Calcul d'un moment d'inertie J

[invitef1754d56]

Bonjour, voila j'ai un problème pour un calcul d'un moment d'inertie. C'est celui d'un cercle (ou anneau, ou cerceau) de rayon R, homogene, de masse m MAIS DONT L'AXE DE ROTATION CONTIENT UN DIAMETRE (Uz : axe de rotation est dans le plan du cercle donc).
Un livre me di que J=1/2*m*R² mais je n'arrive pas a retrouver ce résultat.

J=Integrale de r²*dm et ici pour moi je peux ecrire dm=mu*dl mais le repere cylindrique fait a partir de Uz fait que je ne sais pas comment exprimer dl. Et la chose quej e pense faire c'est integrer apres avoir tout remplacer selon z car jai r²=R²-z² et z varie de -R à R.

Merci de me dire comment on retrouve le resultat.
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[GillesH38a]

je pense que c'est plus simple de tout exprimer en fonction de , l'angle entre l'axe de rotation et le rayon OM : dl et r s'expriment simplement en fonction de cet angle....

[Jeanpaul]

On peut aussi faire dans l'astuce. L'intégrale que tu cherches c'est la somme des x² dm.
Par symétrie on voit que l'intégrale des z² dm donnerait la même chose.
Donc l'intégrale des x² dm est la moitié de l'intégrale de (x² + z²) dm qui vaut à l'évidence M R².
D'où le résultat.

[invitef1754d56]

Oui mais alors j'ai theta=arctan(r/z) et apres jai dl=Rdtheta qui va pas être super jolie non ?

Merci Jean Paul ! Mais j'aimerais également réussir le calcul bete et mechant.

[A voir en vidéo sur Futura]

[GillesH38a]

tu n'as absolument pas besoin d'utiliser z, tu as effectivement et tu as juste besoin aussi de r en fonction de et de R, c'est pas dur non plus, et ton intégrale ne s'exprime qu'en fonction de