Tenseurs, spin, groupes et physique atomique

[invite7ce6aa19]

Bonjour,


Je relance une discussion sur le même thème des tenseurs avec la même intention que le fil spineurs et tenseurs. Pour éviter toute polémique je centre le débat sur un problème de physique très concret et bien connu dès lors que l'on fait ses tous premiers en MQ et en physique atomique. Les connaissances requises sont largement partagées sur les habitués de Futura

Le problème de référence:

Il s'agit d'un électron dans un potentiel central situé dans une orbitale P cad dans une orbitale 3 fois dégénérée (potentiel central pour éviter l'atome d'hydrogène qui est très particulier à cause du potentiel en 1/r).

Ceci est particulièrement simple et suffisant pour démontrer et illustrer d'une manière générale l'essence des tenseurs.

Dans le langage des chimistes on représente 3 cases quantiques dans lesquelles on peut placer un électron avec 2 options spin up et spin down. le niveau d'énergie est donc 3*2 = 6 fois dégénérés.

Dans le langage quantique cet état est décrit par le produit tensoriel de 2 espaces soit:

[|Px>, |Py>, |Pz>] T* [ |u>, |d>]

Avec H|Px> = E.|Px> même chose avec y,z

Le résultat d'un produit tensoriel directe est un tenseur qui est un vecteur propre de H. Ces 6 produits étant dégénérés alors n'importe qu'elle combinaison linéaire est solution propre de l'Hamiltonien.

L'usage en MQ est d'appeler un tel tenseur une spin-orbitale.


Comment se comporte un tel tenseur dans un changement de base:

Soit le changement de base:

(x,y,z) devient (x', y', z')

Ce changement de base définit un élement d'une représentation standard g du groupe O(3) cad une matrice 3*3

Comme [H,G]= 0

Les G sont des représentations quelconques du groupe O(3) de la sphère. Les changements de base vont donc engendrer une représentation de dimension 6 du groupe O(3) cad un jeu de matrices 6*6.

Cette représentation est-elle réductible?

La réponse est oui. En effet on sait qu'un produit tensoriel de vecteurs qui sous-tendent des représentations d'un groupe est une représentation qui peut se décomposer en représentations irréductibles du groupe.

La règle bien connue pour le groupe O(3) est:

S1 T* S2 = |S1-S2| (+) |S1-S2|+ 1 (+) + ...... S1 + S2

Dans ces notations T* signifie produit tensoriel et (+) signifie somme directe.

Dans notre cas on a:

1 T* 1/2 = 1/2 (+) 3/2

La dimension de l'espace est bien conservée on a bien:

3 T*2 = 6 = 2 (+) 4

Ainsi le sous-espace 6 fois dégénérés est en fait 2 sous-espaces propres invariants? Est-ce normal? que cela signifie-t-il?

Avant de revenir sur cette question je voudrais faire un petit bilan provisoire.


Un premier bilan:

1- Tout ce qui a été fait ci-dessus est purement tensorielle.

2- Pourtant il n'y aucune notion de dualité et donc aucune notion de covariance et de contravariance. Pour les mêmes raisons il est impossible de faire apparaitre la notion de forme bilinéaire et donc de tenseurs telle que l'on peut les trouver dans les cours de maths. Et pourtant nous avons manipulés des tenseurs, rien que des tenseurs.

3- on notera le mélange de genre. Les 2 espaces n'ont pas la même dimension. En plus les transformations agissent différemment sur l'espace {P} et sur l'espace {S}. Çà "tourne" 2 fois plus vite pour le premier que pour le second.

En effet dans le langage "commun" le premier est un tenseur de rang 1 le deuxième un spineur de rang 1. Ou encore dans un autre langage (plus subtil) le premier est un spineur symétrique de rang 2 le deuxième un spineur de rang1.

4- On observera que les propriétés de changement de base sont manipulés sans aucune notion d'indice. Pour se rendre compte de la performance que représente la TRG il suffit d'essayer de reproduire le raisonnement en introduisant des indices. Il suffit de se rencontre qu'un élément de matrice de la transformation porte 8 indices!!! Bon courage. Ceci pour dire que la manipulation des tenseurs sans indices n'est en rien une propriété de la géométrie différentielle.

en conclusion partielle je ferais remarquer avec insistance que:

A- le concept fondamental des tenseurs ce sont leurs propriétés par changement de base:

Dit moi comment tu te comportes dans un changement de base et je te dirais qui tu es.

. On voit aussi sur cet exemple la distance gigantesque qu'il y a entre un cours de math fondé sur la dualité (les formes) et un cours de physique pour laquelle la dualité n'est loin d'être première.

B- En plus les cours de maths travaillent dans leur introduction sur le corps des réels alors qu'ici on travaille sans gène sur le corps des complexes.

C- La TRG (Théorie de la Représentation des Groupes) est intrinsèquement liée aux tenseurs et au spineurs nativement ce qui n'est pas le cas des cours de maths ou les groupes n'apparaissent pas explicitement.

D- Il est facile de comprendre pourquoi les étudiants ne peuvent faire le rapprochement entre un cours de maths sur les tenseurs et un cours de MQ alors que sur le fond c'est la même chose.

Retour sur la levée de dégénérescence:

La TRG nous dit que le sous-espace invariant initial de dimension 6 se décompose en 2 sous-espaces invariants de dimension 2 et 4.

Je pose la question: Pourquoi cette "contracdiction" apparente?

Quelle est la réponse standard?

Comme le problème est très simple certains d'entre vous donnerons une réponse connue (que j'appellerais ici réponse standard) ne serait-ce qu'en prenant le premier livre de MQ.

Je laisse donc à partir de cette question le problème ouverte.

Des réponses plus originales?

En fait il existe un grand nombre de réponse possibles. Ce qui devient intéressant est de trouver d'autres réponses (au moins 2 autres) que la réponse standard.

Si vous ne voyez les réponses possibles, n'hésitez pas à poser la question a votre prof de MQ ou mieux à votre prof de maths. Il serait intéressant de connaître le temps pris pour les réponses. A partir de 3 secondes, c'est vraiment très lent!!
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[invite93279690]

Salut,

Je ne comprends mariposa. Quel est le but réel de ce fil ? Les éventuels participants vont être les mêmes que d'habitude et plus particulièrement les mêmes que tu sembles avoir "fuit" sur un fil que tu estimes "pollué".

Juste pour donner une opinion d'amateur juste sur le début de ta défence (le reste c'est juste un monologue sans aucune question)

Tout ce qui a été fait ci-dessus est purement tensorielle.

2- Pourtant il n'y aucune notion de dualité et donc aucune notion de covariance et de contravariance. Pour les mêmes raisons il est impossible de faire apparaitre la notion de forme bilinéaire et donc de tenseurs telle que l'on peut les trouver dans les cours de maths. Et pourtant nous avons manipulés des tenseurs, rien que des tenseurs.

Mais tu ne définis pas vraiment de façon claire ce qu'est un tenseur.
En fait la racine tenseur apparait la première fois comme définition dans "produit tensoriel"....la belle affaire.

Tu pourrais remplacer le mot tenseur par "torpeur" ça ne changerait rien aux mathematiques que tu écris.

En particulier je trouve qu'on ne comprends vraiment ce que fait un produit tensoriel que lorsqu'on voit que l'action d'un produit tensoriel comme l'action d'une forme bilinéaire spécifique sur deux vecteurs d'un espace vectoriel donné.

Par ailleurs le critère de tensorialité n'est évoqué nul part et est quand même d'une importance pratique indéniable lorsqu'on débute (comme moi). Un exercice classique en géométrie differentielle consistant à montrer précisément que la dérivée partielle d'un tenseur n'est pas toujours un tenseur (je n'ai pas précisé le rang du tenseur dont je parle), ce qui conduit naturellement à la notion de dérivation covariante. Comme tu le sais ce genre de considérations est très importante car d'utilité aussi bien RG qu'en théorie de jauge en TQC.

[invite8ef897e4]

Bonjour,

j'ai peur que ceux qui peuvent repondre n'ait guere d'interet a le faire. Historiquement, les physiciens plus que les mathematiciens ont vecu une profonde difference entre les objets esthetiques, simples et faciles a se representer que sont les tenseurs : ces archetypes de la magnifique relativite. Et d'un autre cote, les spineurs, qui sortent un peu de nul part, que l'on n'arrive certainement pas a se representer la premiere fois que l'on est confronte a eux, je veux dire : dont la reputation a contredire l'intution va parfaitement bien avec la mecanique quantique.

Maintenant, que les deux soient intimement lies, certes. Que l'on puisse jouer le jeu a definir artificiellement l'un comme etant plus fondamental que l'autre, certes. Mais nier le schisme historique evident decrit plus haut et sans doute vecu par bien de etudiants, et se placer en opposition de la majorite y compris au sein de la communaute que l'on partage quotidiennement sur internet, et ceux pour un but plus qu'obscur pour tout le monde, ca c'est vraiment fascinant. Le fond du probleme aborde est anecdotique. La forme dans laquelle les evenements evoluent est romanesque.

[invite7ce6aa19]

Salut,

Je ne comprends mariposa. Quel est le but réel de ce fil ? Les éventuels participants vont être les mêmes que d'habitude et plus particulièrement les mêmes que tu sembles avoir "fuit" sur un fil que tu estimes "pollué".

Bonjour,

Le but réel de ce fil, comme toutes les interventions sur les tenseurs que j'effectue depuis 3 ans est de mieux comprendre les tenseurs, ou plus exactement de comprendre autrement et plus généralement la TRG dans une logique autre que celle présentée dans les ouvrages mathématiques. La raison de cela est fondée sur ma propre expérience ou j'ai permis das ma vie profesionnelle à nombre de gens de décoller en TRG. J'ai pu constater que les gens butent sur la TRG parce qu'ils ne comprennent en pratique les tenseurs et cette incompréhension découle de la définition d'un tenseur comme forme bilinéaire.

Par ailleurs je n'ai pas fuit le fil que tu cites. C'est exactement le contraire. Après être intervenu il y a de nombreuses réactions contre mon intervention, mais aucune proposition alternative à "MA" définition. Donc j'attends toujours dans ce fil des propositions constructives en lieu et place de la polémique.

Mais tu ne définis pas vraiment de façon claire ce qu'est un tenseur.
En fait la racine tenseur apparait la première fois comme définition dans "produit tensoriel"....la belle affaire.

Au contraire "MA" définition d'un tenseur est claire et simple. Il s'agit de fabriquer un nouveau vecteur à partir d'autres vecteurs appartenant à des espaces vectoriels différents en utilisant une opération de composition appelée produit tensoriel. C'est aussi simple que çà. C'est notamment ainsi que l'on introduit le produit tensoriel en MQ et certainement pour noyé l' étudiant on appelle çà état intriqué

Quel est la différence entre l'approche "mathématique" et l'approche "physicienne".

APPROCHE MATHEMATIQUE

1- Forme linéaire.

En mathématique on commence par la forme linéaire comme application d'un espace vectoriel sur le corps des réels.

Matriciellement (en composantes) il s'agit du produit d"un vecteur" ligne à gauche par un "vecteur" colonne à droite.

Dans les notations de MQ on écrit:

f(X,Y) = <Y|X>

On voit que |X> et <Y| n'appartiennent pas au même espace car tout simplement on ne peut pas additionner une matrice ligne et une matrice colonne.

C'est pourquoi au vecteur |X> on associe un vecteur jumeau hétérozygote que l'on note <X|. Pour distinguer les jumeaux hétérozygote l'un |X> sera appelé vecteur contravariant l'autre <X|vecteur covariant. Ils sont duals , cad jumeaux.

Entre un vecteur n lignes et un vecteur n colonnes on peut injecter une matrice carré n lignes n colonnes soit:

<Y|A|X> que l'on peu calculer de 2 façons selon les régles de manipulations des matrices

Soit:

<Y|.....A|X> ou A agit à droite

Soit:

<Y|A....|X> ou A agit à gauche.


Prenons A = I = [M-1].[M] ou [M-1] est la matrice inverse de M

On a donc:

f(X,Y) = <Y|X> = <Y| [M-1].[M] |X>

Si M represente un changement de base alors les composantes de <Y| se transforment à l'inverse des composantes de |X> ce qui justifie les appelations vecteurs contravariants et vecteurs covariants.

2- Forme bilinéaire et tenseurs.


Reprenons la multiplication matricielle précédente mais en mettant le vecteur n lignes à droite et le vecteur n colonnes à gauche et soit |V> et |W> ces 2 vecteurs pour ne pas les confondre avec ce qui est dit plus haut. La régle de multiplication des matrices donnent une matrice carré qui définit un nouveau vecteur à n2 composantes. Celui s'écrit:

|Z> = |V>*|W>

* est ici le symbole du prosuit tensoriel

Ce vecteur est par anticipation est un vecteur contravariant (voir ci-dessous)

Je peux définir une forme linéaire comme précedemment. Soit:

<T|Z>

Où T est un vecteur covariant.

Explicitement

<T| |V>*|W>

qqui souligne que la forme linéaire est séparemment linéaire par rapport à |V> et par rapport à |W>

En appliquant la régle de multiplication des matrices (je change seulement l'ordre du calcul on peut écrire:


<V| [T] |W>

Injections la matrice unité I = [M-1][M]

<V|[M-1][M][T][M-1][M]|W>

Cela veut dire que le produit est invariant

|V> devient M|V>
|W> devient M|W>

[T] devient [M-1][M][T]

Cela veut surtout dire que:

|T> se transforme comme le produit M.M |V>*|W> pour conserver la valeur de la forme bilinéaire. Dans un jargon professionnel on dit que |T > se transforme comme 2 fois |V> ou comme 2 fois |W>


En guise de bilan:


1- Les démonstrations ci-dessus est purement mathématique dans le sens ou aucune notion de physique existe.

2- J'utilise les notations de MQ ce qui presente l'avantage de faire un cours sur les tenseurs tout pret pour la MQ.

3- En plus j'utilise la technique d'injection des opérateurs unité ce qui me pemet de ne pas manipuler d'indices. Par ailleurs les notions de matrices, supposées connues, fonctionnent en arrière plan, mais en aucune façon j'effectue des calculs sur indices. J'utilise les matrices en arrière plan en jouant uniquement sur l'ordre dans lequel j'effectue les manipulations de matrices. Donc struturellement la philosophie des tenseurs se passent d'indice pour les mêmes raisons qu'un produit scalaire du lycée V.W se passent d'indices.

4- En définisant la notion de jumeau hétérozygote j'aurais pu préciser que rien ne change en travaillant sur le corps des complexes. Dans ce cas le jumeau est constitué d'une matrice ligne ou les composantes sont les complexes conjugués.

5- En travaillant dès le départ sur le corps des complexes les matrices M appartiennent à GL(n,C) et non à GL(n,R) comme le plus souvent effectué. Cette pédagogie mathématique devient nativement une obstruction pour comprendre qu'un spineur (le spineur élémentaire) est un tenseur définit à partir d'une forme bilinéaire spécifique.

6- Dans la foulée il serait facile de montrer comme décomposer un espace tensoriel en sous-espace invariant ce qui est une entrée logique à la TRG. Comme je l'ai écrit moult fois, tenseurs, spineurs ggroupes et TRG c'est la même chose.



APPROCHE MATHEMATIQUE POUR LA PHYSIQUE:

L'idée est simple:

Je définit des le départ la notion de produit tensoriel de |V> et |W> pour former un vecteur |V>*|W> et donc un nouvel espace vectoriel (dans le langage mathématique il s'agit de 2 vecteurs contravariants qui donne un nouveau vecteur contravariant).

Mais attention il n' y aucune notion de dualité. On peut s'en passer largement (ce qui ne veut pas dire qu'elle inutile). On note que c'est ainsi que l'on introduit les choses en MQ. sauf que le tenseur s'appelle état imbriqué!!!!!! Une expression complètement inutile qui brouille les choses comme les particules virtuelles et autres gadgets sémantiques.

Si tu suit "MA" démonstration j'explique ce qu'est un spineur comme un simple produit tensoriel de 2 vecteurs d'un espace de dimension2. aucune notion de dualité est introduite. Par contre apres et apres seulement je peux construire un spineur covariant. Ce qui prouve que la dualité est secondaire.

C'est pourquoi il y a une très profonde différence entre la logique mathématicienne et le la logique "physicienne".

En physique la phrase clef est:


[....se transforme comme.....]

Il suffit de remplir les pointillés en fonction des circonstances.

dans cette phrase la dualité n'est pas présente.

Remarque très importante:

Dans les ouvrages de mathématiques on explique que l'on peut assimiler un vecteur contravariant et un vecteur covariant des lors que l'on définit une métrique par une forme bilinéaire symétrique. Dans ce langage il n'y a qu'un vecteur et 2 jeux de composantes. en quelquesorte la métrique abolit la dualité. En fait ceci est tout à fait inutile et n'a rien bien sûr strictement rien à voir avec l'absence de dualité dont je parle.

Tu pourrais remplacer le mot tenseur par "torpeur" ça ne changerait rien aux mathematiques que tu écris.

Entièrement d'accord. On pourrait remplacer également le mot tenseur par torpeur dans tous les livres mathématiques.

En particulier je trouve qu'on ne comprends vraiment ce que fait un produit tensoriel que lorsqu'on voit que l'action d'un produit tensoriel comme l'action d'une forme bilinéaire spécifique sur deux vecteurs d'un espace vectoriel donné.

Cette phrase montre que les choses ne sont pas claires:

Le produit tensoriel X*Y est un tenseur (contravariant)
La forme bilinéaire F est un tenseur (covariant)

Le produit scalaire de ces 2 tenseurs est la valeur de la forme au point (X,Y)

Par ailleurs le critère de tensorialité n'est évoqué nul part et est quand même d'une importance pratique indéniable lorsqu'on débute (comme moi).

C'est exactement le contraire. Ma stratégie pédagogique c'est de mettre en évidence le comportement dans un changement de base d'un tenseur (voir ma démonstration) alors que les ouvrages de mathématiques mettent en avant la notion d'applications dans un ensemble (les formes).

En physique on écrit par exemple qu'une forme bilinéaire doit rester invariante par changement de base cad une expression = une autre avec des primes partout. La valeur que prend la forme, on s'en fout.

Par exemple les 4 matrices de Dirac sont nécessairement un tenseur contravariant de rang1 parceque les 4 dérivées partielles forment un tenseur covariant de rang1 et que le produit doit être invariant. La valeur prend la forme bilinéaire n'existe pas. La forme même n'est pas écrite puique l'on extrait le seul produit scalaire (la contraction)Seul compte le comportement relatif des 2 tenseurs par changement de base (cad le groupe de Lorentz)

Un exercice classique en géométrie differentielle consistant à montrer précisément que la dérivée partielle d'un tenseur n'est pas toujours un tenseur (je n'ai pas précisé le rang du tenseur dont je parle), ce qui conduit naturellement à la notion de dérivation covariante.

Exactement. La philosophie générale des tenseurs c'est de construire à partir d'espaces vectoriels élémentaires d'autres espaces vectoriels ou les nouveau vecteurs doivent avoir un comportement définit par changement de base. Ceci est entièrement vrai non seulement pour la machinerie des groupes en quantique etc.. mais vrai également pour la géométrie différentielle.

Quelle est la philosophie de la dérivée covariante?

Un vecteur (donc un tenseur) est une notion intrinsèque qui ne dépend d'aucune base. C'est par exemple la vitesse du vent. Si on veut décrire mathématiquement la vitesse du vent dans un point voisin on a la notion de dérivée. L'expression de cette dérivée ne doit pas dépendre des bases utilisées autrement dit l'expression doit être indépendante d'un changement de base.

La dérivée covariante devient indispensable dans un système de coordonnées curvilignes ou il faut gérer simultanément la véritable évolution du champ de vecteurs et l'évolution des repères locaux qui change les composantes alors que le champ est constant.

Comme tu le sais ce genre de considérations est très importante car d'utilité aussi bien RG qu'en théorie de jauge en TQC.

Derriere cela il y a les espaces fibrés qui consiste a attaché à chaque point une variété que l'on appelle la base (qui peut-être un groupe) une même géométrie (cad un groupe depuis Erlangen) que l'on appelle la fibre Ensuite il faut attacher les fibres cad définir une connexion.


Tout cela définit un nouveau espace géométrique dont le caractère intrinsèque se décrit en tenseurs. Il est facile de voir que toute formalisation doit se faire dans la philosophie des tenseurs cad d'objets qui se transforment les uns les autres d'une certaine façon. Là encore comme toujours la dualité est secondaire (ce qui ne veut pas dire inutile).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6754323456711]

Bonsoir mariposa

On ne peut te reprocher ton opiniâtreté qui en font une de tes qualités

Pour le reste je pense que l'on a affaire à un tenseur tension

Patrick

[ClairEsprit]

Bonsoir,

j'ai tendance à penser qu'il faut laisser expliquer les tenseurs et les spineurs aux mathématiciens dans le cadre le plus général connu. Eux seuls savent le faire avec la rigueur nécessaire et qui semble couler de source. Après, s'il doit y avoir des approches fructueuses et des angles d'attaques différents pour le physicien, il est intéressant d'avoir le point de vue de personnes qui ont passé beaucoup de leur temps et de leur énergie sur le sujet. Il doit donc y avoir quelque chose à traduire de tout cela qui aurait peut-être comme meilleur ferment un terrain exclusivement physique.

[invite7ce6aa19]

Bonsoir,

j'ai tendance à penser qu'il faut laisser expliquer les tenseurs et les spineurs aux mathématiciens dans le cadre le plus général connu. Eux seuls savent le faire avec la rigueur nécessaire et qui semble couler de source. Après, s'il doit y avoir des approches fructueuses et des angles d'attaques différents pour le physicien, il est intéressant d'avoir le point de vue de personnes qui ont passé beaucoup de leur temps et de leur énergie sur le sujet. Il doit donc y avoir quelque chose à traduire de tout cela qui aurait peut-être comme meilleur ferment un terrain exclusivement physique.

Bonjour,

On pourrait penser que ce que tu écris est tout à fait pertinent puisque par définition (dans l'idéal) un mathématicien a vocation à dire les choses justes.

Demande à un mathématicien de trouver les formes des opérateurs O qui representent l'action entre 2 representations irréductibles G1 et G2 d'un groupe discret G qui soient linéaires relativement à tous les tenseurs de contraintes et couplant les effets du spin-orbite dérivant d'un calcul de perturbation au second ordre.

Tu pourras passer ta vie entière à trouver le mathématicien à même de résoudre ce problème. Pourquoi?

Parcequ'il y a un gap énorme entre la théorie et les applications à la physique. Mieux vaut que la TRG soit enseignée par un physicien ayant pratiqué la TRG car un physicien n'ayant pas pratiqué la TRG ne sera pas capable de faire un enseignement pertinent.

En effet enseigner un corpus théorique implique faire des choix. A coup sur un mathématicien et un physicien feront des choix différents.

Prend n'importe quel cours de mathématiques sur les tenseurs et tu constateras par toi-même que les groupes sont absents. Cela veut dire, que pour le mathématicien, l'introduction des groupes ne sont pas pertinents. Pour un physicien c'est ultra fondamental et beaucoup d'entre eux ne l'ont pas encore perçus. Par exemple cela permet de démontrer qu'un tenseur de rang 2 engendre une representation réductible et se décompose systèmatiquement en 3 tenseurs irréductibles. Ce schéma de pensée doit devenir un réflexe en TRG.

Par ailleurs j'ai effectué ci-dessus une démonstration selon la logique mathématicienne et montré que la dualité est secondaire pour comprendre les tenseurs. "MA" méthode, je le reconnais volontiers, est en tous points identiques à celle de Landau et de Feymann (2 prix Nobel de physique). Autant que je sache ni l'un ni l'autre n'étaient mathématiciens.

[invite60be3959]

Bonjour,

Le but réel de ce fil, comme toutes les interventions sur les tenseurs que j'effectue depuis 3 ans est de mieux comprendre les tenseurs, ou plus exactement de comprendre autrement et plus généralement la TRG dans une logique autre que celle présentée dans les ouvrages mathématiques. La raison de cela est fondée sur ma propre expérience ou j'ai permis das ma vie profesionnelle à nombre de gens de décoller en TRG. J'ai pu constater que les gens butent sur la TRG parce qu'ils ne comprennent en pratique les tenseurs et cette incompréhension découle de la définition d'un tenseur comme forme bilinéaire.

Par ailleurs je n'ai pas fuit le fil que tu cites. C'est exactement le contraire. Après être intervenu il y a de nombreuses réactions contre mon intervention, mais aucune proposition alternative à "MA" définition. Donc j'attends toujours dans ce fil des propositions constructives en lieu et place de la polémique.



Au contraire "MA" définition d'un tenseur est claire et simple. Il s'agit de fabriquer un nouveau vecteur à partir d'autres vecteurs appartenant à des espaces vectoriels différents en utilisant une opération de composition appelée produit tensoriel. C'est aussi simple que çà. C'est notamment ainsi que l'on introduit le produit tensoriel en MQ et certainement pour noyé l' étudiant on appelle çà état intriqué

Quel est la différence entre l'approche "mathématique" et l'approche "physicienne".

APPROCHE MATHEMATIQUE

1- Forme linéaire.

En mathématique on commence par la forme linéaire comme application d'un espace vectoriel sur le corps des réels.

Matriciellement (en composantes) il s'agit du produit d"un vecteur" ligne à gauche par un "vecteur" colonne à droite.

Dans les notations de MQ on écrit:

f(X,Y) = <Y|X>

On voit que |X> et <Y| n'appartiennent pas au même espace car tout simplement on ne peut pas additionner une matrice ligne et une matrice colonne.

C'est pourquoi au vecteur |X> on associe un vecteur jumeau hétérozygote que l'on note <X|. Pour distinguer les jumeaux hétérozygote l'un |X> sera appelé vecteur contravariant l'autre <X|vecteur covariant. Ils sont duals , cad jumeaux.

Entre un vecteur n lignes et un vecteur n colonnes on peut injecter une matrice carré n lignes n colonnes soit:

<Y|A|X> que l'on peu calculer de 2 façons selon les régles de manipulations des matrices

Soit:

<Y|.....A|X> ou A agit à droite

Soit:

<Y|A....|X> ou A agit à gauche.


Prenons A = I = [M-1].[M] ou [M-1] est la matrice inverse de M

On a donc:

f(X,Y) = <Y|X> = <Y| [M-1].[M] |X>

Si M represente un changement de base alors les composantes de <Y| se transforment à l'inverse des composantes de |X> ce qui justifie les appelations vecteurs contravariants et vecteurs covariants.

2- Forme bilinéaire et tenseurs.


Reprenons la multiplication matricielle précédente mais en mettant le vecteur n lignes à droite et le vecteur n colonnes à gauche et soit |V> et |W> ces 2 vecteurs pour ne pas les confondre avec ce qui est dit plus haut. La régle de multiplication des matrices donnent une matrice carré qui définit un nouveau vecteur à n2 composantes. Celui s'écrit:

|Z> = |V>*|W>

* est ici le symbole du prosuit tensoriel

Ce vecteur est par anticipation est un vecteur contravariant (voir ci-dessous)

Je peux définir une forme linéaire comme précedemment. Soit:

<T|Z>

Où T est un vecteur covariant.

Explicitement

<T| |V>*|W>

qqui souligne que la forme linéaire est séparemment linéaire par rapport à |V> et par rapport à |W>

En appliquant la régle de multiplication des matrices (je change seulement l'ordre du calcul on peut écrire:


<V| [T] |W>

Injections la matrice unité I = [M-1][M]

<V|[M-1][M][T][M-1][M]|W>

Cela veut dire que le produit est invariant

|V> devient M|V>
|W> devient M|W>

[T] devient [M-1][M][T]

Cela veut surtout dire que:

|T> se transforme comme le produit M.M |V>*|W> pour conserver la valeur de la forme bilinéaire. Dans un jargon professionnel on dit que |T > se transforme comme 2 fois |V> ou comme 2 fois |W>


En guise de bilan:


1- Les démonstrations ci-dessus est purement mathématique dans le sens ou aucune notion de physique existe.

2- J'utilise les notations de MQ ce qui presente l'avantage de faire un cours sur les tenseurs tout pret pour la MQ.

3- En plus j'utilise la technique d'injection des opérateurs unité ce qui me pemet de ne pas manipuler d'indices. Par ailleurs les notions de matrices, supposées connues, fonctionnent en arrière plan, mais en aucune façon j'effectue des calculs sur indices. J'utilise les matrices en arrière plan en jouant uniquement sur l'ordre dans lequel j'effectue les manipulations de matrices. Donc struturellement la philosophie des tenseurs se passent d'indice pour les mêmes raisons qu'un produit scalaire du lycée V.W se passent d'indices.

4- En définisant la notion de jumeau hétérozygote j'aurais pu préciser que rien ne change en travaillant sur le corps des complexes. Dans ce cas le jumeau est constitué d'une matrice ligne ou les composantes sont les complexes conjugués.

5- En travaillant dès le départ sur le corps des complexes les matrices M appartiennent à GL(n,C) et non à GL(n,R) comme le plus souvent effectué. Cette pédagogie mathématique devient nativement une obstruction pour comprendre qu'un spineur (le spineur élémentaire) est un tenseur définit à partir d'une forme bilinéaire spécifique.

6- Dans la foulée il serait facile de montrer comme décomposer un espace tensoriel en sous-espace invariant ce qui est une entrée logique à la TRG. Comme je l'ai écrit moult fois, tenseurs, spineurs ggroupes et TRG c'est la même chose.



APPROCHE MATHEMATIQUE POUR LA PHYSIQUE:

L'idée est simple:

Je définit des le départ la notion de produit tensoriel de |V> et |W> pour former un vecteur |V>*|W> et donc un nouvel espace vectoriel (dans le langage mathématique il s'agit de 2 vecteurs contravariants qui donne un nouveau vecteur contravariant).

Mais attention il n' y aucune notion de dualité. On peut s'en passer largement (ce qui ne veut pas dire qu'elle inutile). On note que c'est ainsi que l'on introduit les choses en MQ. sauf que le tenseur s'appelle état imbriqué!!!!!! Une expression complètement inutile qui brouille les choses comme les particules virtuelles et autres gadgets sémantiques.

Si tu suit "MA" démonstration j'explique ce qu'est un spineur comme un simple produit tensoriel de 2 vecteurs d'un espace de dimension2. aucune notion de dualité est introduite. Par contre apres et apres seulement je peux construire un spineur covariant. Ce qui prouve que la dualité est secondaire.

C'est pourquoi il y a une très profonde différence entre la logique mathématicienne et le la logique "physicienne".

En physique la phrase clef est:


[....se transforme comme.....]

Il suffit de remplir les pointillés en fonction des circonstances.

dans cette phrase la dualité n'est pas présente.

Remarque très importante:

Dans les ouvrages de mathématiques on explique que l'on peut assimiler un vecteur contravariant et un vecteur covariant des lors que l'on définit une métrique par une forme bilinéaire symétrique. Dans ce langage il n'y a qu'un vecteur et 2 jeux de composantes. en quelquesorte la métrique abolit la dualité. En fait ceci est tout à fait inutile et n'a rien bien sûr strictement rien à voir avec l'absence de dualité dont je parle.





Entièrement d'accord. On pourrait remplacer également le mot tenseur par torpeur dans tous les livres mathématiques.



Cette phrase montre que les choses ne sont pas claires:

Le produit tensoriel X*Y est un tenseur (contravariant)
La forme bilinéaire F est un tenseur (covariant)

Le produit scalaire de ces 2 tenseurs est la valeur de la forme au point (X,Y)



C'est exactement le contraire. Ma stratégie pédagogique c'est de mettre en évidence le comportement dans un changement de base d'un tenseur (voir ma démonstration) alors que les ouvrages de mathématiques mettent en avant la notion d'applications dans un ensemble (les formes).

En physique on écrit par exemple qu'une forme bilinéaire doit rester invariante par changement de base cad une expression = une autre avec des primes partout. La valeur que prend la forme, on s'en fout.

Par exemple les 4 matrices de Dirac sont nécessairement un tenseur contravariant de rang1 parceque les 4 dérivées partielles forment un tenseur covariant de rang1 et que le produit doit être invariant. La valeur prend la forme bilinéaire n'existe pas. La forme même n'est pas écrite puique l'on extrait le seul produit scalaire (la contraction)Seul compte le comportement relatif des 2 tenseurs par changement de base (cad le groupe de Lorentz)



Exactement. La philosophie générale des tenseurs c'est de construire à partir d'espaces vectoriels élémentaires d'autres espaces vectoriels ou les nouveau vecteurs doivent avoir un comportement définit par changement de base. Ceci est entièrement vrai non seulement pour la machinerie des groupes en quantique etc.. mais vrai également pour la géométrie différentielle.

Quelle est la philosophie de la dérivée covariante?

Un vecteur (donc un tenseur) est une notion intrinsèque qui ne dépend d'aucune base. C'est par exemple la vitesse du vent. Si on veut décrire mathématiquement la vitesse du vent dans un point voisin on a la notion de dérivée. L'expression de cette dérivée ne doit pas dépendre des bases utilisées autrement dit l'expression doit être indépendante d'un changement de base.

La dérivée covariante devient indispensable dans un système de coordonnées curvilignes ou il faut gérer simultanément la véritable évolution du champ de vecteurs et l'évolution des repères locaux qui change les composantes alors que le champ est constant.





Derriere cela il y a les espaces fibrés qui consiste a attaché à chaque point une variété que l'on appelle la base (qui peut-être un groupe) une même géométrie (cad un groupe depuis Erlangen) que l'on appelle la fibre Ensuite il faut attacher les fibres cad définir une connexion.


Tout cela définit un nouveau espace géométrique dont le caractère intrinsèque se décrit en tenseurs. Il est facile de voir que toute formalisation doit se faire dans la philosophie des tenseurs cad d'objets qui se transforment les uns les autres d'une certaine façon. Là encore comme toujours la dualité est secondaire (ce qui ne veut pas dire inutile).

Bonjour,

je pense que tes posts ne sont profitable qu'à toi. Logique puisque c'est un monologue....

[stefjm]

Bonjour,

je pense que tes posts ne sont profitable qu'à toi. Logique puisque c'est un monologue....

Ils profitent aussi à ceux qui les lisent sans pour autant intervenir.
Merci Mariposa.

[invite7ce6aa19]

Ils profitent aussi à ceux qui les lisent sans pour autant intervenir.
Merci Mariposa.

Merci beaucoup. t'inquiètes pas je suis très loin de lâcher le morceau.

Je te renvoie le compliment.

[invite60be3959]

Ils profitent aussi à ceux qui les lisent sans pour autant intervenir.
Merci Mariposa.

Bonjour,

je te conseilles plutôt d'ouvrir un bon livre, cela te sera largement plus profitable, car les posts de mariposa (sur ces sujets uniquement, bien sûr en physique du solide c'est un spécialiste) sont très souvent incorrect et ne montrent qu'une vision très subjective du domaine. Cela manque cruellement de recul, donc c'est très mal expliqué (voir faux) comme l'a mainte et mainte fois remarqué Rincevent.

[invite7ce6aa19]

Bonjour,

je pense que tes posts ne sont profitable qu'à toi. Logique puisque c'est un monologue....

Bonjour,

1-Je prend l'initiative de lancer un fil sur le thème tenseurs, spin, groupes et physique atomique pour argumenter, entre autres, sur la différence entre l'approche "mathématicienne" et "physicienne".

2- Pour éviter la polémique je propose un exercice concret fondé sur une culture commune à tous les étudiants en physique. Pourquoi personne ne répond?

Je pose une question. Le monologue est créé par ceux qui s'abstiennent de répondre (à tord ou à raison). Tu fais partie des gens qui créé le monologue par ta propre abstention et plus encore en intervenant pour dire que c'est un monologue.

Rappel: Sur un autre fil j'ai expliqué le rapport entre spineurs et tenseurs le plus simplement possible (dans la limite de mes compétences). Cela a donné lieu à un tirage d'insultes. En attendant personne n'a proposé d'autres explications. La critique est facile mais l'art est difficile. La pédagogie est un art qui se maîtrise comme tous les arts avec le temps. Avec mes 60 ans je suis peut-être un ringard (c'est le point de vue de Rincevent) mais j'ai le privilège du temps et d'avoir vu une foule de gens ignorer ou croire avoir compris la TRG.

En bref intervenir pour parler de monologue, cela n'est pas constructif.

PS: Je pars en vacances demain, j'espère que d'ici à fin aôut il y aura eu des interventions pertinentes, ou non.

[stefjm]

je te conseilles plutôt d'ouvrir un bon livre, cela te sera largement plus profitable, car les posts de mariposa (sur ces sujets uniquement, bien sûr en physique du solide c'est un spécialiste) sont très souvent incorrect et ne montrent qu'une vision très subjective du domaine. Cela manque cruellement de recul, donc c'est très mal expliqué (voir faux) comme l'a mainte et mainte fois remarqué Rincevent.

Je lis aussi Rincevent et j'ai ma propre formation.
Conseiller un livre sur un forum me parait bizarre.
Si je veux m'acheter un livre, je le fais, mais j'ai toujours du mal à discuter avec mon livre. (Comme je suis un poète, cela m'arrive aussi, mais on me prend alors pour un fou...)

Bonnes vacances à Mariposa.

Edit : @Vaincent : Sur usenet, on disait "quoter comme un goret" à propos des personnes qui citent tout un texte et qui commentent d'une ligne hors sujet...

[invitea774bcd7]

PS: Je pars en vacances demain, j'espère que d'ici à fin aôut il y aura eu des interventions pertinentes, ou non.

Tu pars en vacances 2 mois ?!

[invite7ce6aa19]

Tu pars en vacances 2 mois ?!

Je suis à la retraite et donc dans des vacances éternelles. Ma femme est prof de français et donc je suis en vacances scolaires. Toutefois j'ai un netboook et un iphone et il se pourrait que j'intervienne à tout moment, ne serait-ce que pour faire face à une campage de dénigrement. Non je ne suis pas parano

[invite60be3959]

Je lis aussi Rincevent et j'ai ma propre formation.
Conseiller un livre sur un forum me parait bizarre.
Si je veux m'acheter un livre, je le fais, mais j'ai toujours du mal à discuter avec mon livre. (Comme je suis un poète, cela m'arrive aussi, mais on me prend alors pour un fou...)

personnellement je préfère discuter avec des gens qui savent ce dont ils parlent. Certains sur ce forum se permettent de parler de choses qu'ils ne connaissent pas ou maîtrisent mal et il n'y rien de pire pour égarer le profane (la preuve).

Edit : @Vaincent : Sur usenet, on disait "quoter comme un goret" à propos des personnes qui citent tout un texte et qui commentent d'une ligne hors sujet...

Tu n'a pas vraiment compris pourquoi j'ai procédé ainsi. L'objectif est de montré de manière flagrante que puisque Mariposa a été contrarié dans un autre fil sur le même sujet, il va nous écrire des posts de plus en plus long pour faire croire qu'il le maîtrise( et d'ailleurs on sent qu'il a fait quelques progrets sur le sujet). Comme si la taille du posts justifiait d'une certaine science !
Rends-toi compte tout de même Stefjm, que Mariposa a ouvert un autre fil à la suite du premier sur lequel il avait bien été calmé,( n otamment par humanino qui avait cité Mariposa 2 fois : "SU(2) est isomorphe à SO(3)" ...... "je n'ai jamais dit que SU(2) était isomorphe à SO(3)", c'est dire la niveau de mauvaise fois !) et nous fait un pseudo-cours sur SA vision du sujet, après qu'il se soit certainement replongé dans les bouquins pour essayer de ne pas se planter cette fois-ci ! Et malgré tout, le magnifique posts dont il nous gratifie montre encore une fois de plus que le sujet est mal maîtrisé.

Je regrette que la connaissance du vocabulaire (la forme) puisse en trompé certains sur le niveau de confiance qu'ils accordent à un intervenant, alors que les concepts mathématiques eux (le fond) ne sont pas maîtrisé ou qu'à moitié.

Je rajouterai pour finir, que tu ne le sais peut-être pas stefjm mais mariposa a sa petite réputation sur certains forums anglophones (que je ne citerai pas !), et je peux te dire qu'elle n'est pas reluisante....(alovesuprême pourra plus t'en dire que moi) donc attention.

Par contre si tu désires en apprendre plus sur la physique du solide, je t'inviterai vivement à écouter les conseils de mariposa (sincèrement). Après bien entendu, à toi de te faire ta propre idée, mais plusieurs sur ce forum comme moi ont déjà tranché la question depuis longtemps !

[invitea774bcd7]

Je suis à la retraite et donc dans des vacances éternelles. Ma femme est prof de français et donc je suis en vacances scolaires. Toutefois j'ai un netboook et un iphone et il se pourrait que j'intervienne à tout moment, ne serait-ce que pour faire face à une campage de dénigrement. Non je ne suis pas parano

Bah bonnes vacances
Je suis moi-même en vacances aussi et je viens pourtant trainer mes guêtres ici…
Y a quelque chose qui cloche chez moi…

[invite7ce6aa19]

personnellement je préfère discuter avec des gens qui savent ce dont ils parlent. Certains sur ce forum se permettent de parler de choses qu'ils ne connaissent pas ou maîtrisent mal et il n'y rien de pire pour égarer le profane (la preuve).

En l'occurence ce sont mes travaux sur certaines catégories de problème à N corps ou la TRG joue un role fondamental qui m'ont valu entre autres d'être référé a physical Review B. Il se fait qu'en physique du solide j'ai été confronté à des sur-groupes de Lie alors même que les groupes sont discrets. As-tu une idée comment cela peut arriver?. La question est également posée à Rincevent. Quand j'enseignait en DEA, tu n'étais même pas né.

Tu n'a pas vraiment compris pourquoi j'ai procédé ainsi. L'objectif est de montré de manière flagrante que puisque Mariposa a été contrarié dans un autre fil sur le même sujet, il va nous écrire des posts de plus en plus long pour faire croire qu'il le maîtrise( et d'ailleurs on sent qu'il a fait quelques progrets sur le sujet). Comme si la taille du posts justifiait d'une certaine science !

Grossier mensonge. J'ai relancé un fil sur le même sujet en partant d'un exemple concret accessible à tout le monde dans la mesure ou chacun à une connaissance de ce qu'est une orbitale p. pourquoi ne répionds-tu pas au problème concret posé. J'ai même invité chacun d'entre-vous a consulter ses profs de MQ ou de maths. Pourquoi vous ne le faites pas?

Rends-toi compte tout de même Stefjm, que Mariposa a ouvert un autre fil à la suite du premier sur lequel il avait bien été calmé,( n otamment par humanino qui avait cité Mariposa 2 fois : "SU(2) est isomorphe à SO(3)" ...... "je n'ai jamais dit que SU(2) était isomorphe à SO(3)", c'est dire la niveau de mauvaise fois !)

Ceci est gravement faux.

S'il est vrai que j'ai écrit cela ce n'est qu'une maladresse d'écriture dont Rincevent s'est emparé, procédure qui n'est pas à son avantage.

Il y a 40 ans que je sais ce qu'est une representation doublement valué et çà fait déjà 2 ou 3 ans que j'ai discuté de l'homotopie des groupes SU(2) et SU(3) sur Futura. L'homotopie c'est un sujet que je connais par obligation en tant que physicien du solide dans la mesure ou cela fait partie intégrante de la théorie des transitions de phase à la Landau. La théorie de l'espace des paramètres d'ordre implique les défaut d'homotopie. Ce chapitre de physique du solide a été entièrement recopié par les physiciens des particules élémentaires.

A commencer par le boson de Higgs qui n'est que la "copie" de la transition métal normal/supraconducteur. Si toutefois tu avais un doute il te suffit de lire l'article original de P.Higgs et tu verras que selon l'auteur son modèle a pour racine les travaux de.PW Anderson que j'ai d'ailleurs connu puisque nous avons travaillé sur un sujet en concurrence.

et nous fait un pseudo-cours sur SA vision du sujet, après qu'il se soit certainement replongé dans les bouquins pour essayer de ne pas se planter cette fois-ci ! Et malgré tout, le magnifique posts dont il nous gratifie montre encore une fois de plus que le sujet est mal maîtrisé.

Il faudrait que tu argumentes en quoi c'est un pseudo cours. Le "tres cours" que j'ai écrit était pour montrer la profonde différence qu'il y a entre l'idée d'introduire les formes (a la mathématicienne) et celles des pjysiciens qui se brabnchent dés le départ sur le concept mathématiques de produit tensoriel (pas de dualité) et le rapport avec la TRG.

Je regrette que la connaissance du vocabulaire (la forme) puisse en trompé certains sur le niveau de confiance qu'ils accordent à un intervenant, alors que les concepts mathématiques eux (le fond) ne sont pas maîtrisé ou qu'à moitié.

Ca ressemble à de la philosophie de Rincevent.

Quand j'explique dans un cours de voile la composition du vent qui fait avancer le bateau, je ne parle pas d'espace vectoriel.

Quand quelqu'un demande c'est quoi une represention d'un groupe G, je réponds que c'est un jeu de matrices {M} qui reproduit la table de multiplication des groupes. Cette réponse est plus satifaisante pour un débutant que d'écrire qu c'est un homophormisme. Tous les physiciens que l'on forme n'ont pas vocation à faitre de la physique théorique.

Il faut adapter son niveau de langage à son interlocuteur, c'est la première contrainte de la pédagogie. sur la question des tenseurs je suis souvent intervenu car les gens ne comprennent suite à leurs cours de mathématiques. des centaines d'intervenant sur Furura pourraient en témoigner.

Je rajouterai pour finir, que tu ne le sais peut-être pas stefjm mais mariposa a sa petite réputation sur certains forums anglophones (que je ne citerai pas !), et je peux te dire qu'elle n'est pas reluisante....(alovesuprême pourra plus t'en dire que moi) donc attention.

C'est très grave ce que tu écris et je n'ai pas l'impression que tu en as conscience. Si on est en désacord avec ce que j'écris, pourquoi pas, alors on s'adresse à moi et à personne d'autres. D'autres attitudes est de la lacheté.

Par contre si tu désires en apprendre plus sur la physique du solide, je t'inviterai vivement à écouter les conseils de mariposa (sincèrement). Après bien entendu, à toi de te faire ta propre idée, mais plusieurs sur ce forum comme moi ont déjà tranché la question depuis longtemps !

Comment peux-tu savoir que j'ai une compétence en physique du solide dans la mesure ou la physique du solide est absente sur Futura et donc je n'ai pas l'occasion de faitre sentir mes compétences.

Donc j'interviens sur d'autres sujets qui entretiennent une relation de proximité. C'est ainsi que j'ai pu convaincre touit le monde que le spin n'était un pas phénomène relativiste comme tres souvent écrit dans les livres!!!

Maintenant argumente physiquement au lieu de polémiquer:

1- Coalise toi avec qui tu veux pour proposer une explication alternative à la "mienne" sur le rapport spineur/vecteur?

2- J'ai posé un problème ultra-simple de tenseurs dans ce fil. Comme tu penses avoir compris ce qu'est un tenseur et un spineur alors tu devrais répondre au problème élémentaire que j'ai posé dans ce fil. Si tu ne sais pas résoudre ce problème alors va chercher ton prof de physique théorique.

Pour rappel, mon approche pédagogique est celle de Feymann et de Landau (le club des ringards selon Rincevent) donc prend beaucoup de précautions à critiquer ce que j'écris.

[invite6754323456711]

Prend n'importe quel cours de mathématiques sur les tenseurs et tu constateras par toi-même que les groupes sont absents. Cela veut dire, que pour le mathématicien, l'introduction des groupes ne sont pas pertinents

Je ne m'intéresse pas à une quelconque polémique et pense être suffisamment ouvert pour être curieux de chercher à comprendre toute approche.

Pourquoi dis-tu que la notion de groupe est absente dans la présentation des tenseurs ? Un tenseur étant un vecteur particulier d'un espace vectoriel (produit tensoriel de deux espaces vectoriels tel que j'ai pu l'apprendre). Or un espace vectoriel est un groupe commutatif pour l'addition, toutes les propriétés de groupe s'appliquent intégralement à un espace vectoriel non ?

Tout comme un espace vectoriel est un ensemble, mais on le distingue de l'ensemble E des éléments avec lesquels il est construit par l'ajout des lois de composition interne et externe qui vont conférer à cet ensemble E des propriétés nouvelles pour constituer une structure d'espace vectoriel.

Le second point qui m'interroge est le fait de vouloir faire l'association tenseur et produit tensoriel ne conduit t-il pas au risque de masquer le point important qui est qu'un tenseur quelconque n'est pas, en général, le produit tensoriel de deux vecteurs ?

Patrick

[invite7ce6aa19]

Je ne m'intéresse pas à une quelconque polémique et pense être suffisamment ouvert pour être curieux de chercher à comprendre toute approche.

Tiens un comportement atypique.

Pourquoi dis-tu que la notion de groupe est absente dans la présentation des tenseurs ? Un tenseur étant un vecteur particulier d'un espace vectoriel (produit tensoriel de deux espaces vectoriels tel que j'ai pu l'apprendre). Or un espace vectoriel est un groupe commutatif pour l'addition, toutes les propriétés de groupe s'appliquent intégralement à un espace vectoriel non ?

Effectivement les vecteurs ont une structure de groupe notée additivement avec pour élément neutre le vecteur 0 et l'opposée de V est -V.

Mais dans le contexte des tenseurs ce n'est pas ce groupe qui intervient, c'est le groupe formé par l'ensemble des matrices M de changement de base du style W = M.V

La loi de composition est la multiplication matricielle

L'élement neutre est la matrice I

M a des matrices inverses M-1 On exclue donc les matrices non inversibles

Par exemple si l'espace vectoriel E est de dimension 3 les matrices de changement de base sont de dimension 3 et forment le groupe GL(9, R). C'est ce groupe là qui va jouer un role important.

Si par exemple tu demandes que les matrices conservent la norme des vecteurs alors les matrices forment le sous-groupe O(3,R) qui géométriquement est le groupe qui laisse la sphère invariante.

La manière dont tu presentes les tenseurs c'est la manière des physiciens. A savoir tu fais un produit directe des vecteurs de base ce qui définit des nouveaux vecteurs qui définissent un nouvel espace vectoriel. Un tenseur c'est un vecteur quelconque de cet espace vectoriel. C'est ainsi que l'on presente les choses en MQ par exemple. Sauf que l'on dit que le tenseur en question est un état imbriqué parceque l'on ne pas par construction factoriser ce tenseur sous la forme du produit de 2 vecteurs (sauf pour les vecteurs de base).

Pour le mathématicien il définit d'abord une application bilinéaire sur 2 espace vectoriels E1 et E2 vers le corps R ou C (pour cette raison on parle de formes bilinéaires plutôt que d'applications).

Il écrit donc:

f(X,Y)

Le tenseur c'est f qui est representé par une matrice Aij (des bases étants choisis dans E1 et E2 et s'écrit:

f(X,Y) = Aij.Xi.Yj

Comme auparavant le mathématicien introduit les formes linéaires et donc la dualité les Xi et Yj doivent avoir les indices en haut pour bien indiquer que la forme bilinéaires sont des formes linéaires sur l'espace produit. Dans cette presentation les vecteurs de E1 et E2 sont des vecteurs contravariants alors que f est un vecteur covariant.

Ce que j'explique moult fois ce n'est pas le tenseur f qui est intéressant mais le tenseur X*Y et son comportement par changement de base qui m'amène tout droit aux groupes. A la physicienne on fait l'impasse sur f et sur la notion de dualité et donc vecteurs covariants et contravariants.

c'est pourquoi la phrase clé des tenseurs, spineurs et TRG c'est ceci se tranforme comme cela. Dit moi comment tu te transforme et je te dirais qui tu es.

Bien entendu par construction la version contravariante de f se transforme comme le produit tensoriel X*Y

Le second point qui m'interroge est le fait de vouloir faire l'association tenseur et produit tensoriel ne conduit t-il pas au risque de masquer le point important qui est qu'un tenseur quelconque n'est pas, en général, le produit tensoriel de deux vecteurs ?

Patrick

Comme expliqué plus haut à la physicienne un tenseur est vecteur d'un espace vectoriel dont les vecteurs de base sont obtenus par produit directe et donc un tenseur n'est pas un produit directe (sauf cas particulier).

En espérant avoir répondu à tes questions.

Nota:

Les interventions de Rincevent concerne autre chose. Il s'agit de la géométrie différentielle. Dans ce cas les matrices de changement de base du type M ci-dessus font que chacune d'elle sont les coordonnées d'un point. Ainsi le groupe GL(9,R) ci-dessus définisse un objet géométrique, une variété à 9 dimensions. Dans cette géométrie tu peux définir un plan tangent en chaque point. Chaque plan tangent permet de définir un espace vectoriel et donc des tenseurs (p,q) de tous ordres. Le plan tangent étant engendré par des vecteurs contravariants indique que l'on a un espace cotangent construit sur les formes linéaires (qui sont des vecteurs covariant).

Bien sur tout cela ne change fondamentalement rien à la philosophie des tenseurs et ce d'autant plus que cela ne concerne que les groupes continus, ce qui n'est pas le cas de ce que j'écris qui est valable également pour les groupes discrets. Dans ce dernier cas les tenseurs sont renomés sous l'appelation tenseurs irréductibles, mais ce sont toujours des tenseurs.

[invite6754323456711]

Mais dans le contexte des tenseurs ce n'est pas ce groupe qui intervient, c'est le groupe formé par l'ensemble des matrices M de changement de base du style W = M.V

La loi de composition est la multiplication matricielle

L'élement neutre est la matrice I

M a des matrices inverses M-1 On exclue donc les matrices non inversibles

La notion de matrice peut aussi être défini à partir de celle d’application linéaire, et ainsi cela permet définir les opérations sur les matrices à partir de celles sur les applications linéaires non ? Par exemple le produit est la composé de deux applications linéaires.

Il y a isomorphisme entre les deux espaces vectoriels (de l'ensemble des applications linéaires E vers F, deux espace vectoriel de dimension pet n sur un corps R, et ensemble des matrices de type n lignes, p colonnes dans R).

Patrick

[invite60be3959]

Quand j'enseignait en DEA, tu n'étais même pas né.

quand on se défend de cette manière puérile, cela est une preuve que l'on est d'une mauvaise foi importante, et que l'âge n'a que peu d'importance. Surtout que dans ton cas cela se retourne contre toi car tu confonds bon nombre de choses. Exemple : une spin-orbitale n'est évidemment pas un tenseur mais une fonction d'onde (et donc un spineur). C'est la base de la base et c'est pour ce genre de choses que je veux mettre en garde les novices qui ne doivent surtout pas prendre comme argent comptant tes propos.

Ceci est gravement faux.

S'il est vrai que j'ai écrit cela ce n'est qu'une maladresse d'écriture dont Rincevent s'est emparé, procédure qui n'est pas à son avantage.

Il faut quand même être très maladroit pour dire une chose puis son contraire !
je te, et vous propose de vous rafraîchir la mémoire en lisant les messages #80 et #82 sur ce lien : flagrant délit de mauvaise foi, c'est ICI


je trouve cela consternant !
Bonsoir.

[invite7ce6aa19]

quand on se défend de cette manière puérile, cela est une preuve que l'on est d'une mauvaise foi importante, et que l'âge n'a que peu d'importance. Surtout que dans ton cas cela se retourne contre toi car tu confonds bon nombre de choses. Exemple : une spin-orbitale n'est évidemment pas un tenseur mais une fonction d'onde (et donc un spineur). C'est la base de la base et c'est pour ce genre de choses que je veux mettre en garde les novices qui ne doivent surtout pas prendre comme argent comptant tes propos.

Bonsoir,

Un bel exposé de conneries et en plus presenté sur le ton de l'arrogance a hauteur de l'ignorance.

Toujours dans la polémique:

1- Les spin-orbitales sont le produit tensoriel d'un espace de spin (vecteur) et d'un espace de fonctions d'onde atomiques ou moléculaires et donc des tenseurs.

2- De la même façon le produit tensoriel de modes de vibrations par un espace de fonctions d'onde électroniques sont des états nommés états vibroniques dans le langage des physiciens et bien entendu sont des tenseurs. La physique de ces états representent une violation de l'approximation de Born-Oppeinhemer que l'on appelle la physique des effets Jahn-Teller.

3- Si le spin est entier par exemple S=1 celui-se comporte dans le changements de base comme un tenseur cartésien de rang1 ou comme un tenseur sphérique irréductible de O(3) et dans ce cas la notion de spineur est inutile elle ne pourrait même exister.

J'ai justement montrer que tensoriellement un spin S=1 c'est à la fois un tenseur de rang 1 et un spineur symétrique de rang2. C'est pourquoi on peut manipuler l'algébre tensorielle sous la forme de l'algébre spinorielle.

je trouve cela consternant !
Bonsoir.

Je suis tout fait d'accord avec toi. Visiblement tu as de tres grosses lacunes de physique atomique et même de MQ la plus élémentaire. Abstiens alors toi de me faire en plus un cours de MQ.

J'attends toujours ton explication sur le rapport entre un spineur et un tenseur. J'attends également les solutions du problème de physique atomique élémentaire que j'ai posé.

Alors Vaincent j'attends fermement ta réponse d'ici fin aout. Il faut en fait 3s pour répondre, je t'accorde 2 mois. tu as le droit de faire appel à tes profs de MQ et de maths réunis. Tu peux également faire appel aux autres Forum et même lancer une souscription nationale.

[invite6754323456711]

La manière dont tu presentes les tenseurs c'est la manière des physiciens. A savoir tu fais un produit directe des vecteurs de base ce qui définit des nouveaux vecteurs qui définissent un nouvel espace vectoriel. Un tenseur c'est un vecteur quelconque de cet espace vectoriel. C'est ainsi que l'on presente les choses en MQ par exemple. Sauf que l'on dit que le tenseur en question est un état imbriqué parceque l'on ne pas par construction factoriser ce tenseur sous la forme du produit de 2 vecteurs (sauf pour les vecteurs de base).

Pour le mathématicien il définit d'abord une application bilinéaire sur 2 espace vectoriels E1 et E2 vers le corps R ou C (pour cette raison on parle de formes bilinéaires plutôt que d'applications).

Il écrit donc:

f(X,Y)

Le tenseur c'est f qui est representé par une matrice Aij (des bases étants choisis dans E1 et E2 et s'écrit:

f(X,Y) = Aij.Xi.Yj

Comme auparavant le mathématicien introduit les formes linéaires et donc la dualité les Xi et Yj doivent avoir les indices en haut pour bien indiquer que la forme bilinéaires sont des formes linéaires sur l'espace produit. Dans cette presentation les vecteurs de E1 et E2 sont des vecteurs contravariants alors que f est un vecteur covariant.

Ce que j'explique moult fois ce n'est pas le tenseur f qui est intéressant mais le tenseur X*Y et son comportement par changement de base qui m'amène tout droit aux groupes. A la physicienne on fait l'impasse sur f et sur la notion de dualité et donc vecteurs covariants et contravariants.

Etant débutant dans le domaine je ne vois pas bien la différence dans la présentation des deux approches.

Si on s'intéresse aux tenseurs attachés à un espace vectoriel c'est à dire que l'on se place dans le cas ou on ne considère qu'un seul espace vectoriel Vn et son dual V*n. Tous les espaces sont des produits tensoriels basés soit sur l'espace vectoriel, soit sur son dual.

Ce permet tout de même de définir des tenseurs :

2 fois contravariants (espace produit tensoriel de Vn avec Vn)
2 fois covariants (espace produits tensoriel de V*n avec V*n)
Mixtes d'ordres deux (espace produits tensoriels de Vn avec V*n ainsi que V*n avec Vn)

Maintenant un tenseur est une quantité intrinsèque qui n'a à priori aucune propriété de variance particulière. C'est son expression dans une base donnée qui nécessite à la fois des quantités covariantes (les états de bases) et des quantités contravariantes (ses composantes).

L'approche plus mathématique ne permet t'elle pas de ne considérer que le tenseur en tant que tel (quantité intrinsèque) n'ayant aucune propriété de variance particulière ?

Patrick

[invite7ce6aa19]

Etant débutant dans le domaine je ne vois pas bien la différence dans la présentation des deux approches.

Si on s'intéresse aux tenseurs attachés à un espace vectoriel c'est à dire que l'on se place dans le cas ou on ne considère qu'un seul espace vectoriel Vn et son dual V*n. Tous les espaces sont des produits tensoriels basés soit sur l'espace vectoriel, soit sur son dual

Ce permet tout de même de définir des tenseurs :

2 fois contravariants (espace produit tensoriel de Vn avec Vn)
2 fois covariants (espace produits tensoriel de V*n avec V*n)
Mixtes d'ordres deux (espace produits tensoriels de Vn avec V*n ainsi que V*n avec Vn)

Bonsoir,

C'est ma denière intervention, apres je pars.

OK pour ce que tu écris ci-dessus.

Maintenant un tenseur est une quantité intrinsèque qui n'a à priori aucune propriété de variance particulière.

Les 3 tenseurs que tu as cité ci-dessus sont 3 vecteurs qui ont quelquechose d'intrinsèque (dans le sens ou ils ne dépendent pas de la base) mais qui se distinguent par le comportement de leurs composantes dans un changement de base.

L'approche plus mathématique ne permet t'elle pas de ne considérer que le tenseur en tant que tel (quantité intrinsèque) n'ayant aucune propriété de variance particulière ?

Patrick

les tenseurs sont caractérisés par leur valence (p,q)

Les tenseurs que tu as cité sont de valence (0,2) (2,0) et (1,1)

La différence d'attaque entre "mathématique" et "physique" fait que je m'interesse seulement qu'aux tenseurs (0,2) et non aux formes qui sont les tenseurs (2,0)

Pareil pour les spineurs élémentaires construits à partir d'un espace vectoriel de dimension 2 qui donnent un spineur antisymétrique de rang nul (0) et un spineur symétrique de rang 2 (0,2) et identifiable à un tenseur de rang 1 (identifiable veut dire ici que le spineur symétrique se transforme comme un tenseur de rang 1.

A beaucoup plus tard.

[invite6754323456711]

Merci pour ces précisions et Bonne vacance.

Je vais continuer à approfondir cette formalisation des tenseurs sous les deux angles

http://fr.wikipedia.org/wiki/Forme_bilin%C3%A9aire
http://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur
http://fr.wikipedia.org/wiki/Applica...ilin%C3%A9aire
http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_dual

Patrick

[invite6754323456711]

Bonjour,

Je n'ai pas l'impression que dans l'approche espace vectoriel des formes bilinéaires pour définir les tenseurs http://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur...C3%A9matiques) il soit abandonné (ou relégué au second plan) la notion de groupe.

En relisant le fil http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post1639587 avec un peu de recul il me semble déceler une forte analogie.

http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post1640230
http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post1640592
http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post1640677


Patrick

[invite60be3959]

J'attends toujours ton explication sur le rapport entre un spineur et un tenseur. J'attends également les solutions du problème de physique atomique élémentaire que j'ai posé.

c'est avec plaisir que je le montrerai et démontrai tes dires de façon très précise afin de rétablir la vision de la communauté scientifique sur ces thèmes à laquelle à priori tu te refuses par pur égocentrisme (ce qui t'a déjà été reproché vivement sur d'autres forums que futura). Je le ferai non pas pour essayer de te clouer le bec(ce qui est d'ailleurs ta façon te de défendres au prix de mensonges, ton but étant uniquement d'avoir raison et non pas de répondre honnêtement, cf. mon précédent post), mais pour que les novices et les gens désireux d'en connaître plus sur ces sujets soient au courant de la tendance générale actuelle de pensée et arrêtent de se faire avoir par le point de vue très biaisé d'un piètre pédagogue, pollueur de forum bien connu des spécialistes....

[invite1acecc80]

Bonjour,

c'est avec plaisir que je le montrerai et démontrai tes dires de façon très précise afin de rétablir la vision de la communauté scientifique sur ces thèmes à laquelle à priori tu te refuses par pur égocentrisme (ce qui t'a déjà été reproché vivement sur d'autres forums que futura). Je le ferai non pas pour essayer de te clouer le bec(ce qui est d'ailleurs ta façon te de défendres au prix de mensonges, ton but étant uniquement d'avoir raison et non pas de répondre honnêtement, cf. mon précédent post), mais pour que les novices et les gens désireux d'en connaître plus sur ces sujets soient au courant de la tendance générale actuelle de pensée et arrêtent de se faire avoir par le point de vue très biaisé d'un piètre pédagogue, pollueur de forum bien connu des spécialistes....

Vas-y lance-toi noble justicier des temps modernes!
"Démonter" quelqu'un en disant qu'il est piètre pédagogue...relève du "pédantisme" qui me fait doucement sourire.

A plus.

[invitea774bcd7]

Longue prose…

Prends ton temps, hein… T'as jusqu'à fin août