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Etude thermique d'une paroi en régime harmonique

  1. #1
    Rodrigue

    Etude thermique d'une paroi en régime harmonique

    Bonjour,

    Soit une paroi homogène infinie d'épaisseur constituée d'un matériau de masse volumique , ayant un coefficient de diffusion et une chaleur massique .

    La paroi est soumise sur son côté gauche (en x=0) a une température:


    Comment va évoluer la température sur le côté droit (en x=e) de la paroi?

    Je m'attends à ce qu'elle ait la forme:

    avec un facteur d'amortissement
    et un déphasage

    Un très grand merci!

    Equation de la chaleur (monodimensionnelle):


    -----


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  3. #2
    obi76

    Re : Etude thermique d'une paroi en régime harmonique

    C'est une equation diff du 2° ordre, donc il faut 2 conditions limites.
    On a la première (variation de température de la première paroi), la seconde equation devrai être le coefficient de convection de la seconde paroi.
    La première condition limite nous donnera la température effectivement, la seconde le gradient de température, ce qui nous permettra de déterminer les 2 inconnues de la résolution.

    D'où ma question : l'équation n'étant pas soluble sans le coefficient de convection, le connais-tu ?

  4. #3
    obi76

    Re : Etude thermique d'une paroi en régime harmonique

    Si ça peut t'aider c'est en

  5. #4
    obi76

    Re : Etude thermique d'une paroi en régime harmonique

    Trouvé :

    - conductivité du béton l = 1,1 W.m-1.K-1,
    - résistance thermique superficielle interne : 1/hi = ri = 0,11 m2.K.W-1,
    - résistance thermique superficielle externe : 1/he = re = 0,06 m2.K.W-1

    le coeff de convection est de
    Dernière modification par obi76 ; 17/08/2007 à 16h39.

  6. #5
    Rodrigue

    Re : Etude thermique d'une paroi en régime harmonique

    Ah zut! Pourtant, je viens de solutionner l'équation mdr ... J'ai encore certainement dû laisser qqchose. Je vais scanner ça de suite et je t'envoie mon calcul (les résultats ont l'air correct; p-e ai-je laissé tomber une partie de la solution)...

  7. #6
    Rodrigue

    Re : Etude thermique d'une paroi en régime harmonique





    Dites-moi ce que vous en pensez!

  8. #7
    obi76

    Re : Etude thermique d'une paroi en régime harmonique

    Ha ok, non c'est que dans ton hypothèse de départ tu considère une forme de T(x,t) dont tu dis volontairement (à tort ou a raison je ne sais pas) que les 2 inconnues sont nulles (à priori c'est ça puisqu'elles n'apparaissent pas).

  9. #8
    Rodrigue

    Re : Etude thermique d'une paroi en régime harmonique

    Oui voilà par contre ce qui me turlupinne un peu c'est que je n'obtiens pas les mêmes valeurs que pour la méthode de Camia:
    http://archi.climatic.free.fr/01questce.html

  10. #9
    Rodrigue

    Re : Etude thermique d'une paroi en régime harmonique

    En remplaçant par , on retombe à peu de chose près sur les mêmes formules...
    En ce qui concerne, le déphasage j'ai:



    1,772 serait alors égal à ? est alors égale 1 kg/m³...

    et pour le gain (je n'arrive pas bien à lire la formule sur le site):


    Je ne vois pas alors d'où peut venir ce coefficient 2! Sinon je tombe pile sur la même formule

    Note: il manque une racine pour mon coefficient alpha dans mes notes scannées. De plus, il ne faut pas de signe pour mon coefficient de déphasage...

  11. #10
    Rodrigue

    Re : Etude thermique d'une paroi en régime harmonique

    A ton avis pour du multicouche ? Il me suffit d'appliquer successivement la formule ?

  12. #11
    obi76

    Re : Etude thermique d'une paroi en régime harmonique

    pour du multicouche je ne pense pas pour une raison simple, ici tu imposes la température, alors que si tu remet du béton à coté la condition limite (je deviens chiant avec mes conditions limites mais bon en simulation j'en ai besoin) ne seront plus les mêmes.
    Tu n'impose pas la température de l'autre coté de ton mur, si tu met un autre mur tu imposerra le gradient le température.
    la seconde formule à appliquer sera donc une formule te donnant le gradient de température à la sortie en fonction du gradient de température à l'entrée (condition de Dirichlet au lieu de Neumann).
    Dernière modification par obi76 ; 18/08/2007 à 00h24.

  13. #12
    Rodrigue

    Re : Etude thermique d'une paroi en régime harmonique

    Citation Envoyé par obi76 Voir le message
    pour du multicouche je ne pense pas pour une raison simple, ici tu imposes la température
    Je ne crois pas! J'impose la température:


    la fonction f(x) "module" la température ...

    D'aileurs, dans ma solution la valeur de celle-ci est égale à:

    elle est multipliée par un facteur d'amortissement...

    Tu n'impose pas la température de l'autre coté de ton mur, si tu met un autre mur tu imposerra le gradient le température.
    la seconde formule à appliquer sera donc une formule te donnant le gradient de température à la sortie en fonction du gradient de température à l'entrée (condition de Dirichlet au lieu de Neumann).
    Désolé je ne comprends pas

  14. #13
    obi76

    Re : Etude thermique d'une paroi en régime harmonique

    Pour résoudre ton problème tu es parti de si je me rappelle bien.
    Ta température à la première paroi est donc imposée, de là tu en déduis f(x) etc.
    La fonction que tu trouve, c'est donc la température que tu obtiens à T(e,t) (enfin c'est la fonction de transfert à travers le bloc).
    or, cette fonction de transfert n'est pas la même selon que la condition limite en T(0,t) soit une température imposée ou un gradient imposé (en quel cas c'est le taux de convection qui joue).

    Si tu colle un second bloc sur le premier, la TEMPERATURE que tu aura déduite à la sortie du premier bloc (T(e,t)) ne SERA PAS la température du second bloc à l'entrée, cette température te permettra de déduire la puissance mise en jeu en fonction de la température à la sortie du premier bloc et de l'entrée du deuxième, ce qui n'a rien à voir du point de vue résolution !
    C'est un peu comme si dans la résolution que tu as faite, au lieu de dire "T(0,t) c'est ça" tu disais "la température de l'air à la surface du bloc est T(t)". Et là ça change tout car la résolution de ton équation devra tenir compte de la puissance émise (ou absorbée) par le bloc, ce qui n'était pas le cas précédemment.

    Je me demande si en utilisant les résistances thermiques ce ne serai pas beaucoup plus simple par contre.
    Tu as le flux a travers le bloc :
    Deux bloc contigus = 2 résistances en série, donc tu peux directement déduire la température après les 2 blocs.
    Si c'est l'astuce que tu cherchais, regarde les résistances thermiques c'est plus pratique (et c'est magique ) http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9sistance_thermique

  15. #14
    obi76

    Re : Etude thermique d'une paroi en régime harmonique

    Quelques liens :

    http://mrw.wallonie.be/energieplus/C...ochalparoi.htm
    http://www.iut-lannion.fr/LEMEN/Mpdo...er/thcincd.htm

    Le deuxième contient toute la théorie de la résistance thermique (enfin toute... ce qui est amplement suffisant lol)

  16. #15
    Gilgamesh

    Re : Etude thermique d'une paroi en régime harmonique

    Dans un fil voisin, je me pose la question pour un pb un peu similaire :

    http://forums.futura-sciences.com/thread161334.html


    Entre deux parois de bois (0,75 m) j'ai un flux d'eau (épaisseur 1,5 m) assez lent qui circule a débit constant et vitesse décroissante.

    La durée de parcours de la parois (0 --> R) est longue, de l'ordre du mois.

    J'ai à la fois un flux "série" : sandwich bois - eau - bois et un flux "parallèle" car l'eau en circulant emporte les calories reçue plus bas...

    J'aimerais avoir des conseil sur la stratégie de résolution. Comment vous vous y prendriez ?


    merci

    a+
    Parcours Etranges

  17. #16
    obi76

    Re : Etude thermique d'une paroi en régime harmonique

    Dans ce cas c'est (encore) plus complexe vu que tu fais intervenir des transfert thermiques par rayonnement etc.

    Bref, déjà si le débit d'eau est si faible, on peut le considérer comme négligeables face aux temps caractéristiques du transfert de chaleur.
    De plus, tu ne travaille qu'avec des coefficients de convection.
    Il te faudrai connaître le coefficient de convection vapeur / plaque et plaque / eau.
    Pour la seconde plaque (en "contact" avec le vide) on utilisera la stationnarité du système.

    En gros tu voudrai connaître le flux transmit par ton système.
    pour cela utilise de même les résistances thermiques
    (plaque 2 au contact avec l'eau)
    Le coefficient 2 c'est parce que tu as 2 interfaces plaque / eau.
    cela te donnera 2 inconnues : le flux (en W) reçu par la seconde plaque et la température de la seconde plaque en contact avec l'eau.
    Ensuite, en admettant ton système comme stationnaire, la puissance reçue et la puissance rayonnée par la seconde plaque est la même.
    Ton équation d'émission par IR en fonction de la température de la plaque en contact avec le vide et l'équation que je t'ai donnée avant te permettront de connaître les 2 inconnues (dans le cas d'une stationnarité j'insiste sinon ce n'est plus valable et beaucoup plus complexe), càd la température de la plaque 2 au contact avec le vide et sa température entre la plaque et l'eau (ce qui te permettra de déduire toutes les autres températures, le flux reste égal dans tout ton système, pas d'accumulation de chaleur).
    En fait le but c'est "juste" de connaître la température en surface de la plaque 2 qui permette d'avoir un état stationnaire, cela te donnera la puissance (en ) évacuable par cette plaque et donc la puissance évacuée de la vapeur.

  18. #17
    obi76

    Re : Etude thermique d'une paroi en régime harmonique

    Précision : si tu veux prendre en compte l'évacuation des calories par l'eau, tu considère ça comme une perte.
    Si tu considère le nombre de Nusselt suffisamment grand dans ce système, tu peux considérer que la distribution de température de l'eau qui sort est linéaire en fonction de la distance.
    Dans ton flux total, entre les 2 plaques (donc dans l'eau) tu introduit un terme de perte de chaleur : (pour simplifier).
    T(x) est linéaire :
    on obtient la perte de chaleur : ,
    - avec L l'épaisseur du canal d'eau
    - la température de l'eau au niveau de l'interface eau/plaque 1
    - idem avec la 2° plaque

  19. #18
    Gilgamesh

    Re : Etude thermique d'une paroi en régime harmonique

    Merci obi. Ça m'aide beaucoup. Mais je peine encore à me représenter ce que je dois faire :

    * est ce que je considère un intervalle infinitésimale dr, j'exprime la la relation très proprement sans rien négliger puis j'intègre (risque : une expression assez horrible et l'impasse)

    ou :

    * est ce que je peux espérer directement obtenir une expression analytique du flux total par convection - conduction - rayonnement sur toute la hauteur de circulation alors que la température de chacun des compartiment (sauf l'intérieur et l'extérieur) va d'un maxima et d'un minima de bas en haut (risque : je vais dans les choux)

    ou encore :

    * est ce que je découpe intelligement ma hauteur R en segments en fonction
    -des nombres caractéristiques concernant la convection, sachant que la gravité augmente de r = 0 (g très petit) à R (g = 9,81 m/s²)
    - de l'intertie thermique des différents compartiment bois - eau -bois en fonction de la vitesse d'écoulement avec la encore la solution d'une solution en dr + intégration ou une expression analytique globale.



    Je précise que ce que je recherche ce ne sont que les BONS ordres de grandeur. Pas une expression exacte, que je laisse aux ingénieurs archonautes .

    En gros, l'enjeu c'est de savoir si :

    * j'ai assez de surface pour évacuer mes 90 GW thermiques, de sorte qu'ils retournent à l'échangeur He-H2O avec une température assez basse pour permettre un bon rendement de production d'électricité.

    * sur le trajet, l'eau ne risque pas de geler dans les tubes, bloquant l'écoulement, et le trajet comporte ce qu'on viens de voir suivis d'un un trajet à l'horizontal sur la longueur de l'Arche (10 km) puis le trajet retour vers le moyeu, de bas en haut (encore 10 km) soit en tout 30 km.

    * je peux condenser toute l'eau interparoi pour permettre un système de précipitation naturelle dans mon arche.

    Ma variable d'ajustement clé, c'est la vitesse du fluide que je contrôle au moyeu, sachant que j'aimerais la rendre la plus faible possible pour limiter les pertes de charges, mais ça c'est pas trop grave. Par contre, si ça rend le flux turbulent, ça change pas mal les calculs...

    La grosse question en fait concerne les longueurs caractéristiques qui rentrent en jeu pour Grashof donc pour Pr et Nu... Si c'est l'épaisseur du canal, c'est e=1,5 m. Mais si c'est la hauteur de circulation c'est R = 10 km ! Ca change les ordres de grandeur.

    Or le trajet du fluide suit une chainette (en gravité croissante, mais on va arrêter les frais : une chainette)... Typiquement le trajet batard, vertical au départ, horizontal à la fin. J'ai simplifié sur le schéma, mais si la convection est le mode principal de transfert, la géométrie a son mot à dire... Au sein du canal d'eau la convection pour moi s'exprime selon la hauteur verticale au sein du canal qui est en sinus quelque chose et qui varie sur le trajet. De même pour le trajet convectif de l'atmosphère raréfiée saturée de l'interparoi.


    Il y a pas mal de stratégies, j'aimerais trouver la plus fiable tout en restant disons, élégants donc concis dans les calculs...

    Comme c'est complexe, je me suis dis : posons très proprement le problème puis simplifions. Mais peut être aussi que je découpe les cheveux en quatre alors que les ordre de grandeurs sont simples à obtenir. Qu'en penses-tu ?

    a+
    Parcours Etranges

  20. #19
    obi76

    Re : Etude thermique d'une paroi en régime harmonique

    Les nombres de Grashof, Nusselt etc ne sont pas à prendre en compte ici, sinon c'est pour faire une simulation sur pc (la théorie utilisée parces nombre est beaucoup trop complexe pour espérer avoir une solution analytique ici).

    Je pense qu'il est possible de faire directement le calcul du flux sur la surface, tu prend ton flux, il reste constant jusqu'à l'eau, ou tu enlève la valeur que je t'ai filée au dessus, et il reste constant après ou il s'évacue par IR.

    Je te dis tout de suite en ordre de grandeur, 10GW en diffusion par IR ça me parait énorme (quoi que la surface est grande aussi...).

  21. #20
    obi76

    Re : Etude thermique d'une paroi en régime harmonique

    Les nombres adimensionnels c'est pour donner un ordre de grandeur oui mais disons qu'ils font intervenir des termes qui à mon avis sont à négliger dans ce cas (viscosité de l'eau etc).
    Je pense que tu peux largement faire sans.

  22. #21
    obi76

    Re : Etude thermique d'une paroi en régime harmonique

    Citation Envoyé par Gilgamesh Voir le message
    Je précise que ce que je recherche ce ne sont que les BONS ordres de grandeur. Pas une expression exacte, que je laisse aux ingénieurs archonautes .
    Nul besoin d'être ingénieur

    Citation Envoyé par Gilgamesh Voir le message
    En gros, l'enjeu c'est de savoir si :

    * j'ai assez de surface pour évacuer mes 90 GW thermiques, de sorte qu'ils retournent à l'échangeur He-H2O avec une température assez basse pour permettre un bon rendement de production d'électricité.
    Je t'ai dis que ça me parait beaucoup...

    Citation Envoyé par Gilgamesh Voir le message
    * sur le trajet, l'eau ne risque pas de geler dans les tubes, bloquant l'écoulement, et le trajet comporte ce qu'on viens de voir suivis d'un un trajet à l'horizontal sur la longueur de l'Arche (10 km) puis le trajet retour vers le moyeu, de bas en haut (encore 10 km) soit en tout 30 km.
    Ca quand le système sera résolu tu l'aura la température ^^

  23. #22
    Rodrigue

    Re : Etude thermique d'une paroi en régime harmonique

    Bon je laisse tomber cette solution alors (trop pauvre).

    Pour ceux que ça intéresse, j'avais quand même trouvé dans les techniques de l'ingénieur la notion de quadripôles thermiques...
    dans un autre article, il était question de prendre la transformée de Laplace de l'équation de la chaleur (en fct du temps). De là, l'auteur obtenait des matrices de transfert qui permettaient de relier "linéairement" (éléments de la matrice: somme de cosinus et de sinus hyperboliques tout de même) le flux et la température des deux côtés de la paroi. L'assemblage de paroi multicouche revenait alors à multiplier les matrices entre-elles. On obtenait dès lors une belle expresion à inverser (transformée de Laplace inverse). Ceci étant presque impossible sauf pour quelques cas particuliers, il fallait réaliser cette opération numériquement.

    C'est pourquoi, au final, je vais me "contenter" de résoudre le problème numériquement. Je vais discrétiser l'équation de la chaleur par la méthode des différences finies.

    Voilà! La suite de mon problème dans un autre post ...

  24. #23
    obi76

    Re : Etude thermique d'une paroi en régime harmonique

    comme tu veux mais de manière analytique je crois que c'était possible, je me penche dessus bientôt...

  25. #24
    Rodrigue

    Re : Etude thermique d'une paroi en régime harmonique


  26. #25
    Rodrigue

    Re : Etude thermique d'une paroi en régime harmonique

    Si tu sais me montrer comment obtenir la formule pour une paroi multicouche, je suis preneur .
    C'est parce que je me trouve dans une "impasse" que je change direction

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