Tenseurs, spin, groupes et physique atomique

[mariposa]

Bonjour,


Je relance une discussion sur le même thème des tenseurs avec la même intention que le fil spineurs et tenseurs. Pour éviter toute polémique je centre le débat sur un problème de physique très concret et bien connu dès lors que l'on fait ses tous premiers en MQ et en physique atomique. Les connaissances requises sont largement partagées sur les habitués de Futura

Le problème de référence:

Il s'agit d'un électron dans un potentiel central situé dans une orbitale P cad dans une orbitale 3 fois dégénérée (potentiel central pour éviter l'atome d'hydrogène qui est très particulier à cause du potentiel en 1/r).

Ceci est particulièrement simple et suffisant pour démontrer et illustrer d'une manière générale l'essence des tenseurs.

Dans le langage des chimistes on représente 3 cases quantiques dans lesquelles on peut placer un électron avec 2 options spin up et spin down. le niveau d'énergie est donc 3*2 = 6 fois dégénérés.

Dans le langage quantique cet état est décrit par le produit tensoriel de 2 espaces soit:

[|Px>, |Py>, |Pz>] T* [ |u>, |d>]

Avec H|Px> = E.|Px> même chose avec y,z

Le résultat d'un produit tensoriel directe est un tenseur qui est un vecteur propre de H. Ces 6 produits étant dégénérés alors n'importe qu'elle combinaison linéaire est solution propre de l'Hamiltonien.

L'usage en MQ est d'appeler un tel tenseur une spin-orbitale.


Comment se comporte un tel tenseur dans un changement de base:

Soit le changement de base:

(x,y,z) devient (x', y', z')

Ce changement de base définit un élement d'une représentation standard g du groupe O(3) cad une matrice 3*3

Comme [H,G]= 0

Les G sont des représentations quelconques du groupe O(3) de la sphère. Les changements de base vont donc engendrer une représentation de dimension 6 du groupe O(3) cad un jeu de matrices 6*6.

Cette représentation est-elle réductible?

La réponse est oui. En effet on sait qu'un produit tensoriel de vecteurs qui sous-tendent des représentations d'un groupe est une représentation qui peut se décomposer en représentations irréductibles du groupe.

La règle bien connue pour le groupe O(3) est:

S1 T* S2 = |S1-S2| (+) |S1-S2|+ 1 (+) + ...... S1 + S2

Dans ces notations T* signifie produit tensoriel et (+) signifie somme directe.

Dans notre cas on a:

1 T* 1/2 = 1/2 (+) 3/2

La dimension de l'espace est bien conservée on a bien:

3 T*2 = 6 = 2 (+) 4

Ainsi le sous-espace 6 fois dégénérés est en fait 2 sous-espaces propres invariants? Est-ce normal? que cela signifie-t-il?

Avant de revenir sur cette question je voudrais faire un petit bilan provisoire.


Un premier bilan:

1- Tout ce qui a été fait ci-dessus est purement tensorielle.

2- Pourtant il n'y aucune notion de dualité et donc aucune notion de covariance et de contravariance. Pour les mêmes raisons il est impossible de faire apparaitre la notion de forme bilinéaire et donc de tenseurs telle que l'on peut les trouver dans les cours de maths. Et pourtant nous avons manipulés des tenseurs, rien que des tenseurs.

3- on notera le mélange de genre. Les 2 espaces n'ont pas la même dimension. En plus les transformations agissent différemment sur l'espace {P} et sur l'espace {S}. Çà "tourne" 2 fois plus vite pour le premier que pour le second.

En effet dans le langage "commun" le premier est un tenseur de rang 1 le deuxième un spineur de rang 1. Ou encore dans un autre langage (plus subtil) le premier est un spineur symétrique de rang 2 le deuxième un spineur de rang1.

4- On observera que les propriétés de changement de base sont manipulés sans aucune notion d'indice. Pour se rendre compte de la performance que représente la TRG il suffit d'essayer de reproduire le raisonnement en introduisant des indices. Il suffit de se rencontre qu'un élément de matrice de la transformation porte 8 indices!!! Bon courage. Ceci pour dire que la manipulation des tenseurs sans indices n'est en rien une propriété de la géométrie différentielle.

en conclusion partielle je ferais remarquer avec insistance que:

A- le concept fondamental des tenseurs ce sont leurs propriétés par changement de base:

Dit moi comment tu te comportes dans un changement de base et je te dirais qui tu es.

. On voit aussi sur cet exemple la distance gigantesque qu'il y a entre un cours de math fondé sur la dualité (les formes) et un cours de physique pour laquelle la dualité n'est loin d'être première.

B- En plus les cours de maths travaillent dans leur introduction sur le corps des réels alors qu'ici on travaille sans gène sur le corps des complexes.

C- La TRG (Théorie de la Représentation des Groupes) est intrinsèquement liée aux tenseurs et au spineurs nativement ce qui n'est pas le cas des cours de maths ou les groupes n'apparaissent pas explicitement.

D- Il est facile de comprendre pourquoi les étudiants ne peuvent faire le rapprochement entre un cours de maths sur les tenseurs et un cours de MQ alors que sur le fond c'est la même chose.

Retour sur la levée de dégénérescence:

La TRG nous dit que le sous-espace invariant initial de dimension 6 se décompose en 2 sous-espaces invariants de dimension 2 et 4.

Je pose la question: Pourquoi cette "contracdiction" apparente?

Quelle est la réponse standard?

Comme le problème est très simple certains d'entre vous donnerons une réponse connue (que j'appellerais ici réponse standard) ne serait-ce qu'en prenant le premier livre de MQ.

Je laisse donc à partir de cette question le problème ouverte.

Des réponses plus originales?

En fait il existe un grand nombre de réponse possibles. Ce qui devient intéressant est de trouver d'autres réponses (au moins 2 autres) que la réponse standard.

Si vous ne voyez les réponses possibles, n'hésitez pas à poser la question a votre prof de MQ ou mieux à votre prof de maths. Il serait intéressant de connaître le temps pris pour les réponses. A partir de 3 secondes, c'est vraiment très lent!!

[gatsu]

Salut,

Je ne comprends mariposa. Quel est le but réel de ce fil ? Les éventuels participants vont être les mêmes que d'habitude et plus particulièrement les mêmes que tu sembles avoir "fuit" sur un fil que tu estimes "pollué".

Juste pour donner une opinion d'amateur juste sur le début de ta défence (le reste c'est juste un monologue sans aucune question)

Tout ce qui a été fait ci-dessus est purement tensorielle.

2- Pourtant il n'y aucune notion de dualité et donc aucune notion de covariance et de contravariance. Pour les mêmes raisons il est impossible de faire apparaitre la notion de forme bilinéaire et donc de tenseurs telle que l'on peut les trouver dans les cours de maths. Et pourtant nous avons manipulés des tenseurs, rien que des tenseurs.

Mais tu ne définis pas vraiment de façon claire ce qu'est un tenseur.
En fait la racine tenseur apparait la première fois comme définition dans "produit tensoriel"....la belle affaire.

Tu pourrais remplacer le mot tenseur par "torpeur" ça ne changerait rien aux mathematiques que tu écris.

En particulier je trouve qu'on ne comprends vraiment ce que fait un produit tensoriel que lorsqu'on voit que l'action d'un produit tensoriel comme l'action d'une forme bilinéaire spécifique sur deux vecteurs d'un espace vectoriel donné.

Par ailleurs le critère de tensorialité n'est évoqué nul part et est quand même d'une importance pratique indéniable lorsqu'on débute (comme moi). Un exercice classique en géométrie differentielle consistant à montrer précisément que la dérivée partielle d'un tenseur n'est pas toujours un tenseur (je n'ai pas précisé le rang du tenseur dont je parle), ce qui conduit naturellement à la notion de dérivation covariante. Comme tu le sais ce genre de considérations est très importante car d'utilité aussi bien RG qu'en théorie de jauge en TQC.

[humanino]

Bonjour,

j'ai peur que ceux qui peuvent repondre n'ait guere d'interet a le faire. Historiquement, les physiciens plus que les mathematiciens ont vecu une profonde difference entre les objets esthetiques, simples et faciles a se representer que sont les tenseurs : ces archetypes de la magnifique relativite. Et d'un autre cote, les spineurs, qui sortent un peu de nul part, que l'on n'arrive certainement pas a se representer la premiere fois que l'on est confronte a eux, je veux dire : dont la reputation a contredire l'intution va parfaitement bien avec la mecanique quantique.

Maintenant, que les deux soient intimement lies, certes. Que l'on puisse jouer le jeu a definir artificiellement l'un comme etant plus fondamental que l'autre, certes. Mais nier le schisme historique evident decrit plus haut et sans doute vecu par bien de etudiants, et se placer en opposition de la majorite y compris au sein de la communaute que l'on partage quotidiennement sur internet, et ceux pour un but plus qu'obscur pour tout le monde, ca c'est vraiment fascinant. Le fond du probleme aborde est anecdotique. La forme dans laquelle les evenements evoluent est romanesque.

[mariposa]

Salut,

Je ne comprends mariposa. Quel est le but réel de ce fil ? Les éventuels participants vont être les mêmes que d'habitude et plus particulièrement les mêmes que tu sembles avoir "fuit" sur un fil que tu estimes "pollué".

Bonjour,

Le but réel de ce fil, comme toutes les interventions sur les tenseurs que j'effectue depuis 3 ans est de mieux comprendre les tenseurs, ou plus exactement de comprendre autrement et plus généralement la TRG dans une logique autre que celle présentée dans les ouvrages mathématiques. La raison de cela est fondée sur ma propre expérience ou j'ai permis das ma vie profesionnelle à nombre de gens de décoller en TRG. J'ai pu constater que les gens butent sur la TRG parce qu'ils ne comprennent en pratique les tenseurs et cette incompréhension découle de la définition d'un tenseur comme forme bilinéaire.

Par ailleurs je n'ai pas fuit le fil que tu cites. C'est exactement le contraire. Après être intervenu il y a de nombreuses réactions contre mon intervention, mais aucune proposition alternative à "MA" définition. Donc j'attends toujours dans ce fil des propositions constructives en lieu et place de la polémique.

Mais tu ne définis pas vraiment de façon claire ce qu'est un tenseur.
En fait la racine tenseur apparait la première fois comme définition dans "produit tensoriel"....la belle affaire.

Au contraire "MA" définition d'un tenseur est claire et simple. Il s'agit de fabriquer un nouveau vecteur à partir d'autres vecteurs appartenant à des espaces vectoriels différents en utilisant une opération de composition appelée produit tensoriel. C'est aussi simple que çà. C'est notamment ainsi que l'on introduit le produit tensoriel en MQ et certainement pour noyé l' étudiant on appelle çà état intriqué

Quel est la différence entre l'approche "mathématique" et l'approche "physicienne".

APPROCHE MATHEMATIQUE

1- Forme linéaire.

En mathématique on commence par la forme linéaire comme application d'un espace vectoriel sur le corps des réels.

Matriciellement (en composantes) il s'agit du produit d"un vecteur" ligne à gauche par un "vecteur" colonne à droite.

Dans les notations de MQ on écrit:

f(X,Y) = <Y|X>

On voit que |X> et <Y| n'appartiennent pas au même espace car tout simplement on ne peut pas additionner une matrice ligne et une matrice colonne.

C'est pourquoi au vecteur |X> on associe un vecteur jumeau hétérozygote que l'on note <X|. Pour distinguer les jumeaux hétérozygote l'un |X> sera appelé vecteur contravariant l'autre <X|vecteur covariant. Ils sont duals , cad jumeaux.

Entre un vecteur n lignes et un vecteur n colonnes on peut injecter une matrice carré n lignes n colonnes soit:

<Y|A|X> que l'on peu calculer de 2 façons selon les régles de manipulations des matrices

Soit:

<Y|.....A|X> ou A agit à droite

Soit:

<Y|A....|X> ou A agit à gauche.


Prenons A = I = [M-1].[M] ou [M-1] est la matrice inverse de M

On a donc:

f(X,Y) = <Y|X> = <Y| [M-1].[M] |X>

Si M represente un changement de base alors les composantes de <Y| se transforment à l'inverse des composantes de |X> ce qui justifie les appelations vecteurs contravariants et vecteurs covariants.

2- Forme bilinéaire et tenseurs.


Reprenons la multiplication matricielle précédente mais en mettant le vecteur n lignes à droite et le vecteur n colonnes à gauche et soit |V> et |W> ces 2 vecteurs pour ne pas les confondre avec ce qui est dit plus haut. La régle de multiplication des matrices donnent une matrice carré qui définit un nouveau vecteur à n2 composantes. Celui s'écrit:

|Z> = |V>*|W>

* est ici le symbole du prosuit tensoriel

Ce vecteur est par anticipation est un vecteur contravariant (voir ci-dessous)

Je peux définir une forme linéaire comme précedemment. Soit:

<T|Z>

Où T est un vecteur covariant.

Explicitement

<T| |V>*|W>

qqui souligne que la forme linéaire est séparemment linéaire par rapport à |V> et par rapport à |W>

En appliquant la régle de multiplication des matrices (je change seulement l'ordre du calcul on peut écrire:


<V| [T] |W>

Injections la matrice unité I = [M-1][M]

<V|[M-1][M][T][M-1][M]|W>

Cela veut dire que le produit est invariant

|V> devient M|V>
|W> devient M|W>

[T] devient [M-1][M][T]

Cela veut surtout dire que:

|T> se transforme comme le produit M.M |V>*|W> pour conserver la valeur de la forme bilinéaire. Dans un jargon professionnel on dit que |T > se transforme comme 2 fois |V> ou comme 2 fois |W>


En guise de bilan:


1- Les démonstrations ci-dessus est purement mathématique dans le sens ou aucune notion de physique existe.

2- J'utilise les notations de MQ ce qui presente l'avantage de faire un cours sur les tenseurs tout pret pour la MQ.

3- En plus j'utilise la technique d'injection des opérateurs unité ce qui me pemet de ne pas manipuler d'indices. Par ailleurs les notions de matrices, supposées connues, fonctionnent en arrière plan, mais en aucune façon j'effectue des calculs sur indices. J'utilise les matrices en arrière plan en jouant uniquement sur l'ordre dans lequel j'effectue les manipulations de matrices. Donc struturellement la philosophie des tenseurs se passent d'indice pour les mêmes raisons qu'un produit scalaire du lycée V.W se passent d'indices.

4- En définisant la notion de jumeau hétérozygote j'aurais pu préciser que rien ne change en travaillant sur le corps des complexes. Dans ce cas le jumeau est constitué d'une matrice ligne ou les composantes sont les complexes conjugués.

5- En travaillant dès le départ sur le corps des complexes les matrices M appartiennent à GL(n,C) et non à GL(n,R) comme le plus souvent effectué. Cette pédagogie mathématique devient nativement une obstruction pour comprendre qu'un spineur (le spineur élémentaire) est un tenseur définit à partir d'une forme bilinéaire spécifique.

6- Dans la foulée il serait facile de montrer comme décomposer un espace tensoriel en sous-espace invariant ce qui est une entrée logique à la TRG. Comme je l'ai écrit moult fois, tenseurs, spineurs ggroupes et TRG c'est la même chose.



APPROCHE MATHEMATIQUE POUR LA PHYSIQUE:

L'idée est simple:

Je définit des le départ la notion de produit tensoriel de |V> et |W> pour former un vecteur |V>*|W> et donc un nouvel espace vectoriel (dans le langage mathématique il s'agit de 2 vecteurs contravariants qui donne un nouveau vecteur contravariant).

Mais attention il n' y aucune notion de dualité. On peut s'en passer largement (ce qui ne veut pas dire qu'elle inutile). On note que c'est ainsi que l'on introduit les choses en MQ. sauf que le tenseur s'appelle état imbriqué!!!!!! Une expression complètement inutile qui brouille les choses comme les particules virtuelles et autres gadgets sémantiques.

Si tu suit "MA" démonstration j'explique ce qu'est un spineur comme un simple produit tensoriel de 2 vecteurs d'un espace de dimension2. aucune notion de dualité est introduite. Par contre apres et apres seulement je peux construire un spineur covariant. Ce qui prouve que la dualité est secondaire.

C'est pourquoi il y a une très profonde différence entre la logique mathématicienne et le la logique "physicienne".

En physique la phrase clef est:


[....se transforme comme.....]

Il suffit de remplir les pointillés en fonction des circonstances.

dans cette phrase la dualité n'est pas présente.

Remarque très importante:

Dans les ouvrages de mathématiques on explique que l'on peut assimiler un vecteur contravariant et un vecteur covariant des lors que l'on définit une métrique par une forme bilinéaire symétrique. Dans ce langage il n'y a qu'un vecteur et 2 jeux de composantes. en quelquesorte la métrique abolit la dualité. En fait ceci est tout à fait inutile et n'a rien bien sûr strictement rien à voir avec l'absence de dualité dont je parle.

Tu pourrais remplacer le mot tenseur par "torpeur" ça ne changerait rien aux mathematiques que tu écris.

Entièrement d'accord. On pourrait remplacer également le mot tenseur par torpeur dans tous les livres mathématiques.

En particulier je trouve qu'on ne comprends vraiment ce que fait un produit tensoriel que lorsqu'on voit que l'action d'un produit tensoriel comme l'action d'une forme bilinéaire spécifique sur deux vecteurs d'un espace vectoriel donné.

Cette phrase montre que les choses ne sont pas claires:

Le produit tensoriel X*Y est un tenseur (contravariant)
La forme bilinéaire F est un tenseur (covariant)

Le produit scalaire de ces 2 tenseurs est la valeur de la forme au point (X,Y)

Par ailleurs le critère de tensorialité n'est évoqué nul part et est quand même d'une importance pratique indéniable lorsqu'on débute (comme moi).

C'est exactement le contraire. Ma stratégie pédagogique c'est de mettre en évidence le comportement dans un changement de base d'un tenseur (voir ma démonstration) alors que les ouvrages de mathématiques mettent en avant la notion d'applications dans un ensemble (les formes).

En physique on écrit par exemple qu'une forme bilinéaire doit rester invariante par changement de base cad une expression = une autre avec des primes partout. La valeur que prend la forme, on s'en fout.

Par exemple les 4 matrices de Dirac sont nécessairement un tenseur contravariant de rang1 parceque les 4 dérivées partielles forment un tenseur covariant de rang1 et que le produit doit être invariant. La valeur prend la forme bilinéaire n'existe pas. La forme même n'est pas écrite puique l'on extrait le seul produit scalaire (la contraction)Seul compte le comportement relatif des 2 tenseurs par changement de base (cad le groupe de Lorentz)

Un exercice classique en géométrie differentielle consistant à montrer précisément que la dérivée partielle d'un tenseur n'est pas toujours un tenseur (je n'ai pas précisé le rang du tenseur dont je parle), ce qui conduit naturellement à la notion de dérivation covariante.

Exactement. La philosophie générale des tenseurs c'est de construire à partir d'espaces vectoriels élémentaires d'autres espaces vectoriels ou les nouveau vecteurs doivent avoir un comportement définit par changement de base. Ceci est entièrement vrai non seulement pour la machinerie des groupes en quantique etc.. mais vrai également pour la géométrie différentielle.

Quelle est la philosophie de la dérivée covariante?

Un vecteur (donc un tenseur) est une notion intrinsèque qui ne dépend d'aucune base. C'est par exemple la vitesse du vent. Si on veut décrire mathématiquement la vitesse du vent dans un point voisin on a la notion de dérivée. L'expression de cette dérivée ne doit pas dépendre des bases utilisées autrement dit l'expression doit être indépendante d'un changement de base.

La dérivée covariante devient indispensable dans un système de coordonnées curvilignes ou il faut gérer simultanément la véritable évolution du champ de vecteurs et l'évolution des repères locaux qui change les composantes alors que le champ est constant.

Comme tu le sais ce genre de considérations est très importante car d'utilité aussi bien RG qu'en théorie de jauge en TQC.

Derriere cela il y a les espaces fibrés qui consiste a attaché à chaque point une variété que l'on appelle la base (qui peut-être un groupe) une même géométrie (cad un groupe depuis Erlangen) que l'on appelle la fibre Ensuite il faut attacher les fibres cad définir une connexion.


Tout cela définit un nouveau espace géométrique dont le caractère intrinsèque se décrit en tenseurs. Il est facile de voir que toute formalisation doit se faire dans la philosophie des tenseurs cad d'objets qui se transforment les uns les autres d'une certaine façon. Là encore comme toujours la dualité est secondaire (ce qui ne veut pas dire inutile).

[ù100fil]

Bonsoir mariposa

On ne peut te reprocher ton opiniâtreté qui en font une de tes qualités

Pour le reste je pense que l'on a affaire à un tenseur tension

Patrick

[ClairEsprit]

Bonsoir,

j'ai tendance à penser qu'il faut laisser expliquer les tenseurs et les spineurs aux mathématiciens dans le cadre le plus général connu. Eux seuls savent le faire avec la rigueur nécessaire et qui semble couler de source. Après, s'il doit y avoir des approches fructueuses et des angles d'attaques différents pour le physicien, il est intéressant d'avoir le point de vue de personnes qui ont passé beaucoup de leur temps et de leur énergie sur le sujet. Il doit donc y avoir quelque chose à traduire de tout cela qui aurait peut-être comme meilleur ferment un terrain exclusivement physique.

[mariposa]

Bonsoir,

j'ai tendance à penser qu'il faut laisser expliquer les tenseurs et les spineurs aux mathématiciens dans le cadre le plus général connu. Eux seuls savent le faire avec la rigueur nécessaire et qui semble couler de source. Après, s'il doit y avoir des approches fructueuses et des angles d'attaques différents pour le physicien, il est intéressant d'avoir le point de vue de personnes qui ont passé beaucoup de leur temps et de leur énergie sur le sujet. Il doit donc y avoir quelque chose à traduire de tout cela qui aurait peut-être comme meilleur ferment un terrain exclusivement physique.

Bonjour,

On pourrait penser que ce que tu écris est tout à fait pertinent puisque par définition (dans l'idéal) un mathématicien a vocation à dire les choses justes.

Demande à un mathématicien de trouver les formes des opérateurs O qui representent l'action entre 2 representations irréductibles G1 et G2 d'un groupe discret G qui soient linéaires relativement à tous les tenseurs de contraintes et couplant les effets du spin-orbite dérivant d'un calcul de perturbation au second ordre.

Tu pourras passer ta vie entière à trouver le mathématicien à même de résoudre ce problème. Pourquoi?

Parcequ'il y a un gap énorme entre la théorie et les applications à la physique. Mieux vaut que la TRG soit enseignée par un physicien ayant pratiqué la TRG car un physicien n'ayant pas pratiqué la TRG ne sera pas capable de faire un enseignement pertinent.

En effet enseigner un corpus théorique implique faire des choix. A coup sur un mathématicien et un physicien feront des choix différents.

Prend n'importe quel cours de mathématiques sur les tenseurs et tu constateras par toi-même que les groupes sont absents. Cela veut dire, que pour le mathématicien, l'introduction des groupes ne sont pas pertinents. Pour un physicien c'est ultra fondamental et beaucoup d'entre eux ne l'ont pas encore perçus. Par exemple cela permet de démontrer qu'un tenseur de rang 2 engendre une representation réductible et se décompose systèmatiquement en 3 tenseurs irréductibles. Ce schéma de pensée doit devenir un réflexe en TRG.

Par ailleurs j'ai effectué ci-dessus une démonstration selon la logique mathématicienne et montré que la dualité est secondaire pour comprendre les tenseurs. "MA" méthode, je le reconnais volontiers, est en tous points identiques à celle de Landau et de Feymann (2 prix Nobel de physique). Autant que je sache ni l'un ni l'autre n'étaient mathématiciens.

[vaincent]

Bonjour,

Le but réel de ce fil, comme toutes les interventions sur les tenseurs que j'effectue depuis 3 ans est de mieux comprendre les tenseurs, ou plus exactement de comprendre autrement et plus généralement la TRG dans une logique autre que celle présentée dans les ouvrages mathématiques. La raison de cela est fondée sur ma propre expérience ou j'ai permis das ma vie profesionnelle à nombre de gens de décoller en TRG. J'ai pu constater que les gens butent sur la TRG parce qu'ils ne comprennent en pratique les tenseurs et cette incompréhension découle de la définition d'un tenseur comme forme bilinéaire.

Par ailleurs je n'ai pas fuit le fil que tu cites. C'est exactement le contraire. Après être intervenu il y a de nombreuses réactions contre mon intervention, mais aucune proposition alternative à "MA" définition. Donc j'attends toujours dans ce fil des propositions constructives en lieu et place de la polémique.



Au contraire "MA" définition d'un tenseur est claire et simple. Il s'agit de fabriquer un nouveau vecteur à partir d'autres vecteurs appartenant à des espaces vectoriels différents en utilisant une opération de composition appelée produit tensoriel. C'est aussi simple que çà. C'est notamment ainsi que l'on introduit le produit tensoriel en MQ et certainement pour noyé l' étudiant on appelle çà état intriqué

Quel est la différence entre l'approche "mathématique" et l'approche "physicienne".

APPROCHE MATHEMATIQUE

1- Forme linéaire.

En mathématique on commence par la forme linéaire comme application d'un espace vectoriel sur le corps des réels.

Matriciellement (en composantes) il s'agit du produit d"un vecteur" ligne à gauche par un "vecteur" colonne à droite.

Dans les notations de MQ on écrit:

f(X,Y) = <Y|X>

On voit que |X> et <Y| n'appartiennent pas au même espace car tout simplement on ne peut pas additionner une matrice ligne et une matrice colonne.

C'est pourquoi au vecteur |X> on associe un vecteur jumeau hétérozygote que l'on note <X|. Pour distinguer les jumeaux hétérozygote l'un |X> sera appelé vecteur contravariant l'autre <X|vecteur covariant. Ils sont duals , cad jumeaux.

Entre un vecteur n lignes et un vecteur n colonnes on peut injecter une matrice carré n lignes n colonnes soit:

<Y|A|X> que l'on peu calculer de 2 façons selon les régles de manipulations des matrices

Soit:

<Y|.....A|X> ou A agit à droite

Soit:

<Y|A....|X> ou A agit à gauche.


Prenons A = I = [M-1].[M] ou [M-1] est la matrice inverse de M

On a donc:

f(X,Y) = <Y|X> = <Y| [M-1].[M] |X>

Si M represente un changement de base alors les composantes de <Y| se transforment à l'inverse des composantes de |X> ce qui justifie les appelations vecteurs contravariants et vecteurs covariants.

2- Forme bilinéaire et tenseurs.


Reprenons la multiplication matricielle précédente mais en mettant le vecteur n lignes à droite et le vecteur n colonnes à gauche et soit |V> et |W> ces 2 vecteurs pour ne pas les confondre avec ce qui est dit plus haut. La régle de multiplication des matrices donnent une matrice carré qui définit un nouveau vecteur à n2 composantes. Celui s'écrit:

|Z> = |V>*|W>

* est ici le symbole du prosuit tensoriel

Ce vecteur est par anticipation est un vecteur contravariant (voir ci-dessous)

Je peux définir une forme linéaire comme précedemment. Soit:

<T|Z>

Où T est un vecteur covariant.

Explicitement

<T| |V>*|W>

qqui souligne que la forme linéaire est séparemment linéaire par rapport à |V> et par rapport à |W>

En appliquant la régle de multiplication des matrices (je change seulement l'ordre du calcul on peut écrire:


<V| [T] |W>

Injections la matrice unité I = [M-1][M]

<V|[M-1][M][T][M-1][M]|W>

Cela veut dire que le produit est invariant

|V> devient M|V>
|W> devient M|W>

[T] devient [M-1][M][T]

Cela veut surtout dire que:

|T> se transforme comme le produit M.M |V>*|W> pour conserver la valeur de la forme bilinéaire. Dans un jargon professionnel on dit que |T > se transforme comme 2 fois |V> ou comme 2 fois |W>


En guise de bilan:


1- Les démonstrations ci-dessus est purement mathématique dans le sens ou aucune notion de physique existe.

2- J'utilise les notations de MQ ce qui presente l'avantage de faire un cours sur les tenseurs tout pret pour la MQ.

3- En plus j'utilise la technique d'injection des opérateurs unité ce qui me pemet de ne pas manipuler d'indices. Par ailleurs les notions de matrices, supposées connues, fonctionnent en arrière plan, mais en aucune façon j'effectue des calculs sur indices. J'utilise les matrices en arrière plan en jouant uniquement sur l'ordre dans lequel j'effectue les manipulations de matrices. Donc struturellement la philosophie des tenseurs se passent d'indice pour les mêmes raisons qu'un produit scalaire du lycée V.W se passent d'indices.

4- En définisant la notion de jumeau hétérozygote j'aurais pu préciser que rien ne change en travaillant sur le corps des complexes. Dans ce cas le jumeau est constitué d'une matrice ligne ou les composantes sont les complexes conjugués.

5- En travaillant dès le départ sur le corps des complexes les matrices M appartiennent à GL(n,C) et non à GL(n,R) comme le plus souvent effectué. Cette pédagogie mathématique devient nativement une obstruction pour comprendre qu'un spineur (le spineur élémentaire) est un tenseur définit à partir d'une forme bilinéaire spécifique.

6- Dans la foulée il serait facile de montrer comme décomposer un espace tensoriel en sous-espace invariant ce qui est une entrée logique à la TRG. Comme je l'ai écrit moult fois, tenseurs, spineurs ggroupes et TRG c'est la même chose.



APPROCHE MATHEMATIQUE POUR LA PHYSIQUE:

L'idée est simple:

Je définit des le départ la notion de produit tensoriel de |V> et |W> pour former un vecteur |V>*|W> et donc un nouvel espace vectoriel (dans le langage mathématique il s'agit de 2 vecteurs contravariants qui donne un nouveau vecteur contravariant).

Mais attention il n' y aucune notion de dualité. On peut s'en passer largement (ce qui ne veut pas dire qu'elle inutile). On note que c'est ainsi que l'on introduit les choses en MQ. sauf que le tenseur s'appelle état imbriqué!!!!!! Une expression complètement inutile qui brouille les choses comme les particules virtuelles et autres gadgets sémantiques.

Si tu suit "MA" démonstration j'explique ce qu'est un spineur comme un simple produit tensoriel de 2 vecteurs d'un espace de dimension2. aucune notion de dualité est introduite. Par contre apres et apres seulement je peux construire un spineur covariant. Ce qui prouve que la dualité est secondaire.

C'est pourquoi il y a une très profonde différence entre la logique mathématicienne et le la logique "physicienne".

En physique la phrase clef est:


[....se transforme comme.....]

Il suffit de remplir les pointillés en fonction des circonstances.

dans cette phrase la dualité n'est pas présente.

Remarque très importante:

Dans les ouvrages de mathématiques on explique que l'on peut assimiler un vecteur contravariant et un vecteur covariant des lors que l'on définit une métrique par une forme bilinéaire symétrique. Dans ce langage il n'y a qu'un vecteur et 2 jeux de composantes. en quelquesorte la métrique abolit la dualité. En fait ceci est tout à fait inutile et n'a rien bien sûr strictement rien à voir avec l'absence de dualité dont je parle.





Entièrement d'accord. On pourrait remplacer également le mot tenseur par torpeur dans tous les livres mathématiques.



Cette phrase montre que les choses ne sont pas claires:

Le produit tensoriel X*Y est un tenseur (contravariant)
La forme bilinéaire F est un tenseur (covariant)

Le produit scalaire de ces 2 tenseurs est la valeur de la forme au point (X,Y)



C'est exactement le contraire. Ma stratégie pédagogique c'est de mettre en évidence le comportement dans un changement de base d'un tenseur (voir ma démonstration) alors que les ouvrages de mathématiques mettent en avant la notion d'applications dans un ensemble (les formes).

En physique on écrit par exemple qu'une forme bilinéaire doit rester invariante par changement de base cad une expression = une autre avec des primes partout. La valeur que prend la forme, on s'en fout.

Par exemple les 4 matrices de Dirac sont nécessairement un tenseur contravariant de rang1 parceque les 4 dérivées partielles forment un tenseur covariant de rang1 et que le produit doit être invariant. La valeur prend la forme bilinéaire n'existe pas. La forme même n'est pas écrite puique l'on extrait le seul produit scalaire (la contraction)Seul compte le comportement relatif des 2 tenseurs par changement de base (cad le groupe de Lorentz)



Exactement. La philosophie générale des tenseurs c'est de construire à partir d'espaces vectoriels élémentaires d'autres espaces vectoriels ou les nouveau vecteurs doivent avoir un comportement définit par changement de base. Ceci est entièrement vrai non seulement pour la machinerie des groupes en quantique etc.. mais vrai également pour la géométrie différentielle.

Quelle est la philosophie de la dérivée covariante?

Un vecteur (donc un tenseur) est une notion intrinsèque qui ne dépend d'aucune base. C'est par exemple la vitesse du vent. Si on veut décrire mathématiquement la vitesse du vent dans un point voisin on a la notion de dérivée. L'expression de cette dérivée ne doit pas dépendre des bases utilisées autrement dit l'expression doit être indépendante d'un changement de base.

La dérivée covariante devient indispensable dans un système de coordonnées curvilignes ou il faut gérer simultanément la véritable évolution du champ de vecteurs et l'évolution des repères locaux qui change les composantes alors que le champ est constant.





Derriere cela il y a les espaces fibrés qui consiste a attaché à chaque point une variété que l'on appelle la base (qui peut-être un groupe) une même géométrie (cad un groupe depuis Erlangen) que l'on appelle la fibre Ensuite il faut attacher les fibres cad définir une connexion.


Tout cela définit un nouveau espace géométrique dont le caractère intrinsèque se décrit en tenseurs. Il est facile de voir que toute formalisation doit se faire dans la philosophie des tenseurs cad d'objets qui se transforment les uns les autres d'une certaine façon. Là encore comme toujours la dualité est secondaire (ce qui ne veut pas dire inutile).

Bonjour,

je pense que tes posts ne sont profitable qu'à toi. Logique puisque c'est un monologue....

[stefjm]

Bonjour,

je pense que tes posts ne sont profitable qu'à toi. Logique puisque c'est un monologue....

Ils profitent aussi à ceux qui les lisent sans pour autant intervenir.
Merci Mariposa.

[mariposa]

Ils profitent aussi à ceux qui les lisent sans pour autant intervenir.
Merci Mariposa.

Merci beaucoup. t'inquiètes pas je suis très loin de lâcher le morceau.

Je te renvoie le compliment.

[vaincent]

Ils profitent aussi à ceux qui les lisent sans pour autant intervenir.
Merci Mariposa.

Bonjour,

je te conseilles plutôt d'ouvrir un bon livre, cela te sera largement plus profitable, car les posts de mariposa (sur ces sujets uniquement, bien sûr en physique du solide c'est un spécialiste) sont très souvent incorrect et ne montrent qu'une vision très subjective du domaine. Cela manque cruellement de recul, donc c'est très mal expliqué (voir faux) comme l'a mainte et mainte fois remarqué Rincevent.

[mariposa]

Bonjour,

je pense que tes posts ne sont profitable qu'à toi. Logique puisque c'est un monologue....

Bonjour,

1-Je prend l'initiative de lancer un fil sur le thème tenseurs, spin, groupes et physique atomique pour argumenter, entre autres, sur la différence entre l'approche "mathématicienne" et "physicienne".

2- Pour éviter la polémique je propose un exercice concret fondé sur une culture commune à tous les étudiants en physique. Pourquoi personne ne répond?

Je pose une question. Le monologue est créé par ceux qui s'abstiennent de répondre (à tord ou à raison). Tu fais partie des gens qui créé le monologue par ta propre abstention et plus encore en intervenant pour dire que c'est un monologue.

Rappel: Sur un autre fil j'ai expliqué le rapport entre spineurs et tenseurs le plus simplement possible (dans la limite de mes compétences). Cela a donné lieu à un tirage d'insultes. En attendant personne n'a proposé d'autres explications. La critique est facile mais l'art est difficile. La pédagogie est un art qui se maîtrise comme tous les arts avec le temps. Avec mes 60 ans je suis peut-être un ringard (c'est le point de vue de Rincevent) mais j'ai le privilège du temps et d'avoir vu une foule de gens ignorer ou croire avoir compris la TRG.

En bref intervenir pour parler de monologue, cela n'est pas constructif.

PS: Je pars en vacances demain, j'espère que d'ici à fin aôut il y aura eu des interventions pertinentes, ou non.

[stefjm]

je te conseilles plutôt d'ouvrir un bon livre, cela te sera largement plus profitable, car les posts de mariposa (sur ces sujets uniquement, bien sûr en physique du solide c'est un spécialiste) sont très souvent incorrect et ne montrent qu'une vision très subjective du domaine. Cela manque cruellement de recul, donc c'est très mal expliqué (voir faux) comme l'a mainte et mainte fois remarqué Rincevent.

Je lis aussi Rincevent et j'ai ma propre formation.
Conseiller un livre sur un forum me parait bizarre.
Si je veux m'acheter un livre, je le fais, mais j'ai toujours du mal à discuter avec mon livre. (Comme je suis un poète, cela m'arrive aussi, mais on me prend alors pour un fou...)

Bonnes vacances à Mariposa.

Edit : @Vaincent : Sur usenet, on disait "quoter comme un goret" à propos des personnes qui citent tout un texte et qui commentent d'une ligne hors sujet...

[invite34596000666]

PS: Je pars en vacances demain, j'espère que d'ici à fin aôut il y aura eu des interventions pertinentes, ou non.

Tu pars en vacances 2 mois ?!

[mariposa]

Tu pars en vacances 2 mois ?!

Je suis à la retraite et donc dans des vacances éternelles. Ma femme est prof de français et donc je suis en vacances scolaires. Toutefois j'ai un netboook et un iphone et il se pourrait que j'intervienne à tout moment, ne serait-ce que pour faire face à une campage de dénigrement. Non je ne suis pas parano