Mécanique des fluides compressibles

Koranten · 08/12/2008 - 19h03

Salut à tous,

J'étudie un écoulement dans une canalisation, et il y a un brusque changement de diamètre, qui passe de 25 à 65mm, et j'aimerais savoir ce qu'il se passe au niveau de la température.

Je sais bien utiliser le Bernoulli classique en isotherme, avec la perte de charge singulière de l'élargissement brusque, mais là je m'intéresse en détail à la température.

A vue de nez, vu qu'il y a élargissement, il y a décompression, donc refroidissement... mais en même temps, la vitesse diminue, donc la pression statique augmente... donc ça chauffe?

Enfin bref, je suis en compressible, ou pas, je sais même plus par quel bout le prendre, mais je voudrais savoir s'il se passe quelque chose de significatif au niveau thermique... ou pas (est-ce que je peux négliger cet aspect?).

Mon fluide se comporte comme un fluide parfait. Sa viscosité est tout à fait classique. Sa vitesse est faible dans le tuyau de 25mm avant le passage en 65mm (environ 0.02 m/s).

Merci, je suis un peu paumé!

commonsense · 08/12/2008 - 20h33

Bonsoir.

Je pense que la réponse à ta question est à chercher du côté de la relation de HUGONIOT :

$(M^2 -1).\frac{1}{U}.\frac{dU}{dx}= \frac{1}{A}\frac{dA}{dx}$

Où :
M: nb de Mach
U vitesse
A section
x: abscisse le long de la conduite.

En fait, on va plutôt utiliser la relation :
$\frac{1}{\rho}.\frac{d\rho}{dx }=-M^2.\frac{1}{U}\frac{dU}{dx}$

Du coup :

$\frac{1}{\rho}.\frac{d\rho}{dx }=\frac{M^2}{1-M^2}\frac{1}{A}\frac{dA}{dx}$

Où rho figure la masse volumique

Donc selon le régime d'écoulement (hyper ou subsonique), tu sais comment évolue $\rho$ avec A ( $\rho$ augmente/diminue pour un convergent et vice-versa pour un divergent)

Enfin, puisque la détente est isentropique, on peut relier l'évolution de la masse volumique à celle de la température (loi de Laplace)

Remarque : Je suppose en plus que l'évolution est adiabatique

En tout cas, c'est comme ça que je procéderais...

Koranten · 08/12/2008 - 21h06

Je suis très clairement en subsonique : ma vitesse est de 0.015 m/s.

Un nombre de Mach là dedans ça a du sens?

Et puis ma section varie brutalement, j'ai un "saut" de section, c'est discontinu, alors pour calculer la dérivée ça va être chaud

Cette formule ça marche sûrement d'enfer pour les turbomachines mais est-ce que ça s'applique dans mon cas?

Merci!

commonsense · 08/12/2008 - 21h15

Je suis très clairement en subsonique : ma vitesse est de 0.015 m/s.

C'est sur

(j'avais pas vu!!!)

Pour ce qui est du calcul de la dérivée, pas besoin de le faire.

La dernière équation indique que, puisque l'on est en subsonique, la masse volumique augmente dans les divergents, ce qui devrait résoudre ton problème, non?

Par ailleurs, tu dis que la section varie de façon discontinue mais dans la réalité, même s'il faut aller à l'échelle micro, on peut toujours introduire une courbure, donc éviter les discontinuités.

commonsense · 08/12/2008 - 21h18

Un nombre de Mach là dedans ça a du sens?[...]
Cette formule ça marche sûrement d'enfer pour les turbomachines mais est-ce que ça s'applique dans mon cas?

Bien sur
On peut toujours définir un nombre de Mach.
Par ailleurs, ces équations proviennent juste de la simplification des diverses équations de bilan.

commonsense · 08/12/2008 - 21h20

Sinon, je viens de penser à un autre truc :

Si on a un changement de section si brutal, on a donc sans doute un décollement de la couche limite.
En même temps, je suis pas sur que ce soit important, mais faut peut-être garder ça à l'esprit...

Koranten · 08/12/2008 - 21h44

Oui, évidemment, il y a un décollement et une perte de charge singulière, qui vaut :

1-Petite_Section/Grande_Section (corrélation expérimentale) (coeff. adimensionnel)

Moi, là, je cherche à savoir si j'ai une variation négligeable de température ou pas.

commonsense · 08/12/2008 - 21h51

je cherche à savoir si j'ai une variation négligeable de température ou pas.

Et ben à priori oui pour l'existence de la variation et sans doute non pour le négligeable.
Le truc sur les couches limites était juste une petitte idée émise comme ça, je pense pas que ça joue le moindre rôle.
Mais avec tout ce qui a été dit, je vois pas où est encore le problème.

Qu'est-ce qui te gênes?

commonsense · 08/12/2008 - 23h08

Re.

Pour rentrer un peu plus dans les détails, voici ce que je propose :

$\frac{1}{\rho}\frac{d\rho}{dx} =\frac{M^2}{1-M^2}\frac{1}{A}\frac{dA}{dx}$

d'où :

$\rho=cste.A^{\frac{M^2}{1-M^2}}$

Avec : $cste>0$

Donc puisque M<1, la masse volumique augmente lors de l'élargissement. (*) (M<1 donc la vitesse va diminuer-cf Hugoniot- et le fluide va "s'entasser" juste après le divergent d'où la hausse de rho)

Détente adiabatique avec entropie constante le long d'une ligne de courant => $T\rho^{1-\gamma}$ est constant le long d'une ligne de courant, donc en particulier :
$(T\rho^{1-\gamma})_{avant-divergent} = (T\rho^{1-\gamma})_{apres-divergent}$

Donc, d'après (*), si l'on prend pour fluide de l'air ( $\gamma=1,4$ donc $1-\gamma<0$ ), la température augmente lors du passage par l'élargissement.
Après, si l'on veut quantifier la variation, il faut connaître les conditions aux limites (avant le divergent) pour la température, la masse volumique et la section.

commonsense · 08/12/2008 - 23h14

Ceci dit, tout ça c'est bien beau mais ça vaut pour un écoulement incompressible.

Or toujours pour rester dans le cas de l'air, au vu de la vitesse d'écoulement, on risque bien d'être dans un cas incompressible (M<0,3).

Donc en fait, j'aurai finalement plutôt tendance à dire :
Laplace avec masse volumique constante=>Température constante.

Une belle prise de tête pour rien

Koranten · 09/12/2008 - 08h03

Bon, on va supposer qu'on est compressible, on fait le calcul et on voit.

Mon fluide n'est pas de l'air, comment je calcule le Gamma? C'est quelque chose comme Cp/Cv d'après mes souvenirs...

Après, j'écris la formule de la conservation de T*rho^(1-gamma). Mais pour en déduire T, je dois connaître rho. Je fais comment? Rho est fonction de la température, donc du résultat...

J'utilise Rho=Constante*A^(M²/[1-M²])?

La décision sur le fait que je sois en compressible ou non se fait uniquement sur le Mach, selon la nature du fluide, c'est ça?

Merci!

commonsense · 09/12/2008 - 18h01

Salut.

Pour ce qui est du calcul de gamma, c'est effectivement un truc en fonction de Cv et Cp. Mais, à moins que le fluide ne soit vraiment exotique, je pense que l'on doit pouvoir trouver cette donnée en fouillant un peu dans les diverses tables qui doivent bien exister quelque part (désolé, je sais que je suis un peu vague là).

Ensuite, si tu veux vraiment raisonner en compressible, j'ai déja détaillé la démarche plus haut et pour ce qui est de ta question :

Mais pour en déduire T, je dois connaître rho. Je fais comment? Rho est fonction de la température, donc du résultat...

tu connais la température en amont du divergent et la masse volumique (que ce soit avant ou après le divergent) t'est donnée par la formule Rho=Constante*A^(M²/[1-M²])
( "Constante" va alors se simplifier)

Enfin, un critère communément utilisé pour la compressibilité porte sur le nombre de Mach : rho=cst si M<0,3 (et je cois que c'est valable pour à peu près tous les fluides, en tout cas j'en suis sur pour l'eau et l'air)

La décision sur le fait que je sois en compressible ou non se fait uniquement sur le Mach, selon la nature du fluide, c'est ça?

Donc oui et ce pour n'importe quel fluide "classique"