :

2. Une patineuse artistique tourne sur elle-meme les bras tendus à l’horizontale. Après
avoir levé les bras à la verticale, sa vitesse angulaire semble avoir fort augmenté.
(a) Calculer le moment d’inertie de la patineuse par rapport à son axe de rotation,
lorsque ses bras sont horizontaux, puis lorsqu’ils sont verticaux. On modélise le
corps de la patineuse par un cylindre de masse M, de rayon R et de hauteur
H, ses bras par 2 tiges minces ayant chacun une masse DeltaM et une longueur L,
et partant du bord du cylindre à l’horizontale ou à la verticale.

On démare avec :


Je ne vois pas du tout d'ou vient l'expression de l'intégrale ni même la première intégration...
En bref, je suis un peu perdu, si quelqu'un savait me dépétrer un peu, je lui serait reconnaissant

Merci
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[zoup1]

Pour la a) , l'origine est au centre du para. et les 3 plans d'inertie sont Oxy , Oxz , Ozy. Pourquoi ?

Il y aurait des dizaine de réponse à cette question mais la réponse que tu donnes correspond à des plans et non pas aux axes d'inertie.
Une réponse possible est que les axes d'inerties correspondent aux axes suivant lesquels le solide va avoir naturellement tendance à tourner (Il faut faire attention que la rotaion autour de l'un de ses axes à toute les chance d'être instable). Du coup, si le solide a suffisament de symétrie (et c'est le cas ici) ils coïncident aux axes de symétrie du solide. (Je ne sais pas si je suis capable de démontrer cette relation mais elle est correcte).

Pour la b) , le calcul commence :


D'ou vient cette expression ? Les bornes ?

C'est la définition du moment d'inertie. Les bornes correspondent à limiter l'intégration au solide (elles définissent la forme du solide). rho dx dy dz c'est dm.

Idem pour :
On démare avec :


Je ne vois pas du tout d'ou vient l'expression de l'intégrale ni même la première intégration...

c'est l'élement de volume en coordonnées cylindriques
le produit des 2 c'est dm.

(x^2 + y^2 ) = r (toujours en cylindrique)

L'intégration suivant z se fait le plus simplement du monde puisque z n'apparait pas dans l'intégrale.

[invite8fa95054]

Oki merci, j'avais juste pas cerné la définition du moment d'inertie, tout est tout de suite plus clair !

[invité576543]

Du coup, si le solide a suffisament de symétrie (et c'est le cas ici) ils coïncident aux axes de symétrie du solide. (Je ne sais pas si je suis capable de démontrer cette relation mais elle est correcte).

Suffit de se mettre dans la base des axes de symétrie, les termes intégrale(xy dm) sont nuls, par simple considération de symétrie. La matrice d'inertie étant diagonale, ce sont les axes principaux par définition...

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[soif2savoir]

Bonsoir je ne sais pas si cela se fait de déterrer des sujets mais je préfère faire cela qu'en recréer un inutilement.
Pour ma part le seul concept d'inertie m'échappe quand je veux le définir clairement. La définition que j'ai trouvé en lisant différent support est : l'inertie est la "résistance" qui existe quand on souhaite mettre en mouvement un objet. Soit... J'ai du mal à comprendre d'où cette "résistance" provient. Est-ce la force nécessaire à appliquer pour vaincre les frottements statiques afin de mettre en mouvement l'objet. Quelle sont les paramètres qui font varier l'inertie des objets (la masse?)Quelle est son unité? Il me semble qu'on donne souvent un exemple pour la définir. Voilà merci de m'apporter un peu de clarté. Si vous êtes motivés on essaiera de voir les moments d'inertie (encore que ca va mieux)
Merci d'avance

[Jeanpaul]

Un corps livré à lui-même sans interactions avec quoi que ce soit restera immobile ou aura une vitesse constante dans un référentiel dit d'inertie (galiléen).
Si on veut le mettre en mouvement de translation avec une accélération a, il faut lui appliquer une force F = m a où m est la masse inerte, caractérisant la quantité de matière et se mesurant en kilogrammes. m est un scalaire qui fait la proportionalité entre 2 vecteurs. Il se trouve que cette masse inerte est égale à la masse pesante telle que P = m g, les raisons pour cela ne sont pas simples et pas forcément toutes comprises.
Si on veut maintenant mettre le corps en mouvement de rotation, il faut lui appliquer un couple C = I d²a/dt² où a est l'angle de rotation. I est la matrice d'inertie ; c'est une matrice 3x3 ou un tenseur qui fait une proportion entre deux vecteurs non colinéaires.
On pourrait s'amuser à dire que la masse m est aussi un tenseur mais c'est sans intérêt car la matrice serait diagonale.

[soif2savoir]

J'avoue que le passage sur les matrices me dépassent un peu. Mais la réponse est clair merci Jeanpaul.
D'accord pour définir l'inertie on utilise le premier principe de newton.
Mon gros soucis c'est que pour moi inertie voulait dire "résistance" à la mise en mouvement et donc que la raison principale d'une résistance au mouvement sont les frottements statiques. Ca n'a rien à voir,si? Je préfère dire des énormités ici pour qu'on me corrige que les garder pour moi ^^

[Jeanpaul]

Non, ça n'a rien à voir, encore que ... On parle bien de forces d'inertie, c'est un concept commode, ça s'oppose aux changements de vitesse donc parfois ça tend à accélérer et parfois ça tend à ralentir tandis que les forces de frottement, ça ralentit presque toujours, notamment quand ça frotte sur une surface fixe.
Quand tu roules en voiture et que tu veux accélérer, le moteur lutte contre la force d'inertie. Inversement, quand tu veux ralentir, les freins luttent contre la force d'inertie qui aurait envie de t'emmener contre le mur.