Résistance équivalente d'un quadrillage de résistances

[invite972df547]

Bonjour,

J'ai appris la Loi des mailles et la Loi des noeuds en cours, et le professeurs nous a donnés des exercices à faire. Je vous rassure tout de suite, ce n'est pas la réponse à ces exercices que je suis venu chercher dans ce forum. Non, les exercices donnés, je les ai réussis sans trop trop (mais un petit peu quand meme ) de problèmes.

Mais suite à cela, satisfait d'avoir enfin fini, une question m'est venue à l'esprit: Quelle pouvait donc être la résistance équivalente d'un quadrillage de résistances?


comme ça:

avec les lignes en gras contenant toutes la meme résistance R (oui c'est avec excel et oui c'est moche )


Je me suis trituré les méninges, mais sans résultat.
J'ai demandé à des amis de m'aider, et ensemble, nous avons trouvé plusieurs réponses. Néanmoins, nous ne savions pas si les réponses trouvées étaient correctes ou erronées. C'est pourquoi nous avons cherché sur internet la réponse à notre problème, nous disant que ce problème devait sans doute exister... Mais sans succès.

Durant notre recherche, nous sommes tombés sur ce forum et nous sommes dit: "Eh tiens! Ils ont l'air de bien s'y connaître. Et si on leur demandait?"

(oui, tout ce message pour ça...)

Alors, plein d'espoir, nous vous posons la question: Auriez-vous une idée?

(Nous avons trouvé: Requ = R ou Requ = 6R/7 ou Requ = 12R/11 ou Requ = 6R ou Requ = 36R... mais peut-être que ce n'est aucune de ces réponses...)

Merci d'avance pour toute réponse
-----

[pephy]

bonjour
problème classique (un peu longuet à faire quand même vu la taille)
un indice: le circuit présente un axe de symètrie, il y a donc plusieurs points au même potentiel;on peut les relier par des court-circuits ou enlever les résistances qui les joignent sans changer la résistance totale...

[Jean.Marc]

Bonjour,
Le raisonnement est :
pour des raisons de symétrie, tous les noeuds situés sur une verticale sont au même potentiel. Il ne passe donc pas de courant dans aucune résistance verticale. On peut donc les supprimer sans changer le comportement.

[invite972df547]

Tout d'abord, merci pour vos réponses très rapides
On ne s'était pas trompés en posant la question ici, je vois ^^

Si je vous comprends bien, cela équivaudrait donc à


Mais étant donné que pephy a écrit ceci:

un peu longuet à faire quand même vu la taille

Je me dis que c'est peut-être un raisonnement trop simpliste.... Non?

En d'autres termes, est-ce correct?

Merci encore pour votre rapidité et votre pertinence

[A voir en vidéo sur Futura]

[pephy]

pour des raisons de symétrie, tous les noeuds situés sur une verticale sont au même potentiel.

non, pas tous!

[Jean.Marc]

Ah pardon, j'avais compris que les deux verticales extrêmes étaient des fils et non des résistances (j'avais déjà eu un problème avec des fils de part et d'autre, désolé j'ai confondu).

[invite03481543]

Salut,

voici en image comment il faut raisonner.

Il y a plusieurs méthodes pour aboutir rapidemment en travaillant par zones comme le montre le schéma ou en utilisant les principes de superposition ou le théorème de Millman.
Il faut comme il a été dit plus tôt, repérer les symétries de tension qui permettent de "replier" le schéma par équipotentialités.
Il y a aussi les symétries de courants qu'il ne faut pas négliger...

Il est habituellement plus facile de raisonner sur des réseaux infinis.
@+

[Jeanpaul]

Qu'est-ce qui permet de dire que le courant en A se partage en 3 intensités égales ?

[invite03481543]

C'est la loi de Kirchoff:

La somme des courants qui arrivent à un noeuds est égale à la somme des courants qui en partent, comme les résistances sont égales les courants se séparent équitablement.
@+

[Jeanpaul]

Jamais entendu parler d'une telle loi : quand les résistances sont égales, les courants sont égaux.
As-tu des références, STP ?

[invite03481543]

Oui bien sur:

http://www.gel.ulaval.ca/~odin/circuits_10.html

bonne lecture.

[invite972df547]

Tout d'abord, Merci pour toutes vos réponses.

Ayant fait d'autres recherches sur internet avec cette fois-ci "réseaux résistifs" comme mots-clef, je suis tombé sur des pages de cours pour électrotechniciens... J'ai eu bien du mal à comprendre les raisonnements, même si les réponses étaient là... (autrement dit, j'ai bien galéré)

J'ai à peine commencé à apprendre le sujet au lycée (l'age que j'ai indiqué est correct, j'ai juste eu quelques problèmes avec mes études... hum) et il semblerait que je me sois attaqué à quelque chose de beaucoup trop compliqué pour moi...

Donc au risque de paraître défaitiste, je pense que je vais attendre de mieux connaître le sujet, (disons... dans quelques mois) avant de tenter de résoudre ce problème.

Vos réponses n'auront pas été inutiles cependant. Elles m'auront permis de comprendre quelques principes et d'apprendre quelques notions et lois qui me seront assurément utiles pour l'instant où je reprendrai le problème.

Merci beaucoup donc!

et @++!

[Chip]

C'est la loi de Kirchoff: La somme des courants qui arrivent à un noeuds est égale à la somme des courants qui en partent, comme les résistances sont égales les courants se séparent équitablement

Hum... je ne pense pas que la dernière partie soit dans la loi de Kirchoff Par conséquent les intensités indiquées sur ton schéma ne sont pas correctes.

[invite03481543]

Vraiment?

si le réseau est symétrique pourquoi les courants du noeud de départ et donc d'arrivée ne seraient pas équitablement partagés?

De même au noeud central du quadrillage les courants se rejoignent symétriquement permettant de séparer en deux ce noeud (dans le sens de l'axe X) sans rien changer au comportement général.

[invite03481543]

En image c'est plus clair.
@+

[b@z66]

Qu'est-ce qui permet de dire que le courant en A se partage en 3 intensités égales ?

J'ai moi aussi un peu de mal à voir pourquoi ces 3 courants devraient être égaux: pour les deux qui se séparent verticalement, oui, mais pour celui qui part horizontalement suivant x, j'ai un gros doute.

[b@z66]

J'apporte, moi aussi, ma petite contribution au problème. Tous les potentiels sur la verticale en bleu du post #15 de Hulk28 doivent être au même potentiel ((V_A+V_B)/2): puisque qu'en inversant A et B, la situation de cette "verticale" reste la même, c'est que chaque potentiel V_A et V_B y apporte une contribution identique, 50%. On peut même voir cela de manière "imagée" en faisant l'analogie avec les équipotentielles et les lignes de champs de deux charges opposées qui se font face: c'est limpide après ça.

[Chip]

Vraiment? si le réseau est symétrique pourquoi les courants du noeud de départ et donc d'arrivée ne seraient pas équitablement partagés?

Je parlais des intensités que tu as indiquées sur ton premier schéma, c'est à dire I/3, I/6, etc. Le réseau n'a pas de symétrie permettant d'affirmer qu'au premier nœud par exemple (A) les trois intensités sont égales. Pour que cela saute aux yeux on peut prendre un exemple simplifié dans lequel le réseau est constitué uniquement de "deux carrés" de résistances accolés verticalement, avec la branche centrale commune. Tu as exactement les même symétries que le problème actuel, et pourtant on voit qu'il y a trois branches de résistances en parallèle, de résistances R, 3R et 3R, donc bien évidemment pas les mêmes intensités dans chaque branche.

De même au noeud central du quadrillage les courants se rejoignent symétriquement permettant de séparer en deux ce noeud (dans le sens de l'axe X) sans rien changer au comportement général.

Ce schéma est faux lui aussi. Quand on établit une différence de potentiel aux bornes du quadrillage de résistances et qu'on regarde la distribution de courant dans le réseau, les symétries du problème sont :

- symétrie par réflexion par rapport à l'axe horizontal. Cela te permet de replier le réseau en deux et d'étudier le réseau replié (dans lequel il ne faut pas oublier de diviser par deux les résistances qu'on a superposées)

- antisymétrie par réflexion par rapport à la droite verticale passant par le centre du réseau. Cela a pour conséquence que tous les segments contenus sur cette droite sont traversés par un courant nul (et sont au même potentiel), on peut les rassembler en un point. De plus la distribution des courants à gauche de l'axe te donne la distribution à droite de l'axe. On peut donc étudier la moitié gauche du quadrillage; la résistance totale sera le double de celle de la partie de gauche.

[b@z66]

- antisymétrie par réflexion par rapport à la droite verticale passant par le centre du réseau. Cela a pour conséquence que tous les segments contenus sur cette droite sont traversés par un courant nul (et sont au même potentiel), on peut les rassembler en un point. De plus la distribution des courants à gauche de l'axe te donne la distribution à droite de l'axe. On peut donc étudier la moitié gauche du quadrillage; la résistance totale sera le double de celle de la partie de gauche.

En conséquence, si le quadrillage de résistance avait eu un nombre de résistance par coté égal à une puissance de deux, on aurait une méthode itérative qui permettrait de calculer facilement la résistance globale. Par contre avec 6, ça reste compliqué...

[b@z66]

En conséquence, si le quadrillage de résistance avait eu un nombre de résistance par coté égal à une puissance de deux, on aurait une méthode itérative qui permettrait de calculer facilement la résistance globale. Par contre avec 6, ça reste compliqué...

Correction : la méthode itérative consistant à diviser successivement par deux la résistance globale ne marche pas non plus pour un nombre de résistance par coté égal à une puissance de deux. Il faudrait en effet que les cotés verticaux tangent à A et à B soient complètement conducteurs (ou métallisé) pour que cela fonctionne et la question n'aurait alors même plus besoin d'être posée.

[invite03481543]

Pour que cela saute aux yeux on peut prendre un exemple simplifié dans lequel le réseau est constitué uniquement de "deux carrés" de résistances accolés verticalement, avec la branche centrale commune. Tu as exactement les même symétries que le problème actuel, et pourtant on voit qu'il y a trois branches de résistances en parallèle, de résistances R, 3R et 3R, donc bien évidemment pas les mêmes intensités dans chaque branche.

Je ne sais pas si j'ai bien compris ce que tu décris alors je te joins un schéma sur ce que je considère avoir compris ainsi que sur un autre exemple qui pour ma part est totalement équivalent au sujet qui nous anime, seulement pour moi le 1/ n'est absolument pas équivalent au 2/, et pourtant tu raisonnes sur le 1/.
@+

[Chip]

C'est la loi de Kirchoff: La somme des courants qui arrivent à un noeuds est égale à la somme des courants qui en partent, comme les résistances sont égales les courants se séparent équitablement.@+

Je ne sais pas si j'ai bien compris ce que tu décris alors je te joins un schéma sur ce que je considère avoir compris ainsi que sur un autre exemple qui pour ma part est totalement équivalent au sujet qui nous anime, seulement pour moi le 1/ n'est absolument pas équivalent au 2/, et pourtant tu raisonnes sur le 1/.
@+

Tu vois bien sur tes exemples 1/ et 2/ que ton affirmation sur la répartition des courants n'est pas exacte... (par ailleurs 1/ et 2/ présentent bien les même symétries que le problème initial, même s'il n'y a pas de branche verticale centrale dans 1/)

[b@z66]

Tu vois bien sur tes exemples 1/ et 2/ que ton affirmation sur la répartition des courants n'est pas exacte... (par ailleurs 1/ et 2/ présentent bien les même symétries que le problème initial, même s'il n'y a pas de branche verticale centrale dans 1/)

Tout à fait d'accord.

Sinon, pour hulk28, d'accord sur le fait que la résistance équivalente du 2/ soit R.

[invite03481543]

Tu vois bien sur tes exemples 1/ et 2/ que ton affirmation sur la répartition des courants n'est pas exacte... (par ailleurs 1/ et 2/ présentent bien les même symétries que le problème initial, même s'il n'y a pas de branche verticale centrale dans 1/)

Pas d'accord du tout.
La branche verticale fait toute la différence justement.

Dans le cas 1/ il n'y a pas d'antisymétrie.
Dans le cas 2/ oui.

Le résultat R en témoigne.

@+

[b@z66]

Vraiment?

si le réseau est symétrique pourquoi les courants du noeud de départ et donc d'arrivée ne seraient pas équitablement partagés?

De même au noeud central du quadrillage les courants se rejoignent symétriquement permettant de séparer en deux ce noeud (dans le sens de l'axe X) sans rien changer au comportement général.
__________________
HULK

Pas d'accord du tout.
La branche verticale fait toute la différence justement.

Dans le cas 1/ il n'y a pas d'antisymétrie.
Dans le cas 2/ oui.

Le résultat R en témoigne.

@+

Pas d'accord du tout sur ce point. En remplaçant dans la situation 2/ la branche verticale qui sert d'axe d'antisymétrie (et composé de deux résistances de valeur R) par un fil conducteur de résistance nulle on ne modifie aucunement le comportement global car cet axe était déjà au même potentiel. Cela veut dire que l'on peut scinder (comme te l'a montrer Chip) le montage en deux résistances en série d'égale valeur. Il suffit donc d'étudier une seule de ces résistances qui se trouvent être la réunion des branches en parallèles dont on cherche avec Chip à te faire comprendre qu'elle ne sont pas parcourue par le même courant. La branche du milieu a une résistance R et les deux branches qui sont réparties de part et d'autre ont une résistance qui vaut 2R. La branche du milieu sera donc parcourue par un courant du fois plus grand que les branches qui se séparent en haut et en bas du point A. La résistance équivalente est R/2 mais comme il y en a deux en série, on a bien R.

[invite03481543]

antisymétrie par réflexion par rapport à la droite verticale passant par le centre du réseau. Cela a pour conséquence que tous les segments contenus sur cette droite sont traversés par un courant nul (et sont au même potentiel), on peut les rassembler en un point. De plus la distribution des courants à gauche de l'axe te donne la distribution à droite de l'axe. On peut donc étudier la moitié gauche du quadrillage; la résistance totale sera le double de celle de la partie de gauche.

Avant de te répondre dis moi si tu es aussi d'accord avec ça?

[invite03481543]

J'ai le sentiment que vous confondez avec la structure de Wheatstone...
Ici ce n'est pas le cas.

[b@z66]

Avant de te répondre dis moi si tu es aussi d'accord avec ça?

Personnellement je suis d'accord avec la partie qui est en gras. J'ai appris ça au lycée. Lorsque l'on relie deux points qui sont, au préalable, au même potentiel par un fil de résistance quelconque, cela ne perturbe pas le potentiel de ces points et aucun courant ne passe par le fil. Dans le 2/ l'axe d'antisymétrie est au même potentiel que l'on garde ou que l'on enlève les résistances qui se trouvent dessus.

[b@z66]

J'ai le sentiment que vous confondez avec la structure de Wheatstone...
Ici ce n'est pas le cas.

C'est effectivement le même principe que lorsqu'on a aussi cette antisymétrie dans le pont de Wheatstone.

[invite03481543]

C'est la loi de Kirchoff:

La somme des courants qui arrivent à un noeuds est égale à la somme des courants qui en partent, comme les résistances sont égales les courants se séparent équitablement.
@+

Ce que j'affirmais ici était juste dans le cas où toute les branches contenaient la même résistance sauf que dans le cas qui nous préoccupe les résistances d'angle (R+R) invalide cette affirmation.

méa culpa donc au moins pour ce point.