Changement d'energie d'une quasiparticule lors d'un changement de referenciel galileen

[Thwarn]

Bonjour,

je suis en train de lire le "Abrikosov, Gorkov, Dzyaloshinski" et j'ai un probleme de comprehension. Pour donner les caracteristiques de quasiparticules (ici le He4) d'energie E(p), les auteurs font un changement de referenciel à une vitesse v. Les auteurs disent que l'energie des quasiparticules devient E(p) + p.v + 1/2Mv².
Et la je ne comprends pas. Si l'energie etait quadradique, je comprendrai sans probleme, sauf que la relation de dispersion ne ressemble pas du tout à ça. Quelqu'un pourrait m'expliquer?

Merci,
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[Jeanpaul]

En relativité restreinte l'énergie n'est pas un scalaire, il existe un quadrivecteur impulsion-énergie (p, E/c) qui se trasnforme selon les transformations de Lorentz, comme le quadrivecteur position (x, ct).
Alors si tu prends une particule de quadrivecteur impulsion-énergie (p, E/c) et que tu la regardes dans un référentiel galiléen se déplaçant à la vitesse v, tu appliques la 4ème transformation de Lorentz et tu trouves E'/c en fonction de E/c et p.
Tu fais un développement limité en fonction de v/c en négligeant les 3èmes ordres et tu trouves la relation cherchée.

[mariposa]

Bonjour,

je suis en train de lire le "Abrikosov, Gorkov, Dzyaloshinski" et j'ai un probleme de comprehension. Pour donner les caracteristiques de quasiparticules (ici le He4) d'energie E(p), les auteurs font un changement de referenciel à une vitesse v. Les auteurs disent que l'energie des quasiparticules devient E(p) + p.v + 1/2Mv².
Et la je ne comprends pas. Si l'energie etait quadradique, je comprendrai sans probleme, sauf que la relation de dispersion ne ressemble pas du tout à ça. Quelqu'un pourrait m'expliquer?

Merci,

Bonjour,

C'est un probléme élementaire de Mécanique classique élémentaire.

Soit une particule de position r° et de quantité de mouvement p° dans un repère R°

Soit une transformation galiléenne r = r° + v.t qui définit un nouveau repère R.

La quantité de mouvement devient:

p = p° + m.v.

La nouvelle énergie devient

E = p2/2.m

en remplacant par sa valeur ci-dessus on obtiend:

E(p°) = p°.v + 1/2.m.v2 + p°2/2.m

Il te manque le terme p°2/2.m

En effet pour v=0 on a bien E (p°) = p°2/2.m

Par contre pour les petites valeurs de p° on a bien:


lE(p°) = p°.v + 1/2.m.v2 + epislon

qui correspond a ta formule.

[Thwarn]

Bonjour,
je pense que j'ai mal exprimé mon probleme. Tout d'abord, je me place dans le cadre de la relativité galileenne, donc pas de transformé de Lorenz.
Ensuite, je pouvais redemontrer sans probleme la formule dans le cas ou l'energie est quadratique en impulsion (de la forme p²/2m).
Mon probleme se situe dans un cas ou les quasiparticules, du fait des interactions ont une relation de dispersion a priori arbitraire (par exemple, voir le graphe dans le cas de l'He4. Il y a donc des zones quadratique, mais aussi d'autre ou la relation va etre lineaire. Pourtant dans mon bouquin, il est posé en toute generalité E¹(p¹) = E°(p°)+ p°.v + 1/2Mv². Et c'est cela que je ne comprends pas (ou en tout cas je ne vois pas d'ou ça viens).

En esperant avoir été plus clair.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mariposa]

Bonjour,
je pense que j'ai mal exprimé mon probleme. Tout d'abord, je me place dans le cadre de la relativité galileenne, donc pas de transformé de Lorenz.
Ensuite, je pouvais redemontrer sans probleme la formule dans le cas ou l'energie est quadratique en impulsion (de la forme p²/2m).
Mon probleme se situe dans un cas ou les quasiparticules, du fait des interactions ont une relation de dispersion a priori arbitraire (par exemple, voir le graphe dans le cas de l'He4. Il y a donc des zones quadratique, mais aussi d'autre ou la relation va etre lineaire. Pourtant dans mon bouquin, il est posé en toute generalité E¹(p¹) = E°(p°)+ p°.v + 1/2Mv². Et c'est cela que je ne comprends pas (ou en tout cas je ne vois pas d'ou ça viens).

En esperant avoir été plus clair.

Je ne comprends pas ce que tu ne comprends pas.

Tu veux démontrer:

E¹(p¹) = E°(p°)+ p°.v + 1/2Mv²

c'est ce que j'ai fait dans mon post précédent:


E(p) = p°.v + 1/2.m.v2 + p°2/2.m

La différence est que tu notes p1 ce que je note p tout court.

Il s'agit tout simplement de l'expression de l'énergie cinétique d'une particule de quantité de mouvement p° dans un repère R exprimée dans un repère galiléen à vitesse v avec une quantité de mouvement p1 = p° + v.

Il suffit donc d'élever au carré et le tour est joué.

[Thwarn]

Ben non, justement, car je ne suis pas forcement dans un cas ou E(p°)=p°²/2m...
Dans la zone où l'energie est lineaire E(p°)=up°, quand je change de referenciel (p=p°+v/m), on obtient E(p)=up + uv/m, ce qui ne correspond pas à la formule donnée dans le bouquin. Mais si je fait quelque chose de faux, je voudrais vraiment savoir quoi...

[invite24327a4e]

Ton équation n'est même pas homogène, donc bon...
Je ne vois pas ce qui est faux dans ce que mariposa propose en tout cas.

[Thwarn]

En effet, c'etait une multiplication et non une division, mais on est tous assez grand pour corriger
Et je ne dis pas que ce que dit mariposa est faux, je le sais tres bien que c'est vrain dans le cas ou l'energie est p²/2m. Mon probleme c'est quand ce n'est pas le cas (comme ça arrive souvent en matiere condensée). Mais si c'est si triviale que ça, je veux bien qu'on me l'explique (comme par exemple dans le cas que je site ou la relation de dispersion est linéaire).

[invite1a50edc3]

Salut,

Ton hamiltonien à la base c'est p²/2m+ des interactions ce qui te donne ta relation de dispersion bizarre. Maintenant tu fais un changement de référentiel avant de diagonaliser tu trouve un nouveau hamiltonien qui est p'²/2m +p.V+1/2mV²+ interactions dans le nouveau référentiel et si tes interactions ne sont pas trop méchantes tu dois encore pouvoir diagonaliser la partie en p²/2m +I et retrouver ta relation de dispersion initiale.

Après savoir quelles doivent être la forme des interactions pour que cela marche, je te laisse deviner...

Quilan

[Thwarn]

Merci beaucoup, c'est tout à fait le genre de reponse que je cherchais!

[Thwarn]

Bon, apres avoir essayer sur quelques exemples, j'arrive à me convaincre que l'energie des quasiparticules changent toujours de la meme maniere peut importe sa façon de varier (lineaire, quadratique ou ni l'un ni l'autre).
Mais je n'ai pas trouvé comment le prouver dans tous les cas (cad, partir d'un hamiltionien quadratique et le diagonaliser dans un ref puis dans un autre). Si quelqu'un avait une reference (ou une façon de me montrer en quoi c'est si trivial que ça).