Action de Nambu-Goto (théorie des cordes)

[isozv]

Bonjour,

J'ai beaucoup de peine, lors du développement qui permet d'arriver à l'expression de l'action de Nambu-Goto, à accepter le fait qu'on mette un signe "-" devant l'expression (métrique induite d'univers) qui est sous la racine.

Les seules argumentations que je trouve sur les sites, livres et PDF américains de profs sérieux ne sont que des arguments vulgarisés à 2 sous. Aucune argumentation purement mathématique ne permet de justifier de sortir d'un chapeau un signe "-" dans une équation de la physique (sinon on ouvra la porte à toutes les bêtises qu'on trouve aussi sur le web dans ce cas!).

Il est vrai que si on met pas ce signe "-" surface serait un nombre imaginaire. Et alors pourquoi pas? Peut-être est elle bien imaginaire et c'est nous qui nous plantons à vouloir qu'elle soit absolument un scalaire réel.

Peut-être qu'à l'origine Nambu et Goto ont fait une démonstration plus rigoureuse mais je ne la trouve pas.

Merci pour votre aide et vos opinions.
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[invite8ef897e4]

Bonjour,

il faut choisir pour definir la metrique une convention de signature (+,-,-,-) ou (-,+,+,+). Ce choix est arbitraire. Selon ce choix, la surface positive dont on prend la racine carree aura un signe moins ou pas.

Quant a generaliser l'action aux lagrangiens imaginaires, pourquoi pas, mais il faut refondre toute la mecanique des le depart, puisqu'on ne peut plus utiliser un extremum de cette action !

[isozv]

Malheureusement pas, j'ai fait les développements avec les deux signatures et si on ne change pas le signe dans les deux cas, cela reste négatif sauf erreur.

Effectivement, dans l'action NG avec la métrique -+++ tu as :

sqrt(0-(dX/dsigma)^2*(-c^2))

avec la métrique +--- tu as:

sqrt(0-(-dX/dSigma^2)*(c^2))

[invite8ef897e4]

Bonjour,

il faut choisir pour definir la metrique une convention de signature (+,-,-,-) ou (-,+,+,+). Ce choix est arbitraire. Selon ce choix, la surface positive dont on prend la racine carree aura un signe moins ou pas.

Quant a generaliser l'action aux lagrangiens imaginaires, pourquoi pas, mais il faut refondre toute la mecanique des le depart, puisqu'on ne peut plus utiliser un extremum de cette action !

[A voir en vidéo sur Futura]

[isozv]

Erreur dans mon précédent post:

Malheureusement pas, j'ai fait les développements avec les deux signatures et si on ne change pas le signe dans les deux cas, cela reste négatif sauf erreur.

Effectivement, dans l'action NG avec la métrique -+++ tu as :

sqrt(0-(dX/dsigma)^2*(-c^2))

donc la radical est positif...

avec la métrique +--- tu as:

sqrt((-dX/dSigma^2)*(c^2)-0)

mais la radical est négatif....

[invite8ef897e4]

Mea maxima culpa, tu as raison, le signe du determinant de la metrique induite sur la feuille d'univers, qui donne l'element de surface, ne depend pas du choix de la signature. On a toujours un nombre impaire de dimensions spatiales et une seule dimension temporelle, donc on obtient toujours le signe "-".

En tout cas, l'element de surface geometrique doit bien etre positif. Si le signe moins est inesthetique, reste la possibilite de mettre une valeur absolue

[isozv]

En tout cas, l'element de surface geometrique doit bien etre positif. Si le signe moins est inesthetique, reste la possibilite de mettre une valeur absolue

Mon problème c'est pas qu'il est inesthétique mais qu'on n'a pas le droit d'insérer des signes "-" ou des valeurs absolues à n'importe quel moment. Sinon on ne fait plus de la physique mais de l'ingénierie...

Je dois dire que ce bricolage, pour moi, rend toute la théorie des cordes complétement caduc et peu crédible (même si les résultats qui s'en suivent sont jolis, on ne doit pas tricher avec les maths!).

[vaincent]

Je dois dire que ce bricolage, pour moi, rend toute la théorie des cordes complétement caduc et peu crédible (même si les résultats qui s'en suivent sont jolis, on ne doit pas tricher avec les maths!).

bonsoir,

à mon avis ce n'est pas du bricolage, sinon des tas de théoriciens ne se seraient pas lancer dans l'aventure. Il me semble que ce signe "-" est simplement dû au fait que si l'on veut construire une mesure covariante pour l'intégrale de l'action, on doit la multipiler par la racine de la valeur absolue du déterminant de la métrique considérée, ce qui revient à mettre un signe "-" devant ce déterminant puisqu'il est toujours négatif.

[Karibou Blanc]

Mon problème c'est pas qu'il est inesthétique mais qu'on n'a pas le droit d'insérer des signes "-" ou des valeurs absolues à n'importe quel moment. Sinon on ne fait plus de la physique mais de l'ingénierie...

Bien que je comprends ta frustration ("signe moins" et "facteur 2" étant le poil à gratter des physiciens modernes), je ne peux pas laisser passer ca. Ce commentaire, plus que désobligeant, montre soit que tu connais très mal à la fois la physique et l'ingénierie, soit que tu en as un jugement plus que douteux.

Je dois dire que ce bricolage, pour moi, rend toute la théorie des cordes complétement caduc et peu crédible (même si les résultats qui s'en suivent sont jolis, on ne doit pas tricher avec les maths!).

C'est si dur que ca d'admettre qu'il y a un truc qu'on n'a pas compris ?

Comme il l'a déjà été dit, la raison est simple. L'action de la corde (tout comme tout autre système physique) doit être réelle, sinon il faut repenser toute la mécanique (classique et a fortiori quantique). Le déterminant de la métrique sur la feuille d'univers étant toujours négatif (peu importe la signature de la métrique car la feuille est de dimension paire), l'argument de la racine devant donc être positif, il y a donc un signe moins devant ce déterminant.
Sans parler de théorie des cordes, cela ne te choque pas autant de voir des sqrt(-g) en relativité générale ? C'est la meme chose ici mais en d=4.

[isozv]

Bonjour,

Ce qui me gêne c'est que je ne connais aucune autre théorique dans mon bagage scolaire (relativité générale y compris) où tout d'un coup on dit: "tiens y'a un truc qui nous embête, ah... hop mettons un signe négatif".

Si vous avez des exemples importants de ce genre dans d'autres théories je suis preneur de l'info pour ma culture générale.

[mariposa]

Bonjour,

Ce qui me gêne c'est que je ne connais aucune autre théorique dans mon bagage scolaire (relativité générale y compris) où tout d'un coup on dit: "tiens y'a un truc qui nous embête, ah... hop mettons un signe négatif".

Mais où donc as-tu vu une telle pratique?

L'action de Nambu Goto est calquée sur l'action d"une particule. La ligne d'Univers est remplacée par une surface d'Univers.

Je rejoins totalement ce qui a été dit plus haut: on ne construit pas la théorie des cordes avec légéreté fondée sur du dilletantisme mathématique.

[vaincent]

Bonjour,

Ce qui me gêne c'est que je ne connais aucune autre théorique dans mon bagage scolaire (relativité générale y compris) où tout d'un coup on dit: "tiens y'a un truc qui nous embête, ah... hop mettons un signe négatif".

c'est parce que tu l'interprètes de cette façon, et bien entendu ce n'est pas ce qui est fait. Cela revient à se comparer aux chercheurs en théories des cordes, et de se dire : "ils sont bêtes par rapport à moi, car je sais qu'ils font quelque chose de faux depuis des années" !!! Un peu d'humilité t'aurais permis de creuser la question et de comprendre que l'écriture contient un nombre positif sous la racine puisque g est tout le temps négatif. C'est simplement une tradition de mettre -g, mais on trouve parfois aussi écrit et g est alors défini comme l'opposé du déterminant de la métrique.
Remettre en question le théorie des cordes uniquement parce qu'on a pas compris un truc de base, c'est un peu fort quand même !

Donc attention la prochaîne fois, tu auras beaucoup plus de chances d'avancer en te disant que c'est toi qui n'a pas compris quelque chose plutôt que c'est la communauté scientifiques toute entière qui se goure depuis le début !

[isozv]

Bonjour,

Je reviens à la charge avec une piste peut-être élégante.

Effectivement, si dans l'expression de Nambu-Goto on trouve les deux coordonnées X de la corde deux fois sous forme contravariantes dans l'expression du déterminant, alors il y a un signe moins car on a sorti le déterminant de la métrique de Minkowski de la surface (matrice 2x2), déterminant qui vaut (-1) de par la propriété des déterminants:

det(A*B)=det(A)*det(B)

Sinon, il y a un signe + car la métrique de Minkowski de la surface est dans la coordonnées covariante d'un des X qui est dans la déterminant de la racine.

Qu'en pensez-vous? J'ai cette piste car j'ai remarqué dans plusieurs cours anglophones les deux variantes mais sans les détails. Et après avoir creusé je me dis que peut-être....

J'aimerais bien avoir votre opinion. L'idée est-elle bonne.... ou bonne à mettre à la poubelle?

[invite8ef897e4]

J'aimerais bien avoir votre opinion. L'idée est-elle bonne.... ou bonne à mettre à la poubelle?

Est-ce que tu pourrais nous donner la forme explicite de l'action que tu utilises en definissant toutes les variables qui apparaissent dans ton expression ? Habituellement, les coordonnees sur le world sheet sont tau et sigma par exemple.

Si, par hasard, tu as le Zwiebach a disposition, c'est explicitement derive en detail (le pourquoi ce qui est sous la racine est positif) dans la section 6.3

[isozv]

Voici en pièce jointe les grandes lignes de mon "idée".... soyez franc... hein pas de détours

[Rincevent]

salut,

Ce qui me gêne c'est que je ne connais aucune autre
théorique dans mon bagage scolaire (relativité générale y compris)

comme on te l'a dit c'est pourtant le cas en RG si tu regardes le lagrangien d'Einstein-Hilbert ou celui associé à une géodésique du genre temps... dans le cas d'une corde la logique est la même : si ta corde est censée être un objet physique qui évolue dans le temps, la surface d'univers associée est du genre temps, tout comme l'est la ligne d'univers d'une particule. En clair, tu as ça tout le temps dès que tu travailles avec des "volumes" (au sens général du terme) dans une variété pseudo-riemannienne qui sont associés à l'évolution d'un système physique. C'est dans la définition même de la "forme de volume" en géométrie pseudo-riemannienne.

Voici en pièce jointe les grandes lignes de mon "idée".... soyez franc... hein pas de détours

tu te trompes en pensant que est une matrice 2x2. Écrit comme ça, il s'agirait plutôt du produit tensoriel de deux tels objets. Pour t'en convaincre, compte le nombre d'indices libres. Dans le fait que mu apparaisse une fois en haut et une fois en bas est important : c'est ce qui fait que les deux objets se multiplient (si on les interprête comme des matrices 2x2). En clair, ton calcul ne tient malheureusement pas la route...

[isozv]

Bon ok....

Alors dans ce cas je vais tenter essayer de comprendre à fond la démarche qu'il y a dans le Zwiebach pour justifier le signe "-".

Mais je bloque juste à la page 99, relation 6.36 où il dit:

"To determine wheter vmu(lambda) is timelike or spacelike, we consider its square:"...

Je me demande en quoi est-ce que mettre chaque composante mu du vecteur dont il parle au carré permet de déterminer si la composant est de type espace ou de type temps et quel en est l'intérêt.

PS: Si vous n'avez pas le Zwiebach je peux voux envoyer le draft en privé qu'il mettait à dispo gratuitement à l'époque avant que son livre ne sorte.

[Karibou Blanc]

e me demande en quoi est-ce que mettre chaque composante mu du vecteur dont il parle au carré permet de déterminer si la composant est de type espace ou de type temps et quel en est l'intérêt.

c'est le vecteur qui est de genre temps ou espace, vmu fait (abusivement certes) référence au vecteur pas à sa composante mu. Maintenant pour voir quel est l'interet de prendre la somme des carrés des composantes, révise juste ce qu'est un vecteur de genre espace ou temps...

[Ludwig]

Bonjour,

Bonjour,

J'ai beaucoup de peine, lors du développement qui permet d'arriver à l'expression de l'action de Nambu-Goto, à accepter le fait qu'on mette un signe "-" devant l'expression (métrique induite d'univers) qui est sous la racine.

Les seules argumentations que je trouve sur les sites, livres et PDF américains de profs sérieux ne sont que des arguments vulgarisés à 2 sous. Aucune argumentation purement mathématique ne permet de justifier de sortir d'un chapeau un signe "-" dans une équation de la physique (sinon on ouvra la porte à toutes les bêtises qu'on trouve aussi sur le web dans ce cas!).

Il est vrai que si on met pas ce signe "-" surface serait un nombre imaginaire. Et alors pourquoi pas? Peut-être est elle bien imaginaire et c'est nous qui nous plantons à vouloir qu'elle soit absolument un scalaire réel.

Peut-être qu'à l'origine Nambu et Goto ont fait une démonstration plus rigoureuse mais je ne la trouve pas.

Merci pour votre aide et vos opinions.

Sans vouloir rentrer dans tous les détails et n'ayant que partiellement lu les messages de ce fil, je souhaite juste rappeler que toutes les équations que nous écrivons ne sont rien d'autre que soit:

1) une modélisation mathématique de ce que nous pensons être.

2) la description mathématique (identification) du comportement d'un système, obtenu suite à des mesures expérimentales.

Il est notoirement connu que la modélisation est un art dificile, quelques-uns comme Louis de Broglie prédisant les ondes de matières ou Albert Einstein avec la RG on réussi cet exercice.

Personellement j'ai toujours eu une sainte aversion envers les théories faisant référence à une métrique ou des vecteurs car je pense que derrière ceci se cache quelque chose que je ne connais pas. A mon avis une telle théorie ne peut être que locale.

Etant convaincu par la théorie des cordes, intuitivement il me viendrai à l'esprit de chercher à la débarasser de toute notion d'espace et exprimer celle-ci uniquement dans un domaine fréquentiel, on rejoindrai alors une vielle idée qui veut que tout n'est que vibration. Ici la théorie de la variable complexe serai alors un instrument mathématique majeur.

Voila j'en ai terminé avec mes élucubrations et m'excuse de vous avoir fait perdre votre temps.

Cordialement

Ludwig

[isozv]

et m.... qu'est-ce que c'était c.... j'ai honte de pas avoir pensé à l'analogie avec l'abscisse curviligne ds^2 (si c'est bien ça...).

Merci beaucoup pour ton indication.