exercice de mécanique

[invite267bac17]

Bonsoir,

J'ai un exercice que notre professeur nous a donné en TD qui n'a pas été corrigé. J'aimerais bien que quelqu'un me donne une correction (même succinte) histoire que je puisse réviser cet exercice pour le DS.

Voici l'énoncé :
"Une fronde est constituée par une masse m reliée à un point fixe O par l'intermédiaire d'un fil de l'ongueur l et de masse négligeable (on note T la tension du fil). Apartir de sa position d'équilibre, on lance une masse m avec une vitesse initiale vo horizontale. On va étudier la nature du mouvement en fonction de v0.

1- Justifier le choix des coordonnées polaires pour étudier ce problème. Faire le bilan des forces et donner leurs expressions en coordonnées polaires.

2- Exprimer l'accélératio, en coordonnées polaires.

3-En projettant sur Ur et Uthêta le principe fondamental de la dynamique, donner les équations différentielles du mouvement valables tant que le fil restE tendu.

4- Donner d'une manière générale la primitive de xdx.

5-Après avoir multiplié l'équation différentielle ne contenent pas T par thêta point, et en vous servant du résultat de la question précédente, intégrer cette équation. En déduire l'expression de T en fonction de thêta.

6-Le fil reste tendu tant que la postion du fil reste positive. En déduire une première condition sur v0² pour que le fil reste tendu sur un tour complet.

7-En exprimant que (thêta point)² doit être positif pour que l'on fasse un tour complet, en déduire une deuxième condition sur v0².

8-Dans le cas où les conditions trouvées en 6 et 7 ne sont pas satisfaites, donner les valeurs maximales de l'angle.

9-Il faut trouver la condition qui ne sera pas vérifiée la première. Donner l'expression de la vitesse quand T devient nulle et lorque (thêta point)² devient nul. Discuter. En déduire suivant le valeur de v0² les mouvements de la masse m."

Pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?
Merci d'avance
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[invite5e5dd00d]

Pourquoi tu proposerait pas une solution et on regarde où sont les erreurs ?
Et si jamais tu bloques à un moment, demande nous des infos, mais je me vois mal tout faire comme ça, et perdre une heure.

[invite267bac17]

Bonjour,

J'ai des réponses à cet exercices mais ce sont les miennes et je ne suis pas sûr que ce soit bon.

1-On choisit des coordonnées polaires car le mouvement décrit par la fronde est circulaire. Les forces appliquées sont le poids et la tension du fil
Selon Ur : P = -mg sin thêta et T= -T
Selon Uthêta : P = -mg cos thêta et T=0

2- On a V= d(lUr)/dt d'où a= l(thêta point point) U(thêta) - l(thêta point)² Ur

3- En projettant on a
sur Ur : -mg sin thêta -T = -ml(thêta point carré) Ur
sut U thêta : -mg cos thêta = ml(thêta point point)

4- la primitive de xdx est 1/2x²

Le reste je n'ai pas réussi à faire

[invite5e5dd00d]

Fais ce qu'on te demande, multiplie ton équation différentielle issue de la projection sur Uthêta par thêta point.
Ensuite tu peux intégrer sans problème en sachant que
theta point * theta point point = 1/2 * d(thêta point ²)/dt

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite267bac17]

Ce que j'ai fais avant est bon ?

[invite267bac17]

En intégrant, je trouve mgsin(thêta) = (mld(thêta point)²)/dt

Après il faut exprimer T en fonction de thêta. Il faut trouver une analogie de ce que l'on vient de trouver avec l'équation différentielle sur Ur ?

[invite5e5dd00d]

J'ai rien dit huhu.
Ca m'a l'air juste pour le moment.
Tu es sûr d'avoir intégré à droite ?

[invite5e5dd00d]

Je crois que tu as oublié le demi à droite aussi

[invite267bac17]

oui désolé
Je l'ai marqué sur ma feuille mais je l'ai oublié en recopiant

[invite267bac17]

et ensuite on fait comment pour la suite de la question ?

[invite5e5dd00d]

Ensuite faut remplacer ce que tu connais dans l'équation du dessus, et ça devrait se simplifier pour obtenir la réponse demandée.

[invite267bac17]

on peut remplacer mg sin thêta par mld(thêta point²) sur 2dt
et on aurait selon Ur ml SUR 2 *(d(thêta point²) sur dt - (thêta point²))

[invite5e5dd00d]

Il te faut intégrer des deux côtés !
Je récapitule :
-m*g*thêta point*cos(thêta) = m*l*thêta point*thêta point point
<=>
-m*g*thêta point*cos(thêta) = 1/2*m*l*d(theta point²)/dt
en intégrant =>
-m*g*sin(thêta)=1/2*m*l*theta point²

maintenant tu remplaces theta point² dans la première équation, et si tu n'as pas fait d'erreurs de calculs ça devrait rouler.

[invite267bac17]

Je trouve T= 3mg sin thêta

[invite5e5dd00d]

Non j'ai rien dit, mais ce résultat me semble étonant.

[invite5e5dd00d]

J'ai vérifié les équations de base (projetées) et elles semblent justes. Je vérifie la suite.
Ce qui me trouble, c'est que l'on ne prend pas en compte v0 pour le moment... à mon avis elle vient de là l'erreur.

[invite267bac17]

L'énoncé parle de Vo à la question 6

[invite5e5dd00d]

J'ai trouvé l'erreur. Elle vient de la primitive, que l'on a pris à condition initiale nulle, alors qu'au départ thêta point est égal à v0/r.
A toi de corriger... Si t'as un problème demande moi, j'ai fait l'exo.

[invite267bac17]

donc en fait la primitive que l'on doit considérer est 1/2 d(thêta point²)/dt + Vo/l

[invite5e5dd00d]

Je te fais ça proprement et je posterais après.

[invite267bac17]

d'accord merci

[invite5e5dd00d]

Je comprends pas trop le "tant que la position du fil reste positive". Pour moi ça veut rien dire :/
De plus, (theta point)² positif ou nul, c'est toujours vrai (c'est un carré et theat point n'est jamais nul, sinon pas de vitesse angulaire et la fronde ne tourne pas :/).

[invite267bac17]

désolé c'est pas la position du fil qui reste positive mais la tension du fil

[invite5e5dd00d]

Ok j'avance petit à petit. Je suis presque à la fin.

[invite5e5dd00d]

Une fronde est constituée par une masse m reliée à un point fixe O par l'intermédiaire d'un fil de l'ongueur l et de masse négligeable (on note T la tension du fil). Apartir de sa position d'équilibre, on lance une masse m avec une vitesse initiale vo horizontale. On va étudier la nature du mouvement en fonction de v0.

1- Justifier le choix des coordonnées polaires pour étudier ce problème. Faire le bilan des forces et donner leurs expressions en coordonnées polaires.

>>> objet en rotation par rapport à un point fixe
>>> bilan des forces :

sur Ur : -m*g*sin(theta) - T
sur Utheta : -m*g*cos(theta)

2- Exprimer l'accélération, en coordonnées polaires.

sur Ur : -m*l*(theta point)²
sur Utheta : m*l*(theta point point)

3-En projettant sur Ur et Uthêta le principe fondamental de la dynamique, donner les équations différentielles du mouvement valables tant que le fil restE tendu.

sur Ur : -m*g*sin(theta) - T = -m*l*(theta point)²
sur Utheta : -m*g*cos(theta) = m*l*(theta point point)

4- Donner d'une manière générale la primitive de xdx.

primitive de xdx = x²/2 + constante

5-Après avoir multiplié l'équation différentielle ne contenent pas T par thêta point, et en vous servant du résultat de la question précédente, intégrer cette équation. En déduire l'expression de T en fonction de thêta.

-m*g*(theta point)*cos(theta) = m*l*(theta point point)*(theta point)

en sachant que *(theta point point)*(theta point) = 1/2*d(theta point)²/dt

alors :

-m*g*(theta point)*cos(theta) = 1/2*m*l*d(theta point)²/dt

en intégrant entre t=t et t=0 :

-m*g*sin(theta) = 1/2*m*l*(theta point)²-1/2*m*l*d(theta point à t=0)²

or à t=0, v0=(l*theta point0) =>
(theta point0) = v0/l

-m*g*sin(theta) = 1/2*m*l*(theta point)²-1/2*m*l*(v0/l)²
Ceci est la première relation.

En réinjéctant ça et en éliminant les (theta point)² de la deuxième projection on trouve :

T=-3*m*g*sin(theta)+m*v0²/l
Ceci est la deuxième relation

6-Le fil reste tendu tant que la tension du fil reste positive. En déduire une première condition sur v0² pour que le fil reste tendu sur un tour complet.

à partir de la deuxième relation :

T=-3*m*g*sin(theta)+m*v0²/l >0
<=> =-3*m*g*sin(theta)+m*v0²/l >0
<=> v0² > 3*l*g*sin(theta)

7-En exprimant que (thêta point)² doit être positif pour que l'on fasse un tour complet, en déduire une deuxième condition sur v0².

à partir de la première relation :
-m*g*sin(theta) = 1/2*m*l*(theta point)²-1/2*m*l*(v0/l)²
<=> -m*g*sin(theta) + 1/2*m*l*(v0/l)²
= 1/2*m*l*(theta point)² > 0
<=> -m*g*sin(theta) + 1/2*m*l*(v0/l)² > 0
<=> v0² > 2*g*l*sin(theta)

8-Dans le cas où les conditions trouvées en 6 et 7 ne sont pas satisfaites, donner les valeurs maximales de l'angle.

valeur maximale des angles, c'est à dire quand les deux inégalités sont transformées en égalités :

theta = Arcsin(v0²/(3*l*g))
et
theta = Arcsin(v0²/(2*l*g))

9-Il faut trouver la condition qui ne sera pas vérifiée la première. Donner l'expression de la vitesse quand T devient nulle et lorque (thêta point)² devient nul. Discuter. En déduire suivant le valeur de v0² les mouvements de la masse m.

quand T devient nul :
v0=racine(3*l*g*sin(theta))
quand (theta point)² devient nul :
v0=racine(2*l*g*sin(theta))

Je te laisse faire la discussion.

Il se peut qu'il y ait des erreurs (des grosses même), mais ça me parait juste.
Je me corrigerais dans les posts d'après si jamais j'en vois.

[invite267bac17]

Je te remercie beaucoup Sigmar pour l'aide et pour le temps que tu m'as apporter.