Oscillations ressort equation differentielle

ti_ouf · 30/11/2007 - 08h50

bonjour,
j'ai ceci à faire en tp :

Déjà dans la question, pour calculer x(t), comment faire, faut t'il passer par l'equation différentielle, et trouver ces solutions ? ou alors à partir du pfd, intégrer jusqu'a tomber sur x(t) ????

je suis un peu perdu là !
merci

**Deedee81** · 30/11/2007 - 09h06

Envoyé par ti_ouf

Déjà dans la question, pour calculer x(t), comment faire, faut t'il passer par l'equation différentielle, et trouver ces solutions ? ou alors à partir du pfd, intégrer jusqu'a tomber sur x(t) ????

Bonjour,

Heu, c'est quoi le pfd ?
Principe fondamental de la dynamique ?
Oui si tu veux aboutir.... à l'équation différentielle

Sinon, je dirais, oui, pars de l'équation différentielle.
Tu l'avais donné dans l'autre fil :

Envoyé par ti_ouf

x'' + 2w0x = 0
ensuite comme résoudre cette equation dif de second ordre ?

Essaie avec une solution sinusoïdale simple sin(ax-bt).
C'est le genre de solution typique d'une équation du second ordre (enfin, pas toujours, mais là, vérifie, ça va marcher).
Indice : pour savoir ce genre de chose : pour que l'équation s'annule, il faut une fonction dont deux fois la dérivée redonne le même mais avec un changement de signe, réponse : les fonctions trigonométriques

Puis ajoute une amplitude et une phase.
Tu auras ta solution générale.

ti_ouf · 30/11/2007 - 09h53

en fait voilà sur quoi je suis partis :
le descriminant est > 0
donc 2 solutions de la forme
sqrt[(-b/2a) + sqrt(delta) / 4a^2] = r(t)
sqrt[(-b^2) + sqrt(delta) / 4a^2] = -r(t)

ce qui donne :
B*exp[(-k/m)*t] * exp[(k/m)*t] = A
A**exp[(-k/m)*t] * exp[(-k/m)*t] = B*exp[(-2k/m)*t]

x(t) = A*exp[(-2k/m)*t] + B
w0^2 = k/m
x(t) = A*exp[(-w0^2)*t] + B

pour t= 0 x = Xmax = Xm ; v =0
x(0) = Xm = A + B (a)
=> v = x' =(-2k/m) * A*exp[(-2k/m)*t] + B = 0
=> (-2k/m) * A + B = 0 (b)
=> B = 2*wo^2 * A
A = Xm - B (a)
=> B = 2*wo^2 * (Xm - B)
=> B = (2*w0^2 * Xm) / (1 + 2*w0^2)
A = Xm / (1 + 2*w0^2)

x(t) = Xm) / (1 + 2*w0^2) * [ exp[(-*w0^2)*t] + 2w0^2]

ais je juste ?

par contre par rapport a la forme qui devrait être cos(w0*t), je vois pas comment en arriver là ...

**Deedee81** · 30/11/2007 - 10h12

Envoyé par ti_ouf

x(t) = Xm) / (1 + 2*w0^2) * [ exp[(-*w0^2)*t] + 2w0^2]
ais je juste ?
par contre par rapport a la forme qui devrait être cos(w0*t), je vois pas comment en arriver là ...

Oulà, tu as appliqué la méthode brute. C'est un peu loin dans ma mémoire tout ça (il y a plus de vingt ans) et je suis un peu fainéant pour vérifier les calculs.

Mais, en effet, il y a un problème.
Tout d'abord le résultat n'est pas homogène : $1+2{w_0}^2$ ??? et ${w_0}^2 t$ ???

Et même pire, dans ton équation de base x"+w0x=0, puisque x" est en $s^{-2}$ , alors w0 aussi (c'est un carré de pulsation).
(l'équation "classique" est du style $x"+\omega^2x=0$ )
Donc, ${w_0}^2 t$ est en $s^{-3}$

Et on doit avoir un 'i' dans l'exponentielle (et la partie réelle donne alors cosinus).

Et il manque les constante d'intégration.

Sinon l'idée de base est bonne. Mais je te conseille de revérifier step by step tes calculs, voire de poser la question sur la résolution de l'équation différentielle (et tes calculs) dans le forum de math.
(vérifie aussi step by step la déduction de l'équation différentielle pour être sur que la valeur de w0 par rapport aux raideurs et longueurs au repos est correcte et donne bien le carré d'une pulsation; cette absence de carré dans l'équation différentielle m'inquiète).

Bon courrage,

ti_ouf · 30/11/2007 - 10h19

j'ai bien un carré en fait, peut être aps très visible en écriture standard :
w0^2 =
${w_0}^2 t$

ti_ouf · 30/11/2007 - 10h21

j'ai bien un carré en fait, peut être aps très visible en écriture standard :
w0^2 =w0²

bon j'essaie de tout remettre en ordre :

x(t) = Xm) / (1 + 2*w0²) * e^{(-*w0^2)*t} + 2w0²)

**Deedee81** · 30/11/2007 - 10h35

Envoyé par ti_ouf

j'ai bien un carré en fait, peut être aps très visible en écriture standard :
w0^2 =w0²

bon j'essaie de tout remettre en ordre :

x(t) = Xm) / (1 + 2*w0²) * e^{(-*w0^2)*t} + 2w0²)

Mais non, relis moi.
Le carré devrait être dans l'équation différentielle et pas dans la solution !!!!!
ou si tu n'as pas le carré dans l'équation initiale (c'est-à-dire si w0 n'est pas une pulsation mais le carré d'une pulsation) alors tu devrais avoir une racine carrée dans la solution.

Il y a vraiment un blème (en plus de l'absence de l'unité imaginaire).

Je te conseille vraiment de tout revérifier pas à pas, il n'y a plus que ça à faire (et, éventuellement, interroger le forum math sur la méthode générale de résolution d'une équa dif du second ordre).

ti_ouf · 30/11/2007 - 10h43

x(t) = Xm / (1 + 2*w²) * e(-*w²)*t + 2ww²)

Mon equation différentielle est de la forme :
x² + b = 0

j'arrive pas à partir de cette equation diff, arriver a la solution de type :
x(t) = Xmax * cos(w*t + phi)

callipsycho · 30/11/2007 - 12h57

Salut ti_ouf

Voici la méthode générale pour résoudre une équation différentielle du second ordre du type ax''(t)+bx'(t)+cx(t)=0
la solution sera forcemment du type exp(lt) donc tu poses x(t) = exp(lt)
Ensuite tu dérives une puis deux fois cette solution et tu remplaces dans ton équation initiale; tu obtiens : al²+bl+c=0
tu résouds en l et tu obtiens l1= -b+sqrt(b²-4ac)/2a
l2= -b-sqrt(b²-4ac)/2a
en sachant que si ton discriminant delta est négatif, tu le transformes en i²*(-delta) car i²=-1, ainsi quand tu prends la racine tu te retrouves avec i*sqrt(-delta) avec (-delta) > 0
La solution finale est une superposition de tes deux solutions : x(t)= Aexp(l1t)+ Bexp(l2t)
A et B étant des constantes à déterminer grace aux conditions initiales.

Voilà, tu n'as plus qu'à appliquer cette méthode à ton équation !

Une dernière petite info pour la route : sin(t)= (exp(it)-exp(-it))/2i
et cos(t)= (exp(it)+exp(-it))/2

Avec tout ca tu devrais pouvoir t'en sortir !
Salut
ps : vérifie ton équa-diff, j'ai l'impression qu'il ya un problème...

ti_ouf · 01/12/2007 - 09h41

bonjour et merci de cette aide !

en fait mone quation diff est : X'' + 2 K/m X = 0
c'est donc de la forme : axf''(t) + cx(t) = 0
et donc ax² + c = 0
non ?

j'ai un delta <0 forcement puisque bx'(t) est nulle ...

callipsycho · 06/12/2007 - 10h48

Effectivement, ton delta est négatif, et tu te retrouves avec la solution générale :
X(t) = Aexp(iwsqrt(2))+ Bexp(-iwsqrt(2))
Avec w= sqrt(k/m)
Ensuite tu développes tes exponentielles en sinus et cosinus et tu dois te retrouver avec :
(A+B)cos(wsqrt(2)) + i(A-B)sin(wsqrt(2))
Tu n'auras plus qu'à déterminer A et B avec tes conditions initiales (et j'espère que pour toi que A-B=0, sinon tu te retrouves avec un X imaginaire !)
Voilà, bon courage

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"la meccanica è il paradiso delle scienze matematiche perché con quella si viene al frutto matematico" Leonardo da Vinci