Bonjour,
Je voudrais trouver une formule qui me permet de déterminer le temps nécessaire pour que à l’intérieur d’un cylindre en acier inox on arrive à avoir la même température qu’à l’extérieure. En sachant que Text > Tint est constante (par ex. Text =250°C) et que l’épaisseur du cylindre est e et sa longueur l. Le cylindre est fermé à ses extrémités.
Merci d’avance
Il va falloir résoudre l'équation de la chaleur en 1D cylindrique et en instationnaire.
Ca peut se faire assez facilement. Si je trouve le temps je te fais un petit programme Matlab.
On va avoir besoin de la géométrie (rayons intérieur et extérieur) et de la température initiale.
Tu veux imposer une température en paroi ou un milieu chaud échangeant par convection avec ta paroi? A l'intérieur de ton cylindre il y aura quoi, à quelle température?
Bon, une première approche rapide, c'est d'utiliser la diffusivité thermique : le temps t que met la chaleur à atteindre la profondeur R dans ton cylindre se calcule comme ça :
t = rho * cp * R² / lambda
C'est une approche dimensionnelle très simple, je ne sais pas trop ce qu'elle vaut, en pratique je ne l'ai jamais testée.
Si je fais mon petit programme Matlab, on pourra comparer, ça peut être intéressant.
Petit détail : le cylindre est fermé à ses extrémités. Si sa longueur n'est pas très supérieure à son diamètre, l'approximation du cylindre de longueur infinie ne tient pas et c'est un problème 2D qu'il faut traiter. C'est beaucoup moins rigolo à traiter sur le plan numérique, même par différences finies.
Ce serait vraiment cool pour le programme Matlab.
Je t'expose mon problème.
Je dispose deux tubes concentriques accolés de longueur L = 140 mm. Le tube extérieur est en acier inox de diamètre exterieur de 100 mm et d'une épaisseur de 2 mm. Le tube intérieur est une isolant, la laine de verre ,d'épaisseur de 20 mm. Les tubes sont dans une chambre contenant de la vapeur d'eau a une température de 150°C. A l'intérieure de tube il y a de l'air à T interne 25°C. Je veux savoir combien de temps il me faut pour que la température dans le tube arrive à la meme température de la chambre.
J'ai essayé avec le flux thermique mais j'obtiens des valeurs trop bizarres.
Moyennant certaines approximations, il doit être possible de trouver un ordre de grandeur satisfaisant :
Approximation 1 : le tube métallique extérieur, bon conducteur de la chaleur par rapport au tube intérieur, est à la température de la chambre. En d'autres termes, la surface extérieure du tube intérieure est à la température de la chambre.
Approximation 2 : la température intérieure est homogène.
Approximation 3 : la résistance thermique de contact à l'interface tube intérieur et air intérieur est nulle (et ,de toute façon, très difficile à évaluer)
L'air intérieur, qui représente une certaine capacité calorifique, reçoit donc de la chaleur à travers une paroi dont on peut évaluer surface et conductivité. Pour la surface, on peut prendre la moyenne entre surface extérieure et surface intérieure du tube intérieur.
Le flux de chaleur entrant s'écrit donc :
Phi = lambda . S / e * (Te - Ti )
Pendant l'intervalle de temps dt, le milieu intérieur reçoit la quantité de chaleur :
dQ = Phi . dt
L'élévation de température intérieure correspondante est :
dTi = dQ / C où C est la capacité calorifique de l'air intérieur
On arrive donc à :
dTi/dt = Phi / C = lambda . S / C / e . (Te - Ti)
ou encore :
dTi/dt + lambda.S/C/e.Ti = lambda.S/C/e.Te
équation différentielle du premier ordre à coefficients constants avec une solution du genre :
Ti(t) = (Ti0 - Te) exp(-t/Tau) + Te
où Tau est une constante de temps qui reste à déterminer, par exemple par substitution dans l'équa diff de Ti par son expression ci-dessus.
Bon courage.
