vibrations amorties

[invite6f044255]

Bonjour a tous.

Je travaille depuis plusieurs semaines sur un projet de cordes (de guitare) que l'on pince et dont on etudie les vibrations (la decroissance exponentielle des oscillations en particulier).

Pour modeliser l'experience, j'utilise l'equation


ou gamma est le coefficient d'amortissement. (je sais pas ce que c'est que ce "<br/>", je n'arrive pas a l'enlever )

Le but est de determiner les variations en frequence de l'amortissement: c'est-a-dire de determiner comment les differentes harmoniques du signal decroissent avec le temps. On sait que c'est une decroissance exponentielle, mais je cherche a determiner le temps caracteristique de decroissance.

Mais les resultats que je trouve pour le moment en faisant l'hypothese (avec k complexe) ne me donne pas de resultats satisfaisants...

Alors si quelqu'un a deja travaille la-dessus ou connait les resultats, son avis est le bienvenu!!
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[zoup1]

ou gamma est le coefficient d'amortissement. (je sais pas ce que c'est que ce "<br/>", je n'arrive pas a l'enlever )

C'est juste un passage à la ligne dans le texte latex... si tu l'enlève tout va bien...

Le but est de determiner les variations en frequence de l'amortissement: c'est-a-dire de determiner comment les differentes harmoniques du signal decroissent avec le temps. On sait que c'est une decroissance exponentielle, mais je cherche a determiner le temps caracteristique de decroissance.

Mais les resultats que je trouve pour le moment en faisant l'hypothese (avec k complexe) ne me donne pas de resultats satisfaisants...

Alors si quelqu'un a deja travaille la-dessus ou connait les resultats, son avis est le bienvenu!!

Ce n'est pas que tu dois prendre complexe mais ... la partie réélle de te donnera la fréquence pour un mode à donnée et la partie imaginaire te donnera le taux de décroissance.


Si tu préfère tu peux l'écrire sous cette forme équivalente :
où et sont réels.

[invite6f044255]

Merci beaucoup.

Helas, j'avais deja essaye et ca ne marche pas, on trouve apres substitution dans l'equa diff, que
et donc il n'y a pas de dependance de sigma en frequence, ce qui est contraire a ce que je devrais trouve en theorie et a ce que je trouve effectivement:

pour la fondamentale, je trouve sigma=0.4, pour le mode n=3, sigma=0.8 et pour n=5, sigma=1.2.

Ce qui semblerait etre lineaire, mais....pas sur!!

Il y a un argument en faveur du fait que k soit complexe: lorsque l'on pince la corde (et qu'on la lache) on cree une "travelling wave" qui se propage le long de la corde et qui est elle-meme amortie spatialement. D'ou le fait que k soit complexe. L'amortissement temporel vient de la vitesse de l'onde: si en un point, on regarde une onde amortie spatialement qui passe, on voit un amortissement temporel.....

Mon probleme est que lorsque je prends k complexe, et que je fais l'hypothese d'un amortissement faible (ma corde vibre plusieurs secondes), je trouve toujours un amortissement ne dependant pas de la frequence...arf!!

Merci pour ton aide quand meme Zoup1!!

[zoup1]

Je suis d'accord avec toi, l'amortissement est indépendant du nombre d'onde et donc de la fréquence. Ce n'est pas très étonnant avec une relation linéaire.

Par ailleurs, si on calcule un ordre de grandeur du Reynolds sur une corde de guitare on trouve quelquechose qui est de l'ordre de 200. Ce qui signifie que l'on est plutot dans un régime où la dissipation est proportionnelle au carré de la vitesse... auquel cas il n'est pas si simple de calculer un temps d'amortissement...

Les mesures dont tu parles, c'est quoi ? Tu fais vibrer une corde, tu enregistre son déplacement par une méthode quelconque (laquelle) et tu suis l'évolution temporelle des pics du spectre de puissance du signal ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6f044255]

Salut Zoup1,

desole, je ne sais pas ce qu'est un Reynolds... , mais si tu as le temps de me renseigner, ca m'interesse!!

Pour mes mesures, c'est ce que tu as dit, je mesure le deplacement vertical de la corde que j'ai pince, et j'enregistre une dizaine de secondes: j'ai un signal qui decroit exponentiellement (j'utilise un "sonometre", j'ai un detecteur que je peux placer ou je veux le long de la corde qui enregistre le deplacement et qui le transfere a un ordinateur). Je calcule la constante d'amortissement global. Ensuite je fais la transformee de Fourier de ce signal, je selectionne une a une les lorentziennes des cinq premiers pics (en faisant bien attention a selectionner au final tout le signal) et je fais la transformee inverse de facon a obtenir le deplacement du a chaque harmonique.

J'ai beacoup planche depuis hier et je me rends compte que la seule solution pour que mes resultats soient corrects est que mon coefficient gamma dans l'equa diff varie avec la frequence, mais j'ai un peu de mal a me convaincre si c'est physique ou pas....ca me perturbe un peu d'avoir en quelque sorte plusieurs equa diff pour un seul systeme....Ca te semble normal, toi, un gamma dependant de la frequence?

Sinon, j'ai lu dans la "litterature" a ce sujet que l'amortissement devait bien avoir des effets differents sur chaque harmonique mais sans les calculs malheureusement....

Voila, quelques pistes, mais pas beaucoup de resultats complets

Merci encore pour ton aide.

[Chip]

Juste une remarque : pour l'amortissement il est très important de ne pas se limiter au mouvement de la corde et à son interaction avec l'air... les mouvements de la corde transmettent des vibrations à la table d'harmonie (et au manche) par le chevalet (et le sillet de tête). C'est là qu'une grande partie de l'amortissement va avoir lieu. Une corde tendue entre deux blocs massifs vibre beaucoup plus longtemps que lorsque la même corde, avec la même tension, est montée sur une guitare.

[zoup1]

Salut Zoup1,

desole, je ne sais pas ce qu'est un Reynolds... , mais si tu as le temps de me renseigner, ca m'interesse!!

Le reynolds est un nombre sans dimension qui caractérise l'importance relative des effets inertiels et des effets visqueux dans un écoulement. En gros lorsque le nombre de Reynolds est grand les effets inertiels dominent et on peut négliger les effets visqueux. Les forces de trainées (dissipation) ne dépendent alors pas de la viscosité mais uniquement de la masse volumique du fluide environnant... on trouve que c'est proportionnel à la vitesse au carré.


Je viens de trouver ce lien http://www.laguitarefingerstyle.com/...cheGuitare.htm qui est peut-être celui dont tu parles dans le message... Cela m'a l'air pas mal et va peut-être permettre de donner des pistes.

Il semble bien que cet amortissement soit aussi à relier au couplage entre la corde et la caisse de resonnance de la guitare.

Ca te semble normal, toi, un gamma dependant de la frequence?

Le fait que l'on soit amener à introduire un coefficient de dissipation qui dépend de la fréquence ne me gêne pas plus que ça, dans la mesure ou la modélisation de ce coefficient semble loin d'être triviale. Il ne me semble cependant pas évident qu'il faille modéliser l'amortissement de cette façon là. En effet, l'introduction de ce terme de dissipation dans l'équation a pour effet de modifier la relation de dispersion ce qui n'est pas nécessairement une bonne idée.

Par ailleurs, j'ai lu un peu trop rapidement (dans le Berkeley d'onde) que la relation de dispersion pour une corde de piano réelle ne correspondait pas vraiment à l'équation d'onde que tu as utiliser. Il n'est pas forcément idiot de chercher également dans cette voie là.

[invite6f044255]

Salut,

etant donne que mon rapport doit etre fini Lundi, je ne peux pas me permettre de partir dans trop de directions differentes et trop complexes. D'autant plus que le responsable de l'experience m'a dit d'utiliser la formule du premier post....bref.

Il se trouve quand meme que lorsque je trace les coefficients d'amortissement gamma en fonction de la frequence des harmoniques (pour des pincements a differents endroits) je trouve une droite. On aurait donc une dependance lineaire du coeff d'amortissement en frequence.

Merci a tous deux.

[Chip]

J'ai beacoup planche depuis hier et je me rends compte que la seule solution pour que mes resultats soient corrects est que mon coefficient gamma dans l'equa diff varie avec la frequence, mais j'ai un peu de mal a me convaincre si c'est physique ou pas....

Non, un coefficient dans une telle équation différentielle ne varie pas avec la fréquence. Ne rends pas ton rapport avec une telle hypothèse, je pense que ça ferait mauvais effet.

Une piste rapide à explorer : suppose que le système est peu amorti, c'est à dire que le temps caratéristique de décroissance de l'amplitude de vibration est grand devant une période de vibration (cette hypothèse correspond bien à la réalité). Les modes propres de vibration de ton système sont alors analogues à ceux obtenus sans amortissement (gamma=0), à ceci près que leur amplitude dépend du temps. Ils s'écrivent donc sous la forme : DeplModeN(x,t)=ampl(t, N)*sin(kN x)*cos(omegaN t), où les kN et omegaN sont ceux des modes non amortis. Pour trouver la dépendance en N de ampl(t, N), tu peux par exemple considérer que l'équation que tu utilises pour modéliser le mouvement te donne une expression de la force de frottement fluide. Calcule alors le travail de cette force au cours d'une période de vibration. Ce travail va te donner un amortissement exponentiel de l'énergie mécanique du mode, et par conséquent de son amplitude, avec une constante de temps qui varie en fonction de la fréquence (et dépendant de gamma bien entendu). C'est je pense assez simple.

Par contre je persiste : l'équation différentielle utilisée suppose que le mécanisme d'amortissement principale est le frottement fluide dans l'air, ce qui ne me semble pas réaliste. L'équation différentielle obtenue peut être compatible avec tes mesures expérimentales, sans que cela prouve que le mécanisme supposé est le bon (d'autre mécanismes peuvent mener à un amortissement exponentiel, il suffit que la puissance dissipée soit proportionnelle à l'énergie mécanique et à la fréquence).

[Chip]

(d'autre mécanismes peuvent mener à un amortissement exponentiel, il suffit que la puissance dissipée soit proportionnelle à l'énergie mécanique et à la fréquence)

Je voulais dire : d'autres mécanismes peuvent mener à un tel amortissement exponentiel, dépendant de la fréquence. Pour avoir un amortissement exponentiel quelconque, il n'y a pas besoin que la puissance dissipée dépende de la fréquence.

[invite6f044255]

Salut,

Non, un coefficient dans une telle équation différentielle ne varie pas avec la fréquence. Ne rends pas ton rapport avec une telle hypothèse, je pense que ça ferait mauvais effet.

la, pour le coup, je suis totalement perdu....parce que le livre que j'avais beaucoup consulte, le Philip-Morse-Ingard "theoretical acoustics" ou ils traitent le cas d'une corde amortie, ils parlent bien d'un coefficient dans l'equa diff variant avec la frequence....

Ils s'écrivent donc sous la forme : DeplModeN(x,t)=ampl(t, N)*sin(kN x)*cos(omegaN t), où les kN et omegaN sont ceux des modes non amortis.

Oui, et c'est ce que je trouve avec mon equa diff du premier post, ou a peu de choses pres: je trouve omegaN'^2=omegaN^2-C.gamma^2 ou C est une constante. Donc, avec gamma tres petit, on a egalite entre les deux omegaN. Et la, l'equa diff me donne ampl(t,N)=e^(A.gamma.t) ou A est une constante.



Ce n'est pas que je veux pas te croire, mais c'est que ca m'arrange vraiment pas....

[Chip]

le livre que j'avais beaucoup consulte, le Philip-Morse-Ingard "theoretical acoustics" ou ils traitent le cas d'une corde amortie, ils parlent bien d'un coefficient dans l'equa diff variant avec la frequence....

Ah bon, une sorte de coefficient effectif alors? C'est aussi une équation différentielle modélisant un frottement dans l'air, ou bien prend-elle en compte un amortissement de façon phénoménologique? Ils ne parlent pas d'un coefficient effectif?

[invite6f044255]

bah, j'ai pas le livre sous la main, mais il me semble qu'il le definissait juste comme un coefficient de friction....au pire, j'irai consulter le livre demain, pour voir exactement le petit nom qu'il lui donne et puis je te dirai....

merci beaucoup Chip.

[Chip]

De rien... tiens-nous au courant si tu as des éléments nouveaux. J'ai vu une thèse qui pourrait t'intéresser (notamment le chapitre 8) : Thèse de Bertrand David

[invite6f044255]

Merci beaucoup pour ce site!!

Il y a ce resultat tres interessant:

Le facteur d'amortissement est quasiproportionnel à la fréquence dans la plage étudiée

C'est ce que je trouve experimentalement aussi....donc, ca me rassure pas mal!!
Meme si la demonstration n'est pas "encore" 100% correcte, les resultats ont l'air bons, OUF!!

[invite6f044255]

Bonjour,

en effet, ils parlent de mon "b" comme un coefficient effectif qui est present dans toute corde vibrante.