Etats propres de l'Hamiltonien (Quantique)

[invitecd64b518]

Bonjour,

Je bute sur un petit problème de définition de ce qu'est un état propre, l'assimilant (à tord?) à un vecteur (ou |ket>) propre.

J'ai deux petites questions, sachant:

On considère l'Hamiltonien H qui ne possède que 2 vecteurs propres normés, notés |Y1> et |Y2>, associés à 2 valeurs propres E1 et E2.
On peut alors écrire:
H|Y1>=E1|Y1>
H|Y2>=E2|Y2>

On construit l'état |Y_>=1/racine(2){|Y1> - |Y2>}.

On montre que cet état est normé en calculant la racine carré du produit vectoriel <Y_|Y_>. (ça c'est ok)
Cette état s'écrit comme une combinaison linéaire d'états propres de H. Et voici mes questions:

1°) Est-il état propre de H?
2°) Dans quel cas une combinaison linéaire d'états propres de H peut-elle être état propre de H?


Merci d'avance pour vos réponses.
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[philou21]

bonjour

1°) non (à moins que 2°))

2°) si E1=E2

[mariposa]

Bonjour,

Je bute sur un petit problème de définition de ce qu'est un état propre, l'assimilant (à tord?) à un vecteur (ou |ket>) propre.

J'ai deux petites questions, sachant:

On considère l'Hamiltonien H qui ne possède que 2 vecteurs propres normés, notés |Y1> et |Y2>, associés à 2 valeurs propres E1 et E2.
On peut alors écrire:
H|Y1>=E1|Y1>
H|Y2>=E2|Y2>

On construit l'état |Y_>=1/racine(2){|Y1> - |Y2>}.

On montre que cet état est normé en calculant la racine carré du produit vectoriel <Y_|Y_>. (ça c'est ok)
Cette état s'écrit comme une combinaison linéaire d'états propres de H. Et voici mes questions:

1°) Est-il état propre de H?

Non sauf....

2°) Dans quel cas une combinaison linéaire d'états propres de H peut-elle être état propre de H?

si E1 =E2

[invitea774bcd7]

Salut

Applique H à |Y_>. Obtiens-tu un vecteur proportionnel à |Y_> ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecd64b518]

En précisant que pour montrer que |Y_> est un état propre de H, je pensais montrer que:
H|Y_>=E1|Y_> (ou E2|Y_>)

Ce qui me fait aboutir sur la condition que E1=E2 donc les valeurs propres de l'Hamiltonien doivent être dégénérées pour qu'une combinaison linéaire (normée) d'états propres de H soit état propre de H.

Est-ce juste?
Merci

[invitecd64b518]

Merci à tous pour vos réponses (très promptes).

Bonne soirée.