Méca et mouches

[pol2343]

Les quatre mouches Adèle, Berthe, Célestine et Dorothée sont initialement aux quatre sommets A ,B , C , D d’un carré de côté l0 .
Adèle vole vers Berthe, Berthe vers Célestine, Célestine vers Dorothée et Dorothée vers Adèle avec des vitesses de même module v .
Au bout de combien de temps les quatre mouches atteindront-elles le centre du carré ?

si vous avez des idées pour m'aider à débuter.....

[Jaunin]

Bonjour, Pol2343,
Bienvenu sur le forum de Futura-Sciences.
Je ne comprends pas bien votre question, si les mouches volent le long des côtes du carré, je ne vois pas comment elles pourront atteindre le centre.
Avez vous donné tout l'énoncé.
Cordialement.
Jaunin__

[Ouk A Passi]

Bonjour,

Choisisson un sens.
La mouche A vole vers B, mais B se dirige vers C
Initialement, les trajectoires de A et de B sont supposées orthogonales, selon les côtés du carré,
mais très rapidement, ces trajectoires s'incurvent...

[pol2343]

il y a aussi cet indication dans l'énoncé

Note. Il est bon de remarquer que l’axe Oz passant par le centre du carré et perpendiculaire au plan ABCD est un axe de répétition
pour le problème : les quatre mouches resteront continuellement aux quatre sommets d’un carré de centre O (de côté et d’orientation
variables). On étudiera alors l’évolution de la situation entre les instants t et t + dt et on fera un développement limité au premier
ordre.

[pol2343]

mais san les developpements limités car je les est pas vu pr l'instant =)

[invite34596000666]

Envoyé par pol2343

mais san les developpements limités car je les est pas vu pr l'instant =)

Dans l'énoncé on te dit d'utiliser les développements limités mais tu ne les as pas vus ?

[philou21]

Bonjour

je trouve t=a/v (a, coté du carré)...


c'est juste ?

[pol2343]

oui je crois que c ça
mais comment tu fais ?

[philou21]

Ben je ne me suis pas servi de développement limité.

J'ai peut être fais quelque chose de compliqué...

soit O le centre du carré et M la position d'une mouche

j'ai exprimé OM en coordonnées polaires r et

puis en dérivant j'ai obtenu le vecteur dOM/dt

j'ai exprimé que la vitesse était constante (v) et dirigée suivant le coté d'un carré :

OM.dOM/dt = rvcos(45)

et ça me donne dr/dt

voila

il y a sans doute plus simple...

[Jaunin]

Bonjour,
Effectivement je n'avais pas compris que les 4 mouches volaient en même temps l'une vers l'autre, (bon d'accord), le croquis de 'Ouk A Passi est très clair. Donc si on continue le principe des carrés qui tourne à l'intérieur des uns et des autres, les sommets doivent former une spirale qui s'accélère, peut être de type logarithmique.
Cordialement.
Jaunin__

[obi76]

Il n'y a pas besoin de DL ou de quelconque technique...

Par symétrie, les 4 mouches constitueront toujours un carré, d'accord ?

Dans ce cas il suffit de prendre un des coté et de voir à quelle vitesse il rétrécit. En l'occurrence il rétrécit à la vitesse de v (projette les vitesses de 2 mouches constituant un coté et tu va trouver ça).

Les 4 mouches atteindront le centre du carré lorsque les cotés vaudront 0, donc au bout de l0/v CQFD

[philou21]

Je savais bien qu'il y avait plus simple...

[Ouk A Passi]

Bonsoir à tous,

Pour ceux qui le souhaitent, vous trouverez ici le calcul rigoureux de la distance parcourue par chaque dyptère.

Bonne soirée

[philou21]

Mais la projection des vitesses sur la diagonale du carré et la tangente à la diagonale est rigoureux

tu obtiens immédiatement r(t) et (t)

[obi76]

La trajectoire :



Le temps mis en fonction du coté initial :



Nous pouvons donc en déduire que pour une vitesse de 1, le temps mis est t = 1*l₀

Bon maintenant que le numérique et la théorie sont faites, quelqu'un aurai des mouches chez lui qu'on essaye l'expérimental ?

[sitalgo]

B'soir,

Encore plus simple.
A se dirige vers B.
B modifie sa trajectoire pour maintenir un angle droit entre les trajectoires (conséquence de la symétrie).
B voit donc A se diriger vers elle avec une vitesse V perpendiculairement à sa trajectoire.

Je signale que j'avais déjà nommé une mouche (dans un bocal) Dorothée dans un sujet ce de forum. La prochaine fois il faudra l'appeler Denise ou Dominique parce que sinon on ne va plus s'y retrouver.

[philou21]

ça revient au même, mais moi j'aime bien la projection des 4 vitesses sur les diagonales et sur les perpendiculaires aux diagonales : on voit bien deux mouvement orthogonaux : la rotation du carré et son rétrécissement.

(en tout cas plus simple que ce que j'avais proposé...)